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高二数学上学期期末复习题1


高二数学上学期期末复习题二(理科) (2013.12) 1.命题“存在 x0 ? R, 2 A.不存在 x0 ? R, 2 0 >0
x
x

x0

? 0”的否定是(
B.存在 x0 ? R, 2
x0



?0
x

C.对任意的 x? R, 2 ? 0

D.对任意的 x ? R, 2 >0

【答案】D 2.如图,若图中直线 l 1, l 2, l 3 的斜率分别为 k1, k2, k3,则 A.k1<k2<k3 【答案】B B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2

x2 y 2 5 3. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 , 则 2 a b 1 1 )(A) y ? ? x (B) y ? ? x C 的渐近线方程为( 4 3 (D) y ? ? x 【答案】C;

( C ) y??

1 x 2

4.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 等于( ) 1 1 A.1 B.2C.- D.2 或- 2 2 2 解析:当 2m +m-3≠0 时, 在 x 轴上截距为错误!=1,即 2m2-3m-2=0, ∴m=2 或 m=-错误!. 答案:D 6 5.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0),( 2,0),离心率是 ,则椭圆 C 的方 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 程为 ( ).A. +y2=1 B.x2+ =1 C. + =1 D. + =1 3 3 3 2 2 3 D1 C1 解析 因为错误!=错误!,且 c=错误!,所以 a=错误!,b=错误!= 2 A1 1.所以椭圆 C 的方程为错误!+y B1 =1. 答案 A C 6. 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , BD1 ? x AD ? y AB ? z AA1 , 若 则 x ? y ? z 的值为 ( ) 3 A. B. 1 C.-1 D. -3 【答 案】B
D A B

7.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行” 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件 【答案】A 88.给出下列互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α,m?β,则 α∥β. ②若 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m. ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:①中 α 与 β 也可能相交,∴①错;在②中 l 与 m 也可能异面,∴②错,③正确. 答案:C 9.设 m,n 为两条直线,α,β 为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是( ) A.若 m?α,n?α,且 m∥β,n∥β,则 α∥β B.若 m∥α,m∥n,则 n∥α C.若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m,n 为两条异面直线,且 m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则 α∥β 答案:D

10.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为? ? 10 30 2 15 3 10 A. B. C. D. 10 10 10 10 答案:B 11. 已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线
2

x2 y 2 抛物线的准线与 x ? ? 1 的右焦点重合, 7 9 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为
(B)8 (C)16 (D)32

(A)4 【答案】D

p p , 0) ,所以 ? 4 ,即 p ? 8 。所以 2 2 y2 2 抛物线 方程为 y ? 16 x ,焦点 F (4, 0) , 准线方程 x ? ?4 , 即 K (?4, 0) ,设 A( , y ) , 16
【解析】双曲线的右焦点为 (4, 0) ,抛物线的焦点为 (

过 A 做 AM 垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知

AM ? AF ,所以 AK ? 2 AF ? 2 AM ,即 AM ? MK ,所以
得 y ? 16 y ? 64 ? 0 , ( y ? 8) ? 0 , 即 所以 y ? 8 , 所以 S ?AFK
2 2

y2 ? (?4) ? y , 整理 16 1 1 ? KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 , 2 2

选 D. 12.已知正方体 ABCD -- A1B1C1D1 中,M 为 AB 中点,棱长为 2,P 是底面 ABCD 上的动点, 且 满 足 条 件 PD1 ? 3PM , 则 动 点 P 在 底 面 ABCD 上 形 成 的 轨 迹 是 ( )A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 选择题答案:1-6 7-12 【答案】D

p p , 0) ,所以 ? 4 ,即 p ? 8 。所以 2 2 y2 2 抛物线 方程为 y ? 16 x ,焦点 F (4, 0) , 准线方程 x ? ?4 , 即 K (?4, 0) ,设 A( , y ) , 16
【解析】双曲线的右焦点为 (4, 0) ,抛物线的焦点为 (

过 A 做 AM 垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知

y2 AM ? AF ,所以 AK ? 2 AF ? 2 AM ,即 AM ? MK ,所以 ? (?4) ? y , 整理 16 1 1 2 2 得 y ? 16 y ? 64 ? 0 , ( y ? 8) ? 0 , 即 所以 y ? 8 , 所以 S ?AFK ? KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 , 2 2
选 D. 【答案】A 13.过点 M ?? 3,?3? 的直线 l 被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 10,则直线 l 的方 程为 . 【答案】 x ? 3 y ? 6 ? 0
2 2

14.若直线 l 过点 A(?1,3) ,且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则直线 l 的方程为___________. 【答案】 y ? ?2 x ? 1

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A、B 两点, 9 4 若 M 点恰好为弦 AB 的中点,则 AB 所在直线的方程 为 . 【答案】 4 x ? 9 y - 13 ? 0
15.过点 M (1,1) 作一直线与椭圆 16.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个 三棱柱的左视图的面积为 . 【答案】 6 3 2 2 17.过点 A(-2,0)的直线交圆 x +y =1 交于 P、Q 两点,则

??? ???? ? AP · AQ 的值为____.
2 2

【答案】3 18.椭圆 ax ? by ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜

3 a ,则 的值为_____________ 2 b 3 【答案】 ; 2 19. 如图, 矩形 ABCD 中,AD ? 平面ABE ,AE ? EB ? BC ? 2 , F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面ACE ,AC、BD 交于点 G. (1)求证: AE ? 平面BCE ; (2)求证; AE / / 平面BFD ; (3)求三棱锥 C ? BGF 的体积.
率为

1 . 3 2 2 20. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 x ? y ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q , 过点 P(0, 且 2) 斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B . (Ⅰ)求 k 的取值范围;
【答案】 (1)利用线线垂直证明线面垂直; (2)利用线线平行证明线面平行; (3) (Ⅱ)以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OADB,是否存在常数 k ,使得直线 OD 与 PQ 平行?如 果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

【答案】 (Ⅰ)先设出直线的方程,由直线与圆有两个不同的交战,故联立圆方程可得得一 元二次方程,由判别式大于 0 可得 K 的取值范围为 ? ? ,? ; 0 (Ⅱ)没有符合题意的常数 k , 理由见解析. 21.如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为蓌形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60°,E,F 分别是 BC,PC 的中点。 (Ⅰ)求证:AE⊥PD; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为

? 3 ? 4

? ?

6 ,求二面角 E-AF-C 的余弦值. 4

【答案】 (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC.又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD.所以 AE⊥PD.??6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角 坐标系 A-xyz,

设 AB=2,AP=a,则 A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C( 3 ,1,0) ,D(0,2,0) ,P(0, 0,a) ,E( 3 ,0,0) ,F(

3 1 a , ,, ) 2 2 2

所以? PB =( 3 ,-1,-a) ,且? AE =( 3 ,0,0)为平面 PAD 的法向量,设直线 PB 与 平面 PAD 所成的角为θ , 由 sinθ =|cos<? PB ,? AE >|=

| PB ? AE | | PB | ? | AE |

=

3 4?a
2

=

3

6 ??8 分 4

解得 a=2 所以? AE =( 3 ,0,0) ,? AF =(

3 1 , ,1) 2 2

? 3 x1 ? 0, ?m ? AE ? 0 ? ? 设平面 AEF 的一法向量为 m=(x1,y1,z1),则 ? ,因此 ? 3 取 1 x1 ? y1 ? Z1 ? 0 ?m ? AF ? 0 ? ? 2 ? 2
z1=-1,则 m=(0,2,-1),??10 分 因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 AFC,故 , BD 为平面 AFC 的一法向量.又 BD =(- 3 ,3,0) 所以 cos<m, BD >=

m ? BD | m | ?BD

?

2?3 15 ? . 5 5 ? 12
15 . 5

因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为
2

22.如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F . 过点 P(2, 的直线交抛物线于 A ( x1 , y1 ) , 0) B ( x2 , y2 ) 两点,直线 AF,BF 分别与抛物线交于点 M,N (1)求 y1 y 2 的值; (2)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k 2 证明:

k1 为定值 k2


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