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第1.2章习题解答


平几习题集解答 第一章习题 练习 1(面积法) 1. 已知:点 E、F 分别在平行四边形 ABCD 的边 DC 和 BC 上,且 AE=AF,DG⊥AF, BH⊥AE,G、H 是垂足。求证:DG=BH。 A D 证明:连 DF、BE,那么
S ?ABE S ?ADF 1 ? AB ? AD sin?DAB , 2 1 ? AD ? AB sin?DAB , 2
H G B F E C

所以 S ?ABE ? S ?ADF 。 但 S ?ABE ?
1 1 AE ? BH , S ?ADF ? AF ? DG, AF=AE,于是 BH=DG。 2 2

2. 设 AD 为Δ ABC 的中线,F 为 AD 的中点,连结 BF 并延长交 AC 于 E。 A 求证:EC=2AE。 E F 证明:因为 BD=DC,AF=FD,故
AE S ?ABE 1 S AF 1 ? ? ? ?ABE ? ? 。 CE S ?CBE 2 S ?BDE 2FD 2
B D C

3. 已知平行四边形 ABCD 中, F 分别在 CD、 上, 和 CF 相交于 G, AE=CF。 E、 AD AE 且 求证:GB 平分∠AGC。 证明:连 BE、BF,则
S ?BFC ? 1 ? BC ? AB sin?ABC ? S ?AEB 。 2
A F G D E C

另一方面,
S ?BFC ? S ?AEB 1 ? CF ? BG sin?BGC , 2 1 ? ? AE ? BG sin?AGB, 2
B

所以 sin∠BGC=sin∠AGB,即∠BGC=∠AGB。所以 BG 平分∠AGC。 4.P 是 Δ ABC 中∠A 的平分线上任意一点。过 C 引 CE//PB,交 AB 的延长线于 E,过 B 引 BF//PC,交 AC 的延长线于 F。求证:BE=CF。 证明:如图,
A

CG BE BH FC , ? , ? GA BA HA AC

H P B D

G C


1? AH BD CG AC BD BE ? ? ? ? ? HB DC GA CF DC AB BE BD AC BE ? ? ? ? , CF DC AB CF

E F

所以 BE=CF。 5.E、F 是任意四边形 ABCD 的对边 AD、BC 的中点,M 为对角线 BD 延长线上任一 点。若直线 ME、MF 分别与 AB、CD 相交于 P、Q 两点。求证:EF 平分 PQ。 证明:由 P、E、M 共线,得
AE DM BP BP MB 。 ? ? ? 1 ,故 ? ED MB PA AP DM

1

由 F、Q、M 共线,得
CQ BP 所以 。 ? QD AP

CQ MB BF CQ DM 。 ? ? ? 1 ,故 ? FC QD MB QD DM

M A P E N D Q

因为 AE=ED,BF=FC,所以 PN=NQ。

B

F

C

6.AD 是 Δ ABC 的中线,过 B 点的直线交 AD 于 E,交 AC 于 F。求证: 证明:因为 CD=DB,所以
S BE S ?BDE AC 。 ? ? ?DEC ? EF S ?FDE S ?DEF AF
B E D A F

BE AC 。 ? EF AF

C

7.P 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上任一点,PE⊥AB 于 E,PF⊥BC 于 F。求证: PE :PF = BC :AB。 A 证明:因为 ABCD 是平行四边形,故 D
S ?APB BP ? AB sin?ABP ? ?1。 S ?BPC BP ? DC sin?BDC
E B P F C

另一方面,由 PE⊥AB,PF⊥BC,知
S ?APB PE ? AB ,所以 ? S ?BPC BC ? PF

PE BC 。 ? PF AB

8.Δ ABC 中,∠ACB=900,AC=BC,D 为 BC 中点。作 CE⊥AD,分别交 AB、AD 于 E、F。求证:AE=2BE。 证明:因 为 CD=BD,故
S S AE S ?ACE AF ? ? ?ACE ? ? ?AFC 。 EB S ?CEB 2 S ?CDE 2 DF 2 S ?CFD
A

另一方面,AC⊥CD,CF⊥AD,故Δ AFC∽Δ CFD。所以
F

E C D B

S ?AFC ? AC ? ?? ? ?4。 S ?CFD ? CD ?

2

故 AE=2EB。 9.已知:在 Δ ABC 中,AB=AC,P 为 BC 上任意一点,PD⊥AB 于 D,PE⊥AC 于 E, A BF 是 AC 边上的高。求证:PD+PE=BF。 证明:连 AP,那么由 F S ?ABC ? S ?ABP ? S ?ACP , D E 得 AC· BF=AB· PD+AC· PE。 B P C 又因为 AB=AC,所以 PD+PE=BF。 10.设 O 是 Δ ABC 内任一点,AO、BO、CO 的延长线分别交对边于 D、E、F。求证:
AO BO CO ? ? ? 2。 AD BE CF
A E C

证明:如图,
AO BO CO S ?ABC ? S ?BOC S ?ABC ? S ?COA S ?ABC ? S ?AOB ? ? ? ? ? AD BE CF S ?ABC S ?ABC S ?ABC ? 3? S ?BOC ? S ?COA ? S ?AOB ?2 。 S ?ABC
B F O D

2

11.设线段 OA 的中点为 M,过 A 的任意直线与过 O 的任意(位于 OA 的两侧)的两 直线分别相交于 P、Q,Q 在线段 AP 上,PM 与 OQ 交于 R,QM 与 OP 交于 S。求证: OP OQ ? ? 3。 PS QR 证明:因为 M 是 OA 的中点,故根据平行四边形 PNRQ 的调和性知 NQ//OA。同理, PT//OA。于是
OQ OR ? RQ OR OA ? ? 1? ? 1? RQ RQ RQ NQ PQ ? QA QA AP ? 1? ? 1? ? 2? PQ PQ PQ OA OS OP ? PS ? 2? ? 2? ? 2? PT PS PS OP ? 3? PS

S P N R O M A Q T

所以

OQ OP ? ? 3。 RQ PS
2

12.在 Δ ABC 的边 AB、AC 上分别取点 D、E,使 DE//BC,在 AB 上取点 F,使
S ?ADE ? S ?BFC 。求证:AD =AB·BF。

证明:因为 所以

SΔ ADE=SΔ BFC,2SΔ ADE=AD· DEsin∠ADE, 2SΔ BFC=BF· BCsin∠B, AD· DEsin∠ADE=BF· BCsin∠B。
B

A F D E C

BC AB 由因为 DE//BC,所以∠ADE=∠B, ,所以 ? DE AD AD BC AB ,即 ? ? BF DE AD

AD2=AB· BF。

13.AD 是 RtΔ ABC 的斜边 BC 上的高,E 是 CB 的延长线上一点,且∠EAB=∠BAD。
BD ? AE ? ?? 求证: ? 。 DC ? EC ?
2

证明:AB⊥AC,AB 平分∠DAE,所以 另一方面,Δ AEB∽Δ CEA。所以
S ?ABE ? AE ? ?? ? 。 S ?ACE ? CE ? BD ? AE ? ?? ? 。 DC ? CE ?
2 2

BD BE S ?ABE 。 ? ? DC CE S ?ACE
A

E

B

D

C

所以

14.过平行四边形 ABCD 的顶点 A 引直线交 BD 于 P,交 DC 于 Q,交 BC 的延长线于
PQ ? PD ? R。求证: ? 。 ? ? PB ? PR ?
A
2

P Q D C

证明:因为 AD//BC, AB//CD,所以Δ PQD∽Δ PAB。 R 从而

B

3

S ?PQD S ?PQD S ?PQD ? PD ? 2 PQ S ?PQD ? ? ? ? ?? ? 。 PR S ?PRD S ?PAD ? S ?ADR S ?PAD ? S ?ADB S ?PAB ? PB ? TB ? AB ? 。 ? ? TC ? AC ?
T B C
2

15. 已知: 与 Δ ABC 的外接圆相切于 A, CB 的延长线交于 T。 AT 与 求证: ? 证明:因为 TA 是切线,所以Δ TAB∽Δ TCA,所以
AB S ?TAB ? AB ? ? ?? ? 。 TC S ?TAC ? AC ?
2

A

练习 2(代数法) 1. 在锐角 Δ ABC 中,AD、CE 是两条高,交点为 H,且 AD=BC,M 是 BC 边的中点。 求证:MH+DH 是 BC 的一半。 证明:设 AD=BC=2x,MD=y。易知 Δ CDH∽Δ ADB,从而有
CD AD , ? DH DB

即有

DH ?

CD ? DB ( x ? y )( x ? y ) x 2 ? y 2 ? ? AD 2x 2x MH 2 ? MD 2 ? DH 2 ? y 2 ? ( MH ? x2 ? y2 2x
2 2 2

(1) 。

又由勾股定理得

x2 ? y2 2 x2 ? y2 2 ) ?( ) ,即 2x 2x
A E

(2) 。

(1)+(2)得
x ?y x ?y 。 MH ? DH ? ? 2x 2x
2

H

所以

1 MH ? DH ? BC 。 2

B

M

D

C

2. Δ ABC 为等边三角形,点 D、E、F 分别在 BC、AC、AB 上。求证:Δ DEF 的周 长≥Δ ABC 的周长之半。 证明:如图,设 Δ ABC 的边长为 a,AF=x,,BD=y,,CE=z,EF 在 BC 边上的投影为 MN,那么
EF ? MN ? BC ? BN ? CM ?a? 1 z 1 (a ? x ) ? ? (a ? z ? x ) 。 2 2 2
B F A

E N D M C

1 1 同理, DF ? (a ? x ? y ), DE ? (a ? y ? z ) 。 。 2 2

所以 3.

DE ? DF ? EF ?

3a 1 ? ( AB ? BC ? CA) 。所以 Δ DEF 的周长≥Δ ABC 的周长之半。 2 2
ax 2 ? bx ? c a ?x 2 ? b ?x ? c ?

已知 a、b、c 和 a′, b′, c′分别为 Δ ABC 和 Δ A′B′C′的三边,且

对于任意实数 x 都为定值。求证:Δ ABC∽Δ A′B′C′。

4

证明:设定值为 m(≠0) ,那么
ax 2 ? bx ? c ?m, a ?x 2 ? b ?x ? c ?



( a ? ma ? ) x 2 ? ( b ? m b ? ) x ? ( c ? m c ? ) ? 0 。

因为此式对任意实数都成立,所以 a ? ma ? ? b ? mb? ? c ? mc ? ? 0 。 所以
a b c ? ? ,从而 Δ ABC∽Δ A′B′C′。 ? b? c ? a

4.AB 是⊙O 的直径,过 A、B 引圆的切线 AD、BC,又过弧 AB 上任一点 E 的切线 与 AD、BC 相交于 D、C。求证:2OE≤CD。 D 证明:过 O 作 OM//BC 交 CD 于 M,则 M 是 CD 的中点。 因为 OE⊥CD,所以 OE≤OM。 E C M 由梯形的性质得
OM ? AB ? BC DE ? EC DC , ? ? 2 2 2
A O B

所以

2OE≤CD。 5.ABCD 是圆内接四边形,对角线 AC⊥BD。求证:2SABCD = BC·AD+AD·BC。 D 证明:根据托勒密定理知 C AD· BC+AB· DC=AC· BD。 A 因为 AC⊥BD, 所以 2SΔ ABCD= AC· BD。 B 所以 AD· BC+AB· DC=2SΔ ABCD。 6. 一个给定的凸五边形 ABCDE 有下列性质: ABC、 BCD、 CDE、 DEA、 EAB Δ Δ Δ Δ Δ 的面积都等于 1。证明:每一个具有上述性质的不全同的五边形都有相等的面积。 证明:因为 SΔ ABE = SΔ ADE,所以 BD//AE,从而 SΔ ABF = SΔ DEF。 同理,AC//DE,AD//BC。 A E 设 AD 与 BE 交于点 F,则四边形 BCDF 是平行四边形,故 F SΔ BDF =1。设 SΔ ABF = x,那么由
S ?ABF BF S ?BDF ? ? S ?AEF FE S ?DEF
B C D



x 1 ? 。由此解得 x ? 1? x x

5 ?1 。 2
5 ?1 5? 5 。 ? 2 2

所以

S ABCDE ? S BCDE ? S ?ABE ? S ?ABF ? 2 ? 1 ?

7.已知:PA、PB 分别切⊙O 于 A、B 两点,E、F 分别为 PA、PB 的中点,连结 EF 交 PO 于 Q 点,QH 切⊙O 于 H 点。求证:PQ=QH。 A H 证明:因为 E、F 分别为 PA、PB 的中点,故 2PQ=PR。 E 所以 QH2=OQ2 – r2=OQ2 – OR· OP 2 P Q R O =(QR+OR) – OR· OP=QR2+2QR · OR+OR2– OR· OP 2 2 F = QR +OR(2QR+OR – OP)=QR B 所以 QH=QR=PQ。 8.AB 是⊙O 的直径,P 是⊙O 上任意一点,且 PC⊥AB 于 C。以 P 为圆心,PC 为半 径的圆与⊙O 相交于 D、E,DE 与 PC 交于 M。求证:M 是 PC 的中点。

5

证明:因为 DM· ME=DM(2PC – PM)=CM(2PC – CM), P 2 D 所以 2PC· – PM =2PC· – CM2,即 PM CM E M 2PC(PM – CM)=( PM – CM)(PM+CM)。 A B O C 因为 PM+CM=PC,所以 PM – CM=0,即 PM=CM, 故 M 为 PC 的中点。 9.设 Δ ABC 的内切圆与边 AC 相切于 F,且 AB· BC=2CF· FA。求证:Δ ABC 是直角 三角形。 证明:因为 AB· BC=2CF· FA,所以
S ?ABC ? 1 AB ? AC sinB ? CF ? FA sinB 。 2
B

于是有 rp=(p-c)(p-a)sinB, rp2=p(p – b )(p – a )(p – c )sinB=r2p2sinB, 故 p – b = rsinB。 因为 p ? b ? r cot
B B B B ,所以 cot ? sinB ? 2 sin cos , 2 2 2 2
A

I C F

解得 B=900。故 Δ ABC 是直角三角形。 10.Δ ABC 中,∠A=900,以 BC 为一边向外作正方形 BCDE,连结 AD、AE 与 BC 交 于 F、G。求证:BF2+CG2+FG2=BC2。 , 证明:因为∠A=900 四边形 BCDE 是正方形,故
ha GF AB ? sin B ? ? BC h a ? BC AB ? sin B ? BC ? ? BC ? cos B ? sin B BC ? cos B ? sin B ? BC cot B 1 ? cot B ? cot 2 B
A G B F C



GF ?

cot B 1 ? cot B ? cot B
2

BC 。



AB ? BD sin( 0 ? B ) 45 BF S ?ABD ? ? CF S ?ACD AC ? BC sin( 0 ? C ) 90 ? AB ? 2 BC sin( 0 ? B ) 45 AC ? BC sin( 0 ? C ) 90


E D

? cot B ? (1 ? cot B )


BG S ?ABE ? ? CG S ?ACE

BF ? cot B(1 ? cot B) 。 CG ? FG
AB ? BC sin( 0 ? B ) 90 2 AC ? BC sin( 0 ? C ) 45 ?



cot 2 B , 1 ? cot B



BF ? FG cot 2 B 。 ? CG (1 ? cot B )



由①、②、③解得
CG ? 1 ? cot B 1 ? cot B ? cot B
2

BC ,

FG ?

cot B 1 ? cot B ? cot B
2

BC ,

(1 ? cot B) cot B 1 ? cot B ? cot2 B

BC ,

从而

6

CG 2 ? BG 2 ? FG 2 ? [(

1 ? cot B 1 ? cot B ? cot 2 B

)2 ? (

cot B 1 ? cot B ? cot 2 B

)2 ? (

(1 ? cot B) cot B 1 ? cot B ? cot 2 B

) 2 ]BC 2 ,

因为 (1 ? cot B) 2 ? cot2 B ? cot2 B(1 ? cot B) 2 ? (1 ? cot B ? cot2 B) 2 , 所以 BF2+CG2+FG2=BC2。 11.圆中三弦两两相交于 P、Q、R。若 PA=QE=RD,PC=QB=RF。求证:Δ PQR 为等 E 边三角形。 B 证明:由 PQ+AP+QB=PR+PC+RD=QR+QE+RF, C Q PA=QE=RD,PC=QB=RF, P R A 解得 PQ=RP=QR。 D 所以 Δ PQR 为等边三角形。 F 12.在 Δ ABC 中,D、E 分别是 BC、AB 上的点,连结 DE,且∠B=∠CAD=∠ADE。 Δ ABC、Δ EBD、Δ ADC 的周长依次为 m、m1、m2。求:

m1 ? m2 的范围。 m

证明:因为∠B=∠CAD=∠ADE,所以 DE//AC。设 BD=λBC, 则 m1=λm。 由 ΔACD∽ΔBCA,知
AC CD AD ,故 ? ? BC AC AB
2

A E

m2 ?

S ?ACD ? AC ? AC CD BC ? BD m, ?? ? ? 1? ? 。 ? ? BC S ?ABC ? BC ? BC BC

B

D

C

所以

m1 ? m 2 5 1 5 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? (1 ? ? ) ? 1 ? ? ? ? ( ? 1 ? ? ) 2 ? 。 m 4 2 4

13. P 为⊙O 外一点,PN 是⊙O 的切线,切点为 N,M 为 PN 的中点。过 P、M 作 ⊙O1,与⊙O 相交于 A、B 两点,BA 的延长线交 PN 于 Q。求证:MQ:QN:PM:PQ=1: 2:3:4。 证明:如图,QM· QP=QA· QB=QN2,所以 由此得
QM QN 。 ? QN QP
P MQ A B N

QM QN MN PN ,QP=2QN。 ?1 ? ? 1 ,即 ? QN QP QN QP

于是 PQ ?

2 1 1 PN , QN ? PN , QM ? PQ ? PM ? PN 。 3 3 6

设 PN=6t, 则 QM=t, QN=2t, PM=3t, PQ=4t,所以 MQ:QN:PM:PQ=1:2:3:4。 14.两等圆 O、O′ 相交于 P、Q 两点,并且一圆经过另一圆的圆心,PQ 交 OO′于 A 点, ⊙O′′与⊙O 内切,与⊙O′外切,并在 OO′的 P 点的一侧与 OO′相切于 C 点,BC 是⊙O′′的直 径。求证:BCAP 是正方形。 证明:如图,设等圆的半径为 r,另一圆的半径为 r′,CO=x,那么 B P (r + r′ )2 = r′ 2 + (x + r)2,(r – r ′ )2 = r′ 2 + x2, 即 2rr′ = x2 +2xr,r2 – 2rr′ = x2。解得 所以
AC ? r 3 ?1 3 ? r? r ? AP , 2 2 2 x? 3 ?1 r。 2
O' C O A Q

7

2r ? ?

r ?x ? r
2 2

r2 ?(

3 ?1 2 2 ) r 3 ?1 2 3 2 ? [1 ? ( ) ]r ? r ? AP。 2 2 2

于是由 AP⊥AC,BC⊥AC 知四边形 ACBP 是正方形。 练习 3(三角函数法) 1. 在 Δ ABC 中,AB=AC,P 为 BC 上任一点,PD⊥AB,垂足为 D,PE⊥AC,垂 A 足为 E,CG⊥AB,垂足为 G。求证:PD+PE=CG。 G 证明:因为 AB=AC,故∠B=∠C,由
PE ? PC ? sinC , PD ? BP ? sinB,
D B P E C

知 PD+PE=sinB(BP+PC)=BC·sinB=CG。 2. 在 Δ ABC 中,∠ACB=900,CD⊥AB 于 D。求证: 证明:因为∠ACB=900,CD⊥AB,所以
CD CD ? sinB, ? sin A ? cos B 。 BC AC
1 AC 2

?

1 BC 2
A

?

1 CD 2



所以

sinB 2 cos B 2 1 ? ?( ) ?( ) ? 2 2 CD CD AC BC CD 2

1

1

D


C B

3. 在 Δ ABC 中,∠ACB=900,P 为 BC 中点,PD⊥AB,垂足为 D。求证: AD2 – BD2 = AC2。 证明:因为∠ACB=900,P 为 BC 中点,PD⊥AB,所以
BD ? BP cos B ? 1 1 BC ? cos B, AD ? AB ? BD ? AB ? BC cos B 。 2 2
A

所以
AD 2 ? BD 2 ? ( AD ? BD )( AD ? BD ) ? AB( AB ? BC c o B ) s ? AB ? AC c o s ? AC 2 A
0


C P

D B

4. 已知在 Δ ABC 中, AB=AC, ∠A=90 , 在 AB 上, 在 AC 上,BD ? AE ? D E 求证:∠ADE=∠EBC。 证明:如图,
AD cos ?ADE ? ? DE 2 AC 3 1 2 ( AC ) 2 ? ( AC ) 2 3 3 2 5
A E B D

1 AC 。 3

?

,

F

2 ( AC ) 2 ? CE 2 ? BE 2 ? BC 2 ? 2 BE ? BC ? cos ?EBC 3

C

1 1 ? AC 2 ? ( AC ) 2 ? 2 AC 2 ? 2 AC 2 ? ( AC ) 2 ? 2 AC ? cos ?EBC , 3 3



2 4 1 20 。所以∠ADE=∠EBC。 ? 1? ? cos ?EBC ? 2 。由此解得 cos ?EBC ? 9 9 3 5

5.Δ ABC 的两条高 AD、BE 相交于 H,延长 AD 交外接圆于 K。求证:HD=DK。

8

证明:如图,
HD ? BD ? tan?CBE , DK ? BD ? tan?CBK ? BD ? tan?CAK ? BD ? tan?CBE ,

A H B D K E C

所以 HD=DK。

6.以⊙O 上一点 O? 为圆心作⊙O′,记⊙O 与⊙O′的一个交点为 A,⊙O 的直径 AB 交 ⊙O′于 C。求证:AB· AC=2O′C2。 证明:如图,作 O′D 垂直 AC 于 D,则由 O′A=O′C 可知 O' AD=DC。于是由射影定理得
A

1 O ?A ? AD ? AB ? AC ? AB , 2
2

D C B



AB· AC=2O′A2=2O′C2。 另证:由 O ?C ? cos ?O ?AC ?
1 AC , O ?A ? AB ? cos ?O ?AC 知 2
1 AB 2

AB· AC=2O′A2=2O′C2。

7.过正方形 ABCD 的顶点 A,任作一直线交 BC 于 E,交 DC 的延长线于 F。求证:
1 AE
AB 2 AE
2

2

?

1 AF
2

?



A

D

证明:如图,AE·cos∠BAE=AB, AF·sin∠BAE=AD=AB, 所以
? AB 2 AF 2 ? 1 ,即
B E F C

1 AE
2

?

1 AF
2

?

1 AB 2



8.在 RtΔ ABC 中,∠A=900,AD⊥BC,垂足为 D,BC 上有一点 E,且 BE=CD,过 A、D、E 三点作圆,并过 B 作圆的切线,切点为 F。求证:
1 AB
2

?

1 AC
2

?

1 BF 2



证明:如图,因为∠A=900,AD⊥BC,故 BD· CD=AD2,∠DAB=∠C。 C 那么
BF 2 AB
2

?

BF 2 AC
2

?

BE ? BD ? AB AD 2 AB
2 2

? ?

BE ? BD AC AD 2 AC
2 2

?

CD ? BD AB
2

?

CD ? BD AC 2

D E A B F

? cos2 ?C ? sin2 ?C ? 1 。

所以

1 AB 2

?

1 AC 2

?

1 BF 2



9.在矩形 ABCD 中,过 A 作对角线 BD 的垂线 AP,垂足为 P,过作 BC、CD 的垂线 PE、PF 与 BC、CD 分别交于 E、F。求证:AP3=BD· PE·PF。 A D 证明:如图,记∠ADB=α ,那么∠BAP=∠PBE=∠DPF,故
AB , PE ? BP ? sin? ? AB ? sin2 ?, sin? AB ? cos3 ? PF ? PD ? cos ? ? AD ? cos2 ? ? AB ? cot ? ? cos2 ? ? , sin? AP ? AB ? cos ?, BD ?

P
F B E C

所以 AP3=BD· PF。 PE· 10.设 ABCD 是已知⊙O 的内接矩形,过 A 作该圆的切线,与 CD、CB 的延长线交于

9

BF ? CF ? E、F。求证: ?? ? 。 DE ? CE ?

3

E

证明:如图,记∠ADB=α ,那么∠FAB=∠AED,故
CF ? tan ? 。 CE

A

D

所以

BF BF AB AD CF 3 。 ? ? ? ? tan3 ? ? DE AB AD DE CE 3

F

B

C

11.已知:半圆的直径 AB,半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为 T(AT<R/2, R 为半圆的半径) 半圆上有相异两点 M、 且 MP⊥l 于 P, , N, NQ⊥l 于 Q, MP=AM, NQ=AN。 求证:AM+AN=AB。 证明:记∠MBA=α,∠NBA=β,那么 PM ? SA ? AM ? sin? ? SA ? PM ? sin? 。 由此解得 AM ?
SA 。 1 ? sin? SA , 1 ? sin?
N M A O B

Q P T

又 AM=sinα,于是 AB ? sin? ? 即
2

SA sin ? ? sin? ? ? 0。 AB

同理可得, sin2 ? ? sin? ?

SA ? 0。 AB SA ? 0 的两个根,故 sinα + sinβ = 1。 AB

所以 sinα,sinβ 是方程 x 2 ? x ?

所以 AM +AN = ABsinα +ABsinβ = AB。 12. AB 为半圆的直径, 是半圆上的任一点, 是过 P 的切线, 设 P MN AM⊥MN, BN⊥MN 2 PD⊥AB,M、N、D 分别为垂足。求证:PD =MA· NB。 证明:连 AP、PB,因为 AB 是直径,故 AP⊥PB。 N P 记∠MPA=α,则∠PBA =∠APD = α, M ∠BPN =∠PAB =∠BPD = 900 – α 。 又 BN⊥PN,PD⊥DB,故 A
AM ? cos ? BN ? sin? PD ? AP ? cos ? ? , PD ? BP ? sin? ? , sin? cos ?
D B

所以 PD2=MA· NB。 13.求证:圆上任意一点到弦距离是该点到此弦两端点的切线的距离的比例中项。 证明:连 AP、BP,记∠PAB=α,∠PBA=β,那么
PD ? si n? , si n? PD ? si n? PF ? PA ? si n? ? , si n? PE ? PB ? si n? ?

F

P D

E B

所以 PE· = PD2 。 PF

A

10

练习 4(向量与平行) 1. 设 M 是线段 AB 的中点,试证:当 C 在线段 AB 内时,CM 是 CA 与 CB 半差,当 C 在 AB 的延长线上时,CM 是 CA、CB 的半和。 证明:当 C 线段 AB 内时,有
CM ? CB ? BM ? CA ? AM 。

因为 M 是 AB 的中点,所以
CM ? 1 (CB ? CA) 。 2

A

M

C

B

所以

CM ?

1 | CA ? CB | 。 2

A

M

B

C

当 C 线段 AB 外时,根据 CM ?

1 1 (CB ? CA) 知 CM ? (CA ? CB) 。 2 2

2.证明平行于三角形的底边而介于其他两边间的线段,必被底边上的中线平分。 A 证明:如图,设 AD=λAB,那么
DN ? ? BM ? ? MC ? NE 。

所以 DN=NE,即 DE 被 AM 平分。
B

D N M

E C

3.通过梯形对角线交点作平行于底边的直线,证明其介于两腰间的线段以对角线交点 为中点。 证明:如图,设 EP=λAD,因为 EF//AB//CD,那么
A D

EP ? EB ? BP ? ? ( AB ? BD ) ? ? AD , PF ? PC ? CF ? ? ( AC ? CD ) ? ? AD ,

E P B

F

所以 EP ? PF ,即 EP=PF。

C

4.梯形上下底中点,两对角线交点,两腰(所在直线)交点共线。 证明:如图,设 M、N 分别是 CD、AB 的中点,由第 2 题的结论 知 P、N、M 三点共线。 A 设 AB=λCD,因为 AB//CD,那么
QN ? QB ? BN ? ? ( DQ ? MD) ? ? MQ ,

P

N Q

B

故 M、N、Q 三点共线。 综上,梯形上下底中点,两对角线交点,两腰(所在直线)交点共线。 5. 梯形的对角线中点的连线平行于梯形的底边。 证明:如图,
MN ? 1 1 AB ? AD CB ? CD ( MA ? AN ) ? ( ? ? ) 2 2 2 2 1 ? ? ( AB ? CD ? AB ? BC ? CD ? CB ) 4 1 ? ? ( AB ? CD ) 2
A

D

M

C

B N M

D

C

11

因为 AB//CD,所以 MN 为 CD 与 AB 的半差。 6. AD、BE、CF 是Δ ABC 的高,从垂足 D 引 DM⊥BE 于 M,引 DN⊥CF 于 N,证 A 明 MN//EF。 证明:设 MH=λHE,因为 DM//EA,DN//FA,故
F

DM ? ? EA, DN ? ? FA 。

E M H N D C

所以 MN ? MD ? DN ? ?( FA ? EA) ? ? FE 。 于是 MN//EF。 7. 证明:三角形的重心、垂心和外心共线(欧拉线) 。 证明:如图,
OG ? OA ? AG ? OA ? ? OA ? 2 AM 3

B

A

1 ( AB ? AC ) 3 1 ? OA ? ( AO ? OB ? AO ? OC ) 3 1 ? (OA ? OB ? OC ), 3
OH ? OA ? AH ? OA ? 2OM ? OA ? OB ? OC 。

H B

G O M C

所以

OH ? 3OG ,故 O、G、H 三点共线。

8. 在Δ ABC 中,M 为 BC 的中点,E 在 AB 上,过 E 作 FD//AM 交 BC 于 D,交 CA 的 延长线于 F,求证:DE+DF=2AM。 证明:如图,设 BE=λBA,因为 M 为 BC 的中点,故
DE ? ? MA, CD ? CB ? BD ? CB ? ? BM ? ( 2 ? ? )CM 。
F A E B D M C

于是

DF ?

CD MA ? (2 ? ? ) MA 。 CM

所以 DE ? DF ? 2 MA 。所以 DE+DF=2AM。 9. 在Δ DCE 中,EO 垂直于∠D 的平分线于 O,CB 垂直于∠D 的平分线于 B,CO 和 BE 的延长线交于 A,连结 AD。求证:
1 1 1 。 ? ? AD BC EO

证明:EO 垂直于∠D 的平分线于 O,CB 垂直于∠D 的平分线于 B, 则 EO=OG,CB=BF,GE//CF。设 AE=λAB,那么
OE ? ? CB , OE ? OD ? DB ? BE ? DB ? ? DB ? BA ? AE ? DB ? ? DB ? BA ? ? AB ? (1 ? ? )( DB ? BA) ? (1 ? ? ) DA,
G C O B E F D A

所以

OE OE 1 1 1 。 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ,即 ? ? AD BC AD BC EO

10. 从Δ ABC 的两个顶点 B、C 分别作∠A 的平分线的垂线,垂足为 D、E,直线 BE

12

与 DC 交于 P。求证:AP 平分∠A 的外角。 证明:由第 9 题的证明知 AP//BD,从而 AP⊥AD,但 AD 平分∠BAC,所以 AP 平分 ∠A 的外角。 11. 在Δ ABC 中,AB=3AC,AE 平分∠A 交 BC 于 D,BE⊥AE。求证:AD=DE。 证明:因为 AE 平分∠A 交 BC 于 D,BE⊥AE,故 BE=EF,AB=AF。 又 AB=3AC,AE 平分∠A 交 BC 于 D,故
AD ? AB ? 3AC 。 4
B E D A C F

因为 2 AE ? AB ? AF ? AB ? 3 AC ,所以 AE ? 2 AD 。 所以 AD=DE。

练习 5(向量与共点共线) 1. 在平行四边形 ABCD 中,E 为 AB 边的中点,AD 上的 F 满足 2AF=FD,EF 与 AC 交于 G,求证:5AG=AC。 证明:设 AG=λAC,那么有
A F

AG ? ? ( AD ? AB ) ? ? ( 3 AF ? 2 AE ) 。

D E B G C

因为 E、G、F 共线,故 3λ +2λ=1,即 λ=1/5。 于是 5 AG ? AC 。所以 5AG=AC。 2.

设 AM 是Δ ABC 的边 BC 上的中线,任作一直线分别交 AB、AC、AM 于 P、Q、
AB AC AM 。 ? ? 2? AP AQ AN

N,求证: 证明:

AQ AP AN ? x, ? y, ? z ,那么 AB AC AM
AN ? z AM ? z z 1 1 ( AB ? AC ) ? ( AP ? AQ ) 。 2 2 x y
B P

A Q N M C

1 1 2 z 1 1 因为 P、M、N 共线,故 ( ? ) ? 1 ,即 ? ? 。 x y z 2 x y

所以

AB AC AM 。 ? ? 2? AP AQ AN

3. 已知 M、N 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB、CD 的中点,CM、AN 分别交 BD 于 E、F,求证:BE=EF=FD。 证明:设 BE=λBD,那么有
A D

BE ? z AM ? ? ( BA ? BC ) ? ? ( 2 BM ? BC ) 。

M B

因为 E、G、F 共线,故 2λ +λ=1,即 λ=1/3。 于是 3BE ? BD 。所以 3BE=BD。

E

F C

N

4. 已知 AD 是Δ ABC 的中线,E 是 AD 的中点,F 是 BE 的延长线与 AC 的交点,求 证:2AF=FC。 证明:设 AF=xAC,那么有

13

AE ?

1 1 1 1 AD ? ( AB ? AC ) ? ( AB ? AF ) 。 2 4 4 x 1 1 ? ? 1 即 x=1/3。 4 4x
B

A F E D C

因为 E、B、F 共线,故

于是 3 AF ? AC 。所以 2AF=FC。

5. 过Δ ABC 的顶点 C 任作一直线,与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F、E,求证:
AE AF 。 ? 2? ED FB

证明:设 AE=xED, AF =yFB, 那么
AE ? x( EA ? AD ) ? y x AD, AF ? y( FA ? AB ) ? AB , 1? x 1? y
B

A

D E

C

故 AE ?

1? y x AB ? AC x ? ? ( AE ? AC ) 。 1? x 2 2(1 ? x ) y

F

因为 FC、E、F 共线,所以 所以
AE AF 。 ? 2? ED FB

1? y x ( ? 1) ? 1 ,解得 x=2y。 2(1 ? x ) y

6. AD 为Δ ABC 的边 BC 上的中线,过重心 G 作直线 MN,交 AB 于 M,交 AC 于 N, 且 AM=mAB, AN=nAC,求证:
1 1 ? ? 3。 m n
A

证明:因为 AM=mAB, AN=nAC,故
AM ? m AB , AN ? n AC 。
M

又由

2 1 1 1 1 AG ? AD ? ( AB ? AC ) ? ( AM ? AN ) 3 3 3 m n 1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 3 。 m n 3m 3n

G B D

N C

及 M、G、N 共线,知

7. 将平行四边形 ABCD 的边 AD 分为 n 等分,并将它的第一个分点 P 与顶点 B 连结起 来,设 BP 交对角线 AC 于点 Q。求证:AC=(n+1)AQ。 证明:设 AQ=λAC,那么有
A P D

AQ ? ? ( AD ? AB ) ? ? ( AB ? n AP ) 。

Q B C

因为 B、Q、P 共线,故 λ +nλ=1,即 λ=1/(1+n)。 于是 (1 ? n) AQ ? AC 。所以(1+n)AQ=AC。 8.在三角形 ABC 中, AB=AC, AC 上取一点 E, AB 延长线上取一点 D, BD=EC, 在 在 使 证明 BC 平分 DE。 证明:设 DF=xFE,则 因为
D
14

AD ? x AE 。 AF ? 1? x
B

A

E F C

BD BD AD ? (1 ? ) AD , AD AD EC EC AC ? AE ? EC ? AE ? AE ? (1 ? ) AE , AE AE AB ? AD ? BD ? AD ?

所以

AF ?

1 AD xAE ( AB ? AC ) 。 1 ? x AB AC 1 AD xAE ( ? ) ?1。 1 ? x AC AC

因为 B、F、C 共线,所以

利用 AB=AC,BD=CE,解得 x=1。所以 DF=FE,即 BC 平分 DE。 9. 证明: (1)三角形的三中线共点; (2)三角形的三内角平分线共点; (3) 三角形的三高线共点; (4)三角形的二外角平分线和第三内角平分线共点。 证明: (证明(2) ,其它同理可证) 设角平分线 AD 与 CF 交于 I,因为
BD c BF a ? , ? , DC b FA b
c a BC ? BA 1 b b BI ? ? (c BC ? a BA) 。 c a a?b?c 1? ? b b a BC ? BA 1 c BF ? ? (c BC ? a BA) 。 a a?c 1? c
B

A F I D C E

所以

另一方面,

所以 BI ?

a?c BF ,从而 BI//BF,即 B、IF共线。所以三角形的三内角平分线共点。 a?b?c

练习 6(内积与度量) 1.E 是正方形 ABCD 内的一点,且∠ECD=∠EDC=150,证明:Δ ABE 是正三角形。 证明 1:建立坐标系如图,不妨设 BC=1,那么 ? 1? ? 1? 1 1 CE ? ? tan150 i ? j , BE ? (1 ? tan150 )i ? j 。 2 2 2 2 y 所以
| BE | 2 ? (1 ? ? 1 1 1 tan150 ) 2 ? ? (5 ? 4 tan150 ? tan2 150 ) 2 4 4
A E x B C D

4( 3 ? 1) 1 3 ?1 2 (5 ? ?( ) )?1 。 4 3 ?1 3 ?1

同理,AE=1。所以Δ ABE 是正三角形。 证明 2:因为 BE ? BC ? CE ,所以

15

| BE | 2 ?| BC | 2 ? | CE | 2 ?2 BC ? CE ? BC 2 ? CE 2 ? 2 BC ? CE cos1050 BC BC ) 2 ? 2 BC ? sin150 0 2 cos15 2 cos150 1 sin150 1 ? 4 sin150 cos150 ? BC 2 (1 ? ? ) ? BC 2 (1 ? ) 4 cos2 150 cos150 4 cos2 150 1 ? 2 sin300 ? BC 2 (1 ? ) ? BC 2 。 4 cos2 150 ? BC 2 ? (

同理,AE=BC。所以Δ ABE 是正三角形。 2.以正方形一边为底,在正方形所在一侧作等腰三角形,使其顶角为 300,则将其顶 y 点与正方形另两顶点相连,必构成等边三角形。 E 0 证明:建立坐标系如图,不妨设 BC=2,因为∠BEC=30 , 故 BE ? i ? j tan 750 ,从而 AE ? i ? (tan750 ? 2) j 。 所以 | AE | 2 ? 1 ? (tan750 ? 2) 2 ? 1 ? ( 2 ? 3 ? 2) 2 ? 4 ,即 AE=2。
B C

?

?

?

?

A

D

x

同理,DE=2。所以Δ ADE 是正三角形。 3.D 是等边三角形 ABC 的边 BC 延长线上一点,延长 BA 至 E,使 AE=BD,证明: EC=ED。 E y 证明:建立坐标系如图,设 BC=1,CD=x0,那么
? ? BE ? ( 2 ? x 0 ) cos 600 ? i ? ( 2 ? x 0 ) sin600 ? j , ? x ? CE ? 0 i ? ( 2 ? x 0 ) sin600 ? j , 2 ? x ? DE ? ? 0 i ? ( 2 ? x 0 ) sin600 ? j , 2

A x B C D

1 2 1 2 所以 | CE | 2 ? [ x 0 ? 3(2 ? x 0 ) 2 ], | DE | 2 ? [ x 0 ? 3(2 ? x 0 ) 2 ] ,故 CE=DE。 4 4 4.在正方形 ABCD 的边 CD 上取一点 E,在 BC 的延长线上取一点 F,使 CF=CE,证 明:BE⊥DF。

证明:因为 BE ? BC ? CE , DF ? DC ? CF ,所以
BE ? DF ? BC ? DC ? BC ? CF ? CE ? DC ? CE ? CF ? BC ? CF ? DC ? CE ? 0,

A E B

D

C

F

所以 BE⊥DF。 5. AOB 是圆 O 的直径,作半径 OD⊥AB,在 OA、OD 上各取一点 E、F,使 OE=OF, 证明 BF⊥DE。 证明:因为 EE ? DO ? OE, BF ? BO ? OF ,所以
BE ? BF ? DO ? BO ? DO ? OF ? OE ? BO ? OE ? OF ? OB ? OE ? DO ? OF ? 0,
A D F E O B

所以 BF⊥DE。 6.从三角形的顶点 B、C 作对边的垂线 BE、CF,设 M、N 分别是 BC、EF 的中点,

16

证明 MN⊥EF。 证明:因为 BM ? MC , EN ? NF , MN ? MB ? BF ? FN ? MC ? CE ? EN , 所以
2 MN ? CE ? BF ? ? CE BF AC ? AB CA AB
0 0

A F N E B M C
0

? ? BC (cosC ? AC ? cos B ? AB ) 。



EF ? AF ? AE ? AC ? c o s ? AB ? AB ? c o sA ? AC 。 A

0

因为
(cosC ? AC ? cos B ? AB ) ? ( AC ? AB ? AB ? AC ) ? AC ? cos A ? cos C ? AB ? cos C ? AC ? cos B ? AB ? cos A ? cos B ? cos C ? ( AC ? cos A ? AB ) ? cos B ? ( AC ? AB ? cos A) ? ? BF ? cos C ? CE ? cos B ? ? BC ? cos B ? cos C ? BC ? cos B ? cos C ?0,
0 0 0 0

所以 MN ? EF ? 0 ,即 MN⊥EF。 7.设 BE、CF 是Δ ABC 的高,在射线 BE 上截 BP=AC,在射线 CF 上截 CQ=AB,证 明 AP 与 AQ 垂直且相等。 证明:因为
AP ? AB ? BP ? AB ? AC ? BE , AQ ? AC ? CQ ? AC ? AB ? CF ,
0 0

所以
AP ? AQ ? ( AB ? AC ? BE )( AC ? AB ? CF ) ? AB ? AC ? AB ? AC ? BE ? CF ?0,
0 0 0 0

Q F

A E P

? AB ? AC ? cos A ? AB ? AC ? cos A
B

C

故 AP⊥AQ。 又
| AP | 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AC ? AB ? BE 0 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AC ? AB ? cos(1800 ? ?ABE ) ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AC ? AB ? sin A , | AQ | 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AC ? AB ? sin A ,

所以 AP=AQ。 8.从正方形 ABCD 对角线(所在直线)BD 上任一点 P 引 PE⊥BC 于 E,及 PF⊥CD 于 F,证明 AP 与 EF 垂直且相等。 证明:因为

17

AP ? BE ? DF , EF ? EP ? PF , | AP | 2 ? BE 2 ? DF 2 , | EF | 2 ? EP 2 ? PF 2 ? BE 2 ? DF 2 ,

A P B E

D F C

所以 AP=EF。

又 AP ? AQ ? ( BE ? DF )( EP ? PF ) ? BE ? PF ? DF ? EP ? BE ? PF ? DF ? PE ? 0 , 所以 AP⊥EF。 9.Δ ABC 中 BC 边的中垂线交直线 AB 于 D,设圆 ABC 在两点 A、C 的切线交于 E, 证明 DE//BC。 证明:因为
ED ? EO ? OD, ED ? OD ? EO ? OD ? OD 2 ? ? EO ? OD cos ?DOE ? OD 2 ? ? EO ? OD cos C ? OD ? OD(OD ? EO cos C )
2

D A

E

cos C ? OD(OD ? OC ? ), cos B 1 BC ? tan B ? OB ? cos A ? OB ? sin A ? tan B ? OB ? cos A, 2 cos C sin A sin B ? cos B cos A ? cos C OD ? OC ? ? OC ( ) ? 0, cos B cos B OD ?
O B C

所以 ED ? OD ? 0 ,即 DE⊥OD。那么由 BC⊥OD 得 DE//BC。 10.设一直线交Δ ABC 的三边(所在直线)于三点 X、Y、Z,作其中每一点关于该点 所在边中点的对称点,证明这样得到的三点 X′、Y′、Z′也共线。 A 证明:因为 X、Y、Z 共线,故由梅涅劳斯定理得 Z
AZ BX CY ? ? ? ?1 。 ZB XC YA
Y Y' Z' X' B C X

又 X′、Y′、Z′是关于各点所在边中点的对称点,所以
Z ?B X ?C Y ?A ? ? ? ?1 。 AZ ? BX ? CY ?

由梅涅劳斯逆定理知 X′、Y′、Z′也共线。 11.在直角Δ ABC 的直角边 AB、AC 上向外作正方形 ABDE 和 ACFG,证明 BF 和 CD 相交于直角顶的高线 AH 上。 证明:设 CD 与 BF 交于点 P,BF 与 AC 交于 M, E CD 交 AB 于 N,那么
AM S ?ABF AB ? AC AB ? ? ? , MC S ?BCF AC AC 2 AN S ?ACD AB ? AC AC ? ? ? , NB S ?BCD AB AB 2
D A N P B H M C F G

所以
AB AC 0 0 ? AC ? ? AB AB ? AC ? AC ? AB AC AB AP ? ? 。 AB AC AB AC 1? ? 1? ? AC AB AC AB

另一方面,

18

AB ? AH ?

AB cos B AC AC cos C AB cos B 1? AC cos C
0 0

AC ? AB ? cos C ? AB ? AC ? AB ? cos B ? AC ? BC 0 0 AC ? AB ? ( AC ? AB ? AB ? AC ) , BC 2

所以 AH//AP,即 BF 和 CD 相交于直角顶的高线 AH 上。 12.在锐角三角形 ABC 中,∠ACB=2∠ABC,点 D 是 BC 边上的一点,使得 2∠BAD= ∠ABC,证明:

1 1 1 。 ? ? BD AB AC

(波兰数学奥林匹克)
A

证明:如图,作 AB 关于 AD 的对称直线交 BC 于 E,则
BD AB AE=BE =AC,AD 为∠BAE 的平分线,故 。 ? DE AC

于是

BE AB ? AC 。所以 ? BD AB 1 AB ? AC AB ? AC 1 1 , ? ? ? ? BD BE ? AB AC ? AB AB AC

B

D E

C



1 1 1 。 ? ? BD AB AC

13.在一个非钝角三角形 ABC 中,AB>BC,∠B=450,O 和 I 分别是三角形 ABC 的外 心和内心,且 2OI ? AB ? BC ,求 sinA 。 (198 年,中国数学奥林匹克)

证明:如图,设 O、I 分别为Δ ABC 的外心和内心,D、E 分别为 O、I 在 BC 上的投影,那么
c?b 2 DE ? ? OI ? OI ? cos 450 。 2 2

A

(1)当 OI⊥AB 时,由 I 在 AB 的中垂线上可知 Δ ABI 是等腰三角形,于是 ∠ABI=∠BAI。 所以∠A=2∠BAI=2∠BAI=∠B=450,即
sin A ? 2 。 2
B

O I D E C

(2)当 OI//AB 时,有
? c?b 2 ?r ? R cos A ? DE ? ? R(sinC ? sin B ) ? R(sinC ? ), ? 2 2 ?r ? R cos C , ?

2 所以 cos C ? cos A ? sinC ? 。 2

A I O B D E C
19

化简,得

c o C ?s i n ?c o s ? ? s C A

2 , 2 2 ? 2
2 。 2

2 s i n ( 0 ? C) ? c o s ? ? 135 A

因为 B=450,故 A+C=1350。所以
2 sin( 0 ? C ) ? cos A ? 2 sin( 0 ? A) ? cos A ? ? 2 cos A ? cos A ? ? 135 270

所以 cos A ?

2? 2 2? 2 2 1 。于是 sin A ? 1 ? ( ) ? 4? 2 2 。 2 2 2

综上所述, sin A ?

2 1 ,或 sin A ? 4? 2 2 。 2 2

14. 如图,在Δ ABC 中,∠ACB=450,D 为 AC 上一点且∠ADB=600,AB 切Δ BCD 的外接圆于 B,求证:AD :DC=2 :1。 证明:因为∠ACB=450,∠ADB=600,AB 切Δ BCD 的外接圆于 B,A 所以∠CBD=150,∠ABD=450,∠A=750。 根据正弦定理知 于是有
AD S ?ABD AB ? BD ? sin450 sin2 450 ? ? ? ? 2。 DC S ?BDC BD ? BC ? sin150 sin750 ? sin150

AB sin450 。 ? BC sin750

D B C

所以 AD :DC=2 :1。

第二章 证题术 练习 1(线段相等) A 1. 证明:等腰三角形两底角的平分线相等;两腰上的中线也相等。 证明:如图,设 AB=AC,BE、CF 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线, F E 那么由∠ABC=∠ACB,∠EBC=∠FCB,BC=BC 知Δ BCE≌Δ CBF, 所以 BE=CF,即等腰三角形两底角的平分线相等。 C 再设 BE、CF 分别是 AC、AB 边上的中线,那么由∠ABC=∠ACB,B BF=CE,BC=BC 知Δ BCE≌Δ CBF。所以 BE=CF,即等腰三角形两腰上的中线相等。 2. 正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 CD、DA 的中点。连 BE 与 CF 交于点 P,求证: AP=AB。 F A D 证明:因为 E、F 分别是边 CD、DA 的中点,故 Δ BCE≌Δ CDF,从而 BE⊥CF。 P E 过 A 作 BE 的垂线分别交 BE、BC 于 H、G,那么 H Δ ABG≌Δ BCE,故 BG=CG。根据 GH//CP 知 BH=HP。 所以Δ ABP 是等腰三角形,且 AP=AB。 C B G 3. 正方形 A1B1C1D1 在正方形 ABCD 内,又 A2B2C2D2 分别是 AA1、BB1、CC1、DD1 的中点,求证:A2B2C2D2 也是正方形。 证明:设 O 是正方形 A1B1C1D1 和正方形 ABCD 的相似中心,

20

那么Δ OA1A∽Δ OB1B,故
OA1 A A ? 1 , ?OA1 A ? ?OB1 B 。 OB1 B1 B

A

A2 A1

D

因为 A2、B2 分别是 AA1 与 BB1 的中点,从而
OA1 A A ? 1 2 , ?OA1 A2 ? ?OB1 B2 , OB1 B1 B 2
B

B2

D2 D1 O B1 C 1 C 2 C

所以 Δ OA1A2∽Δ OB1B2。于是由 OA1 与 OB1 垂直且相等知 OA2 与 OB2 垂直且相等。 同理,OC2 与 OB2 垂直且相等,OC2 与 OD2 垂直且相等。所以 A2B2C2D2 是正方形。 4. 在等边Δ ABC 中,延长 BC 至 D,延长 BA 至 E,且使 AE=BD,求证:CE=DE。 证明:过 E 作 EF⊥BD 于 F,那么由
BF ? BC ? ( AB ? AE ) cos 600 ? BC 1 ( BC ? BD ) ? BC 2 1 CD ? ( BD ? BC ) ? , 2 2 ?

E

A

知 CF=FD,即 F 是 CD 的中点。所以Δ CDE 是等腰三角形,且 CE=DE。 5. 锐角Δ ABC 的高交于点 O,在线段 OB 和 OC 上各取点 B1 和 C1,使得 ∠AB1C=∠AC1B=900。求证:AB1=AC1。 A 证明:因为 BE⊥AC,CF⊥AB,所以 B、C、E、F 共圆,故 F AE· AC=AF· AB。 O E B1 又因为 AB1⊥CB1,AC1⊥BC1,所以
AB12 ? AE ? AC ? AF ? AB ? AC 12 ,
B C1 D

B

C F D

C

故 AB1=AC1。 6. 已知一个三角形三个角的比为 1:2:4,求证:角平分线与对边的交点是一个等腰三 角形的顶点。 A 证明:如图,设 AD、BE、CF 分别是 A、B、C 的平分线, E F 则
BD ? ac bc 。 , AE ? b?c a?c

(1)

C

D

B

因为∠DAC=∠DCA,∠FCB=∠FBC,∠AFI=∠FAI,∠AIE=∠AEI,所以 AD=DC,BF=CF,FI=AI=AE。 (2) 由 ΔADB∽ΔCAB 知
AD ?

AD AB BD ,故 ? ? AC BC AB

b2 c2 。 , BD ? a a
a 2 ? c 2 ? bc
2

(3) (4)

由(1)(3)可得 、 由 ΔAIC∽ΔCAB 知 即

AI AC CI b bc ,故 , ? AD ? AE ? ? ? a a?c AC BC AB

ab+bc=ac。 由 ΔAFC∽ΔACB 知
AF AC FC ,故 ? ? AC AB BC

(5)
ab ac , ? CF ? BF ? c a?b



b(a+b)=c2。 又由等腰三角形的性质知

(6)

21

DE 2 ? AD 2 ? CE ? AE ?
DF 2 ? CF 2 ? BD ? CD ? ? = = b
2

b2c 2 a
2

?

b2 b2 b2 (b ? ) ? 2 (b 2 ? c 2 ? ab) , a a a
?

(7)

b 2 (b ? c ) 2 a2 b( a ? b ) b2

c2 c2 b2 c2 (a ? ) ? 2 [(b ? c ) 2 ? 2 (a 2 ? c 2 )] a a a b

a2 b2

[b 2 ? c 2 ? 2bc ?

? bc]

(8)

a2 b2

(b 2 ? c 2 ? bc ? ac) (b 2 ? c 2 ? ab)

a2

由(7)和(8) ,即得 DE=DF,即Δ DEF 是等腰三角形。 7. 已知等腰Δ ABC 底边上的高为 AH,从一条边上的点 P 向另两条边作垂线 PD、PE, A 若 AH=PD+PE,求证:Δ ABC 为正三角形。 证明:如图,因为 AB=AC,故 E PD+PE=BF=AH, P 所以 AC=BC, B D H C 从而 AB=BC=CA,即Δ ABC 为正三角形。 0 8. 以任意三角形的边为底向形外作底角为 30 的等腰三角形Δ A′BC、 B′CA、 C′AB。 Δ Δ 求证:Δ A′B′C′是正三角形。 证明:设 AB′=x, CA′= y, BC′=z,因为Δ A′BC、Δ B′CA、Δ C′AB 都是底角为 300 的等腰三角形,所以
x? b 3
2

, y?

a 3
2

, z?

c 3


A C' B'

A? C ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos(600 ? C ) a ?b 2 1 3 ? ab( cos C ? sinC ) 3 3 2 2 a2 ? b2 1 2 2 1 ? ? (a ? b 2 ? c 2 ) ? ( ab sinC ) 3 6 3 2 ? a2 ? b2 ? c2 2 ? ? S ?ABC 。 6 3

B A'

C

同理, A?B ? 2 ? C ?B ? 2 ?

a 2 ? b2 ? c 2 2 ? S ?ABC 。 6 3

所以 A′B′= B′C′= A′C′,即Δ A′B′C′是正三角形。 9. 已知Δ ABC 的高 AD、BE 交于 H,Δ ABC、Δ ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1, 求证:⊙O 和⊙O1 的半径相等。 A 证明:因为 AD、BE 分别是Δ ABC 的高,故∠BHC+∠A=1800。 F 所以⊙O 和⊙O1 的半径分别为
BC BC r? ? ? r1 。 2 sin A 2 sin?BHC
B E H C

所以⊙O 和⊙O1 的半径相等。 10. 若一个圆外切四边形有一对对边相等,求证:圆心到另一对对边中点的距离相等。 证明:如图,设 AB=CD,H、F 分别为 AD 与 BC 的中点, E、G 为切点,那么

22

OH 2 ?

1 1 (OA 2 ? OD 2 ) ? AD 2 2 4 1 AD 2 ? ( AE 2 ? DG 2 ? 2r 2 ) ? , 2 4

A E M

H

D G N

O F

1 BC 2 。 OF 2 ? ( BE 2 ? CG 2 ? 2r 2 ) ? 2 4
OH 2 ? OF 2 ? ? 1 BC 2 ? AD 2 ( AE 2 ? BE 2 ? DG 2 ? CG 2 ) ? 2 4

B

C

( BC ? AD )(BC ? AD ) 1 [( AE ? BE )( AE ? BE ) ? ( DG ? CG )( DG ? CG )] ? 。 2 4

因为 ABCD 是 O 的外切四边形, AD+BC=AB+CD=2AB, 故 AE+DG=AD, BE+CG=BC, 所以
OH 2 ? OF 2 ? AB ( AE ? BE ? DG ? CG ? BC ? AD) ? 0 2

所以 OH=OF,即圆心到另一对对边中点的距离相等。 练习 2(角相等) 1. 在 Δ ABC 中,AC=BC,∠ACB=900, D 是 AC 上一点,且 AE 垂直 BD 的延长线于 E,又 2AE=BD,求证:BD 是∠ABC 的平分线。 A 证明:因为 AC=BC,∠ACB=900,2AE=BD,所以
sin?ABD ? AE BD 1 。 ? ? AB 2 2 BC 2 2 cos ?CBD 1 2
E D C B

于是

2 sin?ABD ? cos ?CBD ?



由积化和差公式可得
sin( ABD ? ?CBD ) ? sin( ABD ? ?CBD ) ? sin450 ? sin( ABD ? ?CBD ) ? ? ? ? 1 2



所以 sin(∠ABD –∠ABD)=0,即∠ABD =∠ABD。所以 BD 是∠ABC 的平分线。 2. 从 Δ ABC 的顶点 B、C 分别作∠A 的平分线的垂线,垂足为 D、E,直线 BE 与 CD A 相交于 P。求证:AP 平分∠A 的外角。 P 证明:如图,连 AP,因为 AD 是∠A 的平分线,CE⊥AD, BD⊥AD,所以 CE//BD,且 Δ AEC∽Δ ADB。于是
AE CE PC 。 ? ? AD BD PD
E C

B D 所以 AP//CE,故 AP⊥AD。所以 AP 平分∠A 的外角。 0 3. 在 Δ ABC 中,∠C=90 , D 是 AB 上一点,作 DE⊥BC 于 E,使 BE=AC,且 2BD =1,又 DE + BC=1,求证:∠ABC=300。 A 证明:因为 DE//AC,故 Δ BDE∽Δ BAC。所以

DE BD BE 。 ? ? AC AB BC

D

因为 BE=AC,故 由 DE+BC=1 知

DE ?

AC 2 。 BC

C

E

B

AC 2 2 2 ? BC ? 1 ,由此即得 AC +BC =BC。 BC

(1)

23

又由 BD2 = BE2 + DE2 = AC2 + (1 – BC)2 = AC2 +BC2 +1 – 2BC = AB2 +1 – 2BC 得
2BC ? AB 2 ? 3 。 4

(2)

由(1)(2)解得 、

BC ?

3 3 BC 3 。所以 cos B ? ,故 B=300 。 , AB ? ? 4 2 AB 2

4. 在凸四边形 ABCD 的边 BC 上取两点 E、F(E 比 F 离 B 较近) ,若∠BAE=∠CDF, 且∠EAF=∠FDE,求证:∠FAC=∠EDB。 证明:因为 A(BF, CE)=(BF, CE)=D(BF, CE),故
sin?BAC ? sin?FAE sin?BDC ? sin?FDE 。 ? sin?BAE ? sin?FAC sin?BDE ? sin?FDC

因为∠BAE=∠CDF,∠EAF=∠FDE,所以
sin?BAC sin?BDC , ? sin?FAC sin?BDE
A

D


sin( BAF ? ?FAC ) sin( BDE ? ?EDC ) ? ? 。 ? sin?FAC sin?BDE
B E F C

解得 ∠FAC=∠EDB。 5. 在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BDA,在 CD 上任取一点 E,连 BE 交 AC 与 F,延长 DF 交 BC 与 G。求证:∠GAC=∠EAC。 证明 1 如图,过 A 作 AC 的垂线 AH,连 BD 分别交 AC、AH 于 I、H。 根据角平分线的性质知 A (BD,IH)=–1。 连 GE 交 AH 于 H′,交 AC 于 J。 H 根据完全四角形 CEFG 的调和性知 I D (BD,IH′)=–1, F B 由 (BD,IH)=(BD,IH′)知 H 与 H′ 重合。 E J 由 AC 与 AH 垂直,且(GE,JH)=(BD,IH)=–1 知 G C AC 与 AH 是∠GAE 的内外平分线。所以 ∠GAC=∠EAC。 6. 在平行四边形 ABCD 中,E 为 AD 上一点,F 为 AB 上一点,且 BE=DF,BE 与 DF E D 交于 G,求证:∠BGC=∠DGC。 A G 证明:如图,连 CE、CF,作 CL⊥DF 于 L,CM⊥BE 于 M, L J 作 FJ⊥CD 于 J,EK⊥BC 于 K,那么 F M SΔ BEC=SABCD/2= SΔ DFC。 因为 2 SΔ BEC=BE· CM,2 SΔ DFC=DF· CL,BE=DF,故 CL=CM。 C K B 从而 RtΔ CLG≌RtΔ CMG。所以∠BGC=∠DGC。 7. 设 O 是平行四边形 ABCD 内一点, 且∠AOB+∠COD=1800。 求证: ∠OBC=∠ODC。 证明:过 C 作 CO′//BO,过 D 作 DO′//AO,两线交于 O′,那么 A D Δ ABO≌Δ DCO′。故∠AOB=∠DO′C,且 AOO′D、BOO′C 都是平行四边形。 O' O 因为∠AOB+∠COD=1800,所以∠DO′C +∠COD=1800, 所以 O、C、O′、D 共圆。所以∠ODC=∠OO′C=∠OBC。 B C 8. 梯形 ABCD 中,AB//CD,AB>CD,K、M 分别是腰 AD、BC 上的点,若∠DAM= ∠CBK,求证:∠DMA=∠CKB。

24

D 证明:因为∠DAM=∠CBK,所以K、A、B、M 共圆。 C 故∠DKM=∠CBA,∠AKB=∠AMB。 K 因为 AB//CD,所以∠DCM+∠CBA=1800,于是 M ∠DCM+∠DKM=1800, 从而 D、C、M、K 共圆。所以∠DKC=∠DMC。 B A 于是∠CKB=1800 – ∠AKB – ∠DKB=1800 – ∠AMB – ∠DMC=∠DMA。 9. 在四边形 ABCD 中,AD=BC,E、F 分别为 AB、CD 的中点,延长 AD、BC 分别 G 交 EF 的延长线于 H、G,求证:∠AHE=∠BGE。 证明:如图,连 BD,取 BD 的中点 M,连 EM、FM。 H B A 因为 E、F 分别为 AB、CD 的中点,故 EM//AD, FM//BC, E 且 2EM=AD,2FM=BC。因为 AD=BC,所以 EM=FM。于是 M ∠MEF=∠MFE。 D F C 所以 ∠AHE=∠MEF=∠MFE=∠BGE。 10. 正方形 ABCD 中,E 为 AD 中点,F 为 ED 中点。求证:∠FBC=2∠ABE。 A 证明:不妨设 AB=4,那么 AE=2,EF=FD=1。所以 E F D

tan?ABE ?
2?

1 4 , tan?FBC ? 。 2 3
B C

4 由 tan ?FBC ? ? 3

1 2 ? tan 2?ABE ,即得∠FBC=2∠ABE。 1 2 1? ( ) 2

练习 3(平行于垂直) 1. 在Δ ABC 中,BAC=90 , AB=AC,M 为 AC 中点,N 在 BC 上,且 BN=2NC。求 B 证:AN⊥BM。 证明:过 N 作 ND//AB 交 AC 于 D,则 CD=DN。 又 2CN=BN,故 2CD=AD。
0

由 AB⊥AC,AD⊥DN,

AM 1 DN ,知 ? ? AB 2 AD

N

C A M D Δ BAM≌Δ ADN,所以 AN⊥BM。 2. 已知Δ ABC 和Δ ADE 都是等腰直角三角形,B、D 都在Δ AEC 内部,M 是 EC 的中 点。求证:BM⊥DM。 证明: 过 C 作 CF⊥BD 于 F,过 E 作 EG⊥BD 于 G, F C D 过 A 作 AN⊥BD 于 N, N A 则Δ ANB≌Δ BFC,Δ AND≌Δ DGE。 M 于是 M 到 BD 的距离就是梯形 CFGE 的中位线, B 它等于 CF 与 EG 的半和即 BD 的一般,所以 G E Δ BMD 是等腰直角三角形。所以 BM⊥DM。

3. 设 D 是等腰直角Δ ABC 底边 BC 的中点,P 是直线 BC 上的任意一点。引 PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F。求证:DE 与 DF 垂直且相等。 证明:

25

E

因为 CF=FP=AE,AD=DC,∠DAE=135 =∠DCF 所以Δ ADE≌Δ CDF。 那么有 AD⊥DC,即知 DE⊥DF。 所以 DE 与 DF 垂直且相等。

0

A C B D F

P

4. 设⊙O 与⊙O′外切于 P,一条外公切线分别切⊙O 与⊙O′于 M、N。过 P 任作直线分 别交⊙O 与⊙O′于 A、B。求证:AM⊥BN。 证明:如图,延长 MO 交⊙O 于 C,连 OA、AC、OC、O′N、NB、O′B,易知 O′N//OC,O′B//OA, N B M 故∠BO′N=∠AOC。所以 Δ AOC∽Δ BO′N。 O 所以 AC//BN,所以 AC⊥AM。
P O' A
C

5. 作圆内接四边形对边所在的直线所成之角的平分线,求证:所得四线交成一个矩形。 证明:如图,易知 PR⊥PS,QR⊥QS。 又
R

1 ?PSQ ? (?AQB ? ?APD) ? ?C 2 1 ? (?ABC ? ?ADC ? 2?C ) ? ?C 2 ? 900

P A Q B S C E

D

所以四边形 PSQR 是矩形。 6. 已知 BD、CE 分别为Δ ABC 的∠B、∠C 的外角平分线,且 AD⊥BD 于 D,AE⊥ CD 于 E,求证:DE//BC。 E 证明:如图,延长 EC、DB 交于 Ia,过 Ia 作 IaF⊥BC 于 F, C 那么
B I a B cos ? ra , 2 B AB sin ? DB 。 2
F A B D Ia



BD cos

B 1 AB ? AC ? AB sinB ? 2 2 4R

Ia B 4 Rra 。 ? BD AB ? AC

同理, 所以

IaC 4 Rra 。 ? CE AB ? AC

Ia B IaC 。所以 DE//BC。 ? BD CE

7. 在Δ ABC 的中线 AD 上任取一点 P,直线 CP 和 AB 交于 E 点,直线 BP 和 AC 交于 A F 点。求证:EF//BC。 证明:如图,因为 AD,BE、CF 共点,且 BD=DC, E F 所以根据塞瓦定理得
BD CF AE CF AE ? ? ? ? ? 1, DC FA EB FA EB
P B D C

26



AE AF 。所以 EF//BC。 ? EB FC

8. 在Δ ABC 中,设 BC 的中垂线交直线 AB 于 D,自 A、C 作Δ ABC 的外接圆的切线 交于 E。求证:DE//BC。 D 证明:如图,连 CD,则 E ∠DAE =∠ACB =∠BCD –∠ACD A =∠B–∠ACD =∠ACE–∠ACD =∠DCE B 所以 A、C、E、D 共圆。 C 所以∠CDE =∠CAE =∠DBC=∠DCB,故 DE//BC。 9. 在Δ ABC 中, 角的平分线交 BC 于 D。 A 作一圆切 BC 于 D 而交 AB、 于 E、 A 过 AC A F。求证:EF//BC。 证明:连 DE,则∠CDA=∠DEA 故∠B +∠BAD=∠AEF+∠FED=∠AEF+∠DAC。 E F 因为 DA 平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC。于是 ∠B=∠AEF。 C D B 所以 EF//BC。 10. 以平行四边形 ABCD 的对角线 AC 为一边在其两侧各作一个正三角形 ACP 和 ACQ。 求证:BPDQ 为平行四边形。 P 证明:如图, A 因为 AB 与 CD 平行且相等,AP 与 CQ 平行且相等, D 所以Δ BAP≌Δ DCQ,故 BP=DQ。 又因为 AB 与 CD 平行且相等,CP 与 AQ 平行且相等, C B 所以Δ CDP≌Δ ABQ,故 BQ=DP。 所以四边形 BPDQ 为平行四边形。 Q

练习 4(和差倍分、线段之积) 1.如图,P 是正方形 ABCD 内一点,满足 AP=1,BP=2,CP=3,求正方形 ABCD 的面 积。 A D 解:由
? a 2 ? 1 2 ? 2 2 ? 4 cos ? ? 2 2 2 ? a ? 2 ? 3 ? 12 cos ? ? 2 2 2 ? 2a ? 1 ? 3 ? cos(? ? ? )
P

B

C

解出 a2 即可。 2.已知:以 AF 为直径的⊙O 与以 OA 为直径的⊙O1 内切于 A,Δ ADF 内接于 ⊙O,DB⊥FA 于 B 交⊙O1 于 C,连结 AC 并延长交⊙O 于 E。求证: (1)AC=CE; 2 2 2 (2)AC =DB –BC 。 证明: (1)两圆内切于 A,故 A 是两圆的外位似中心,所以 AC 与 AE 之比为两圆的半 径之比,即 1:2,故 AC=CE。

27

D

E

(2)因为Δ ADF、Δ ACO 都是直角三角形,且 BD⊥AF,那么 C 根据射影定理可得 AC2=AB· AO,BC2=AB· BO。 A F O1 B O 所以 AC2+ BC2=AB· AO+AB· BO=AB(AO+BO) =AB(BO+OF)= AB· BF=BD2。 即 AC2 = BD2 – BC2。 3.已知:⊙O1 与⊙O2 内切于点 P,⊙O2 的弦 AB 切⊙O1 于点 C,连结 PA、PB,其延 长线交⊙O1 于点 D、E。求证:PC2 = PA· – AC· 。 PB BC 证明:因为⊙O1 与⊙O2 内切于点 P,故 P 是两圆的外位似中心,
A



PD PE ,所以 DE//AB。 ? PA PB

连 DE,则∠DPC=∠DEC=∠ECB=∠CPE,即 PC 平分∠APB, P 那么根据第 4 题的结论可得 PC2 = PA· – AC· 。 PB BC 4.在 Δ ABC 中,AB≠AC,∠A 的平分线 AD 交 BC 于 D。求证: 2 AD =AB·AC – BD·CD 。 证明:因为∠A 的平分线 AD 交 BC 于 D,根据斯特槐公式得
2

D O1 O2 E

C

B

A BD DC 2 2 AD ? AC ? AB ? BD ? DC F BC BC BD DC ? AC 2 ? AB 2 ? BD ? DC B D BD ? DC BD ? DC AB AC ? AC 2 ? AB 2 ? BD ? DC ? AB ? AC ? BD ? DC 。 AB ? AC AB ? AC
H

E C

5.已知 Δ ABC 中,∠C=900。求证:BC2+AC2=AB2。 证明:如图,作 CN//BE 交 DE 于 N,交 AB 于 M,连 CD、 K BK,那么 SADNM=2SΔ ADC,SACHK=2SΔ ABK,Δ ADC≌Δ ABK, 所以 SADNM = SACHK。 同理 SMNEB = SCBFG。 所以 SADNM + SMNEB = SACHK + SCBFG, 即 a2 + b2 = c2。
(此证法称为毕达哥拉斯证法,记载于欧几里德的《几何原本》 )

G C F A M B

D

N

E

6.Δ ABC 内接于⊙O,AB 的延长线与过点 C 的切线 CD 相交于点 D,E 是⊙O 上的 点,满足 CB=CE ,BE 与 AC 相交于点 F。求证: (1)BE//CD; (2)CF2 – BC2 = BF·FE 。 F 证明: (1)因为 CB=CE,CD 是切线,所以 ∠ECD=∠EBC=∠BEC, 故 BE//CD。 E D (2)由(1)知 cos ?CBE ? 在 Δ BCF 中应用余弦定理,得

BE 。 2 BC

A B C

CF 2 ? BC 2 ? BF 2 ? 2 BC ? BF cos ?CBF ? BC 2 ? BF 2 ? BE ? BF ? BC 2 ? BF ( BF ? BE ) ? BC 2 ? BF ? FE

28

所以 CF2 – BC2 = BF·FE 。 7.已知:⊙O1 与⊙O2 外切于点 P,过⊙O2 上一点 B 作⊙O2 的切线,交⊙O1 于点 C、 B D,直线 PB 交⊙O1 于点 A。求证:AD2+BC· BD=AB2 。 C 证明: D 因为 DB 是⊙O2 的切线,⊙O1 与⊙O2 外切于点 P, O1 P 所以∠ABD=∠ADP,所以 Δ ADP∽Δ ABD, O2 2 故 AD =AP· AB。 A 又 BC· BD=BP· AB=AB(AB – AP)=AB2 – AB· AP, 所以 AD2+BC· BD=AB2 。 8.已知 P 为等腰 Δ ABC 的底边 BC 的延长线上的点。求证:AP2 = AB2 + BP· PC。 证明:如图,因为 Δ ABC 是等腰三角形,故 A 2ABcosB=BC。 在 Δ ABP 中应用余弦定理,得 AP2 =AB2 +BP2 – 2AB· BPcosB 2 = AB +BP(BP – 2ABcosB) = AB2 +BP(BP – BC) C B P 2 = AB + BP· PC。 9 已知:Δ ABC 中,∠ACB=2∠ABC。求证:AB2=AC2+ BC· AC。 证明:在 BC 上取一点 D,使 AD=AC,那么 2∠ABC=∠ACB=∠ADC=∠ABC+∠DAB, A 故∠ABC=∠BAD,从而 BD=AD。 在 Δ ABC 中应用余弦定理,得 AB2 = AC2 + BC2 – 2AC· BCcosC 2 D C B = AC + BC(BC– 2ACcosC) = AC2 + BC· BD 2 = AC + BC· AC。 10.在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠DCB,DA、CB 的延长线相交于 P。求证: PA·PD=PB·PC+AB· CD。 证明:作 Δ ABD 的外接圆交 BC 于 E,那么由 ∠ABP=∠DCE,∠PAB=∠DEC, A 知 Δ ABP∽Δ ECD。所以
CE CD ,即 CE· = AB· BP CD。 ? AB BP
D P

另一方面,PA· = PE· = PB· + PE· – PB· PD PB PC PB PC B E C = PB· + PB(PE – PC) PC = PB· + PB· PC EC, 所以 PA· = PB· PD PC+AB· CD。 11.过平行四边形 ABCD 的一顶点 A 的圆交 AB、AD、AC 于 F、H、G。求证: AB·AF + AD·AH = AC·AG 。 A H D 证明:如图,连 FG、FH、HG,那么由托勒密定理知 HG·AF + FG·AH = FH·AG。 (i) F G 另一方面,由 ∠HFG =∠HAG =∠ACB,∠FHG =∠CAB, C L B K 知 Δ FHG∽Δ CAB。所以

29

FH HG FG ? ? AC AB BC

(ii)

由(i)、(ii),即得 AB·AF + BC·AH = AC·AG。 由平行四边形知 BC=AD,所以 AB·AF + AD·AH = AC·AG 。 12.已知 PAB、PCD 是⊙O 的割线,PQ 与⊙O 相切于 Q,且∠CAP=∠DAB。求证: 2 PQ = PA2 + AC· AD。 证明:如图,连 BD,那么由 ∠PAC =∠DAB,∠PCA =∠ABD, 知 Δ PAC∽Δ DAB。所以
Q

AC PA , 即 ? AB AD

B

PA·AB = AC·AD。
P

A

另一方面,PQ 是切线,故 C PQ2=PA·PB=PA(PA+AB)=PA2+PA· AB。 D 2 2 所以 PQ = PA + AC· AD。 13. 已知:在 Δ ABC 中,AB=AC,从底边 BC 的延长经线上取一点 P。求证: 2 AP –AB2= PB·PC。 A 证明:应用余弦定理得 AP2=AB2+BP2-2AB?BPcos∠ABP = AB2+BP2-BC?BP = AB2+BP?CP C P B 即 AP2 –AB2= PB·PC。 14.已知:在梯形 ABCD 中,AB//CD,AD=BC。求证:BD2=BC2+ AB·DC 。 证明:因为 AB//CD,AD=BC,所以梯形 ABCD 是 A 等腰梯形。于是 CD – 2BCcosC = AB。 B 在 Δ BCD 中应用余弦定理,得 BD2 = BC2 + CD2 – 2BC· CDcosC 2 C D = BC + CD(CD – 2BCcosC) = BC2 + CD· 。 AB 15.已知:⊙O1 与⊙O2 相交于点 A、B,过 A 作⊙O2 的切线,交⊙O1 于点 C,过 A 作 ⊙O1 的切线,交⊙O2 于点 D,直线 CB 交⊙O2 于点 E。求证: (1)Δ DAE 是等腰三角形; 2 2 (2)CE – 2 AC·DE = CD 。 证明: (1)如图,连 AB、BD,因为 AC、AD 分别是 A ⊙O1 与⊙O2 的切线,故∠BCA =∠BAD=∠BED,所以 AC//DE 。那么 O2 O1 ∠ADE =∠ABE =∠BCA +∠BAC E =∠BED +∠BEA =∠AED B C D 所以 Δ DAE 是等腰三角形。 (2) 在 Δ CAD、Δ CAE 中应用余弦定理,得 CE2=AC2+AE2-2AC?AEcos∠CAE= AC2+AD2+2AC?ADcos∠AED, CD2=AC2+AD2-2AC?AEcos∠CAD= AC2+AD2-2AC?ADcos∠AED, 因为 2ADcos∠AED=DE,故 CE2 – 2 AC·DE = CD2 。 16.已知:在等边 Δ ABC 中,P 为外接圆的弧 BC 上一点。求证:AP2=AB2+ PB· PC。 证明:因为 Δ ABC 是正三角形,对圆内接四边形 ABPC 应用托勒密定理易得 AP=BP+CP。

30

A

故 AP2=BP2+CP2+2BP· CP。 另一方面,在 Δ BPC 中应用余弦定理知 BC2 = BP2 + CP2 + BP· CP。 2 2 所以 AP = AB + PB· PC。

B P

C

17.已知:E、F 分别是 Δ ABC 的边 AC、AB 上的点,且∠BEC=∠AFC。求证: BC2= AB·BF + CE· 。 CA 证明:作 Δ AFC 的外接圆交 BC 于 G,那么由 A ∠AGC =∠AFC =∠BEC E ∠ACG =∠BCE F 知 Δ AGC∽Δ BEC。所以 又因为
BC EC ,即 ? AC GC

BC· = AC· 。 GC EC
B G C

BF· = BG· = BC(BC – GC) = BC2 – BC· BA BC GC, 2 所以 BC = AB·BF + CE· 。 CA 18.已知:在线段 AB 同侧的∠ACB=∠ADB=900,AC 与 BD 相交于 E。求证: AB2= AE·AC + BE· 。 BD E 2 2 2 2 2 证明: AB = AC +BC = AC +BE – CE2 C D = (AC– CE)(AC+CE)+BE2 = AE(AC–CE) +BE2 = AE· +BE2–EC· = AE· AC EA AC+BE2–ED· EB B A = AE· +BE(BE – ED) = AE· + BE· AC AC BD。 19. AC 是平行四边形 ABCD 的较长的对角线, 设 从顶点 C 引边 AB 和 AD 的垂线 CE、 CF,分别和 AB、CD 的延长线交于 E、F。求证:AB·AE + AD·AF=AC2。 证明:因为 CF⊥AD,CE⊥AE,四边形 ABCD 是平行四边形,故∠CDF =∠CBE,所 以 Δ PAC∽Δ DAB,于是
A

CB BE 。 ? CD DF

D

F

AC2 = AE2 + CE2 = AE2+CB2 – BE2 B C = (AE – BE)(AE+BE)+CB2 = AB· AE+AB· BE+BC2 E = AB· AE+CD· BE+AD2 = AB· AE+CB· DF+AD2 = AB· AE+AD· DF+AD2 = AB· AE+AD· 。 AF 20.在 RtΔ ABC 中,∠B=900,D 为 AB 上一点,以 AD 为直径的圆交 AC 于 E。连 CD 并延长交于 F,求证:AD2=AC· – DC·DF 。 AE A 证明:连 DE、AF,因为 AD 是直径,所以 AF⊥DF,AE⊥DE, 又 AB⊥BC,所以 A、F、B、C 共圆,E、D、B、C 共圆,于是 有 DB· =DC· DA DF, E AE· = AD· = AD(AD + DB) AC AB F D = AD2 +AD· = AD2 + DC· , DB DF 2 C B 所以 AD = AE· – DC· 。 AC DF 从而

31

练习 5(线段比值) 1. 已知 D 是Δ ABC 的边 BC 的中点,E 是 CA 边上的点,AD 与 BE 交于点 M。求证: M 是 AD 的中点等价于

AE 1 ? 。 EC 2

A E M F B D C

证明:过 D 作 DF//BE 交 AC 于 F,那么由 BD=DC 知
AE AE AM 。 ? ? EC 2 EF 2 MD

所以 M 是 AD 的中点等价于

AE 1 ? 。 EC 2

2. 平面上有 P、Q 两点,过 P 引三条射线 l、m、n,过 Q 点引二直线 a、b,a 分别交 l、 m、n 于 A、B、C, b 分别交 l、m、n 于点 E、F、G。如果 AB=BC,求证:
EA GC 2BF 。 ? ? EP GP PF S ? S ?GCE 证明:因为 AB=BC,故 S ?EBG ? ?EAG 。 2 AE S ?EAG CG S ?CGE BF S ?EBG 又 ? , ? , ? , PE S ?EPG PG S ?EPG PF S ?E P G

E A B C P Q

F G

所以

AE CG S ?EAG ? S ?CGE 2 S ?EBG 2 BF 。 ? ? ? ? PE PG S ?EPG S ?EPG PF

3. 在Δ ABC 中,∠A=4∠C,∠B=2∠C, ,求证:(BC+CA)AB=BC?CA。 证明:如图,分别做∠A、∠B 的平分线交对边于 D、E,那么由∠A=4∠C,∠B=2 ∠C,知Δ ABD 与Δ BCE 都是等腰三角形,AD=BD,BE=CE。 A E 且Δ ADC∽Δ BAC,故
AD DC AC BC ? ? ? AB AC BC AB ? AC



C

D

B

所以 BC2 = AC2 +AB?AC 。 ① 如图, 作∠B 的平分线交 AC 于 E, BC 上取点 D, AD=CD, 在 使 那么Δ ADC 与Δ BEC 都是等腰三角形, AB=AD=CD,BE=CE,∠ACD=∠BCE, 所以Δ ADC∽Δ BEC。于是有
BE AD AB AB ? BC ,即有 BE ? 。 ? ? BC AC AC AC
E C D A

又由Δ ABE∽Δ ACB 知

AE AB AB 2 ,即 AE ? 。所以 ? AC AB AC
AB AB ? BC , ? AC AC
2

B

AC ? AE ? CE ?



AC2=AB2+AB?BC 。 ② 如图,在 BC 上取点 D,使 AC=CD,那么Δ ADB∽Δ CAB,故
AB BD 。 ? BC AB
2 2 2

A

C

D

B

所以 AB =BC?BD=BC(BC – CD)=BC – BC?CD= BC – BC?AC。 ③ ①+②+ ③,得 (BC+CA)AB=BC?CA 。 4. 在Δ ABC 中,A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 a>b>c,AS、AS′分别为∠A 的 平分线和外角平分线,BT、BT′分别为∠A 的平分线和外角平分线,CU、CU′分别为∠A 的

32

平分线和外角平分线,求证:

1 1 1 。 ? ? SS ? UU ? TT ?
S'

证明:在 RtΔ CUU′中,有
CU C B A A? B ? cos(B ? ) ? cos( ? 900 ? ) ? sin( )。 UU ? 2 2 2 2

在Δ BCU 中,由正弦定理可得
CU ? si n B BC si n (A ? C ) 2


B S U

T' A

解得

a sin B a sin B 。 CU ? ? A B A? B sin( ? 900 ? ) cos 2 2 2
1 ? UU ? sin A? B A? B cos 2 2 ? sin (A ? B ) ? sin (A ? B ) 。 a sin B 2a sin B 4 R sin A sin B

T U'

C

所以

同理,可得
sin( ? C ) B 1 ? , ? 4 R sinC sinB SS sin(A ? C ) 1 。 ? ? 4 R sinC sin A TT

因为
sin(B ? C ) sin(A ? B ) sin A sin(B ? C ) ? sinC sin(A ? B ) ? ? sin B sinC sin A sin B sin B sin A sinC cos(A ? B ? C ) ? cos(A ? B ? C ) ? cos(C ? A ? B ) ? cos(C ? A ? B ) ? 2 sin A sin B sinC cos(C ? A ? B ) ? cos(A ? C ? B ) 2 sin B sin(A ? C ) ? ? 2 sin A sin B sinC 2 sin A sin B sinC sin(A ? C ) ? sin A sinC

所以

1 1 1 。 ? ? ? UU ? TT ? SS

5. A、B、C 三点不共线,证明:平面上存在一个唯一的点 X,满足 XA2+XB2+AB2=XB2+XC2+BC2=XC2+XA2+AC2。 证明:如图,设 AD、BE、CF 是Δ ABC 的三高线, A H 是垂心,P、Q 分别是 CA、AB 上的点,满足 AP=CE,BQ=AF, F P 过 P、Q 分别作 AC 和 AB 的垂线,交于 X。 X 因为 H 是垂心,故 Q E H HA2 – HC2=BA2 – BC2=EA2 – EC2, HB2 – HA2=CB2 – CA2=FB2 – FA2。 C B D 所以 XA2 – XC2=PA2 – PC2=EC2 – EA2= BC2 – BA2, XB2 – XA2=QB2 – QA2=FA2 – FB2= CA2 – CB2。 所以 XA2+XB2+AB2=XB2+XC2+BC2=XC2+XA2+AC2,即 X 是满足要求的点。 另一方面,设 X 是满足要求的点,那么由 XA2+XB2+AB2=XB2+XC2+BC2 知 XA2 – XC2 = BC2 – BA2=EC2 – EA2=PA2 – PC2, 所以 X 在过 P 且与 AC 垂直的直线上。

33

同理,X 在过 Q 且与 AB 垂直的直线上。 所以 X 点式唯一的。 6. 设 AM 是Δ ABC 中 BC 上的中线,任作一条直线分别交 AB、AC、AM 于 P、Q、N。 求证:

AB AM , , AP AN

AC 成等差数列。 AQ

证明:如图,有
S ?APN AP ? AN ? , S ?ABM AB ? AM S ?AQN S ?ACM ? AQ ? AN 。 AC ? AM
P A Q N M C

二式相加,得
S ?AQN S ?APN AN AP AQ ? ? ( ? )。 S ?ABM S ?ACM AM AB AC
B

化简,得

S ?APN ? S ?AQN 2 S ?APQ 2 AP ? AQ AN AP AQ 。 ( ? )? ? ? AM AB AC S ?ABM S ?ABC AB ? AC

化简,得

AC AB AM AB 。 所以 ? ?2 , AQ AP AN AP

AM , AN

AC 成等差数列。 AQ

7. 设 D 是正Δ ABC 外接圆圆弧 BC 上的一点,AB 和 CD 的延长线交于 E 点,AC 和 BD 的延长线交于 F 点,求证:线段 BC 为线段 BE 和 CF 的比例中项。 A 证明:如图,∠CBD+∠BCD=600,∠CBF+∠CFB=600, ∠BCE+∠BEC=600, B 所以 ∠CBF=∠BEC,∠CFB=∠BCE,故Δ CBE∽Δ FCB。 C 所以
CB BE ,即 BC2=BE· CF。所以线段 BC 为线段 BE 和 CF ? FC BC
D F

E 的比例中项。 8. 设 r 与 ha 分别表示Δ ABC 的内切圆半径和 BC 边上的高,a 表示与 BC 相切且与 AB、 r

AC 的延长线相切的旁切圆半径。求证: ha ? 证明:

2ra r 。 ra ? r

2ra r 2 S ?ABC 2 S ?ABC 2 S ?ABC 2 2 ? ? ? ? ? ? ha 。 1 1 S ?ABC S ?ABC ra ? r 1 1 p?b? p?c a ? ? ? r ra rb rc rb rc

9. Δ ABC 中,a、b、c 是三角 A、B、C 的对边,R、r 分别是三角形的外接圆、内切圆 半径,p 是半周长。求证: tan
p A B C 1 1 1 ? tan ? tan ? 4 R( ? ? ) ? 。 2 2 2 a b c r

p ( p ? a ) ? ( p ? b) ? ( p ? c ) 1 1 1 1 1 1 证明: 4 R( ? ? ) ? ? 2( , ? ? )? a b c r sin A sinB sinC r
2 ? sin A c o 2s A A ?s i 2 n A A 2 2 ? t a n ?c o t , A A 2 2 cos sin 2 2

因为

34

2 B B 2 C C ? tan ? cot , ? tan ? cot , sin B 2 2 sinC 2 2 p?a p?a p?c A B C ? cot , ? cot , ? cot , r 2 r 2 r 2

所以

p 1 1 1 A B C 4 R( ? ? ) ? ? t a n ? t a n ? t a n 。 a b c r 2 2 2

10. 已知四边形 ABCD 外切于圆 O,且对角线 AC 和 BD 互相垂直。求证:AB?CD= BC?AD。 D 证明:因为四边形 ABCD 外切于圆 O,且对角线 AC 和 A BD 互相垂直,故 AD+BC=AB+CD。 两边平方。得 AD2+BC2+2AD?BC= AB2+CD2+2AB?CD。 P C 因为 AD2+BC2=AP2+PD2+BP2+PC2=AB2+CD2。 所以 AB?CD=BC?AD。
B

习 题 6(共线点) 1.证明梯形两底的中点,两对角线的交点,两腰的交点,四点共线。 证明:如图,在 Δ PAN 和 Δ PDM 中,因为 AB//CD,AN=NB,DM=MC,故 ∠PAN=∠PDM,
PA AB AN , ? ? PD DC DM
A N Q P

所以 Δ PAN∽Δ PDM。于是∠APN=∠APM,故 P、N、M 共线。 在 Δ NBQ 和 Δ MDQ 中,因为 AB//CD,AN=NB,DM=MC,故 ∠NBQ=∠MDQ,
BQ BA BN , ? ? DQ DC DM

B

M C D 所以 Δ NBQ∽Δ MDQ。于是∠NQB=∠MQD,故 Q、N、M 共线。 所以 P、Q、M、N 共线。 2.在四边形 ABCD 中,对边 AB、CD 的中点分别为 M、N,若 AC、BD、MN 共点, 则 AB//CD。 证明:如图,延长 NM 与 CB 的延长线交于 P。 考察 Δ ABC 与割线 PMQ,根据梅涅劳斯定理,得

AM BP CQ ? ? ? ?1 MB PC QA


A M

P

同理,考察 Δ DBC 与割线 PNQ,可得 DN CP BQ ② ? ? ? ?1 NC PB QD ①×②,并利用 AM=MB,DN=NC 化简,得
CQ DQ 。 ? QA QB
D

B

Q N C

所以 Δ AQB∽Δ CQD。故∠ABQ=∠CDQ,故 AB//CD。 3.过四边形 ABCD 的对角线的交点作边的平行线交此边的对边于一点,求证所得四点 共线。

35

A

证明:如图,由 由

CQ CO CR 知 QR//EF 。 ? ? CE CA CF


B P C O Q E D S R

BP BO BC 知 PR//EF 。 ? ? BE BD BF

② ③

DQ DO DS 由 知 QS//EF 。 ? ? DE DB DF

F 由①、②、③及平行公理即得 P、Q、R、S 共线。 4.设 ABCD 是矩形,H、F 分别是 AD、BC 的中点,EG 平行于 BC 分别交 AB、CD 于 E、G,EH 与 FG 交于 P。证明:B、D、P 三点共线。 证明:如图,设 BD、GF 的延长线交于 P′,那么对 Δ BCD 和割线 GFP 应用梅涅劳斯 定理,得

BP DG CF ? ? ? ?1 PD GC FB

P A H D G E B F C

考察 Δ ABD 及其边上的点 H、E、P′, 因为 DG=AE,GC=EB,CF=DH,FB=HA,所以
BP AE DH ? ? ? ?1 。 PD EB HA

根据梅涅劳斯逆定理知 H、E、P′共线。所以 P 与 P′重合。所以 B、D、P 三点共线。 5.四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于形内一点 O,已知 AO=CO,DO=3BO,分 别在 AC、CD 上取点 M、N,使 AM ? CN ? 3 。求证:B、M、N 共线。 AC CD 3 证明:因为 AO=CO,DO=3BO, AM ? CN ? 3 ,故有 AC CD 3
DB ? ?4, BO 3 1 ? OM AM ? AQ 3 2 ? ? ? MC AC ? AM 3 1? 3 3 ?1 , 2
B

3 ?1 , 4
A O M C

D

ON CN 3/3 ? ? ? ND CD ? CN 1 ? 3 / 3

N

于是对于Δ CDO 及其边上的点 B、M、N 由
DB OM CN ? ? ? ?1 。 BO MC ND

所以根据梅涅劳斯定理知 B、MN共线。 6. 四边形 ABCD 的对边 AB 与 CD 交于 X, 与 AD 交于 Y, X 作直线分别交 BC、 BC 过 AD 于 G、E,过 Y 作直线分别交 AB、CD 于 H、F。证明: A E D HE、BD、FG 共点。 Y 证明:适当选择中心投影将四边形 ABCD 投影成 F H 矩形,仍用原字母表示各点,如图。 G C B 根据第 5 题知,HE、BD、GF 共点。 X 因为中心投影保持结合性不变,故原结论成立。 7.设一直线交 Δ ABC 的三边(所在直线)于三点 X、Y、Z,作其中每一点关于该点 所在边的中点的对称点,证明这样所得到的三点 X′、Y′、Z′共线。 证明:因为 X、Y、Z 共线,故由梅涅劳斯定理知

36

AX BZ CY ? ? ? ?1 。 XB ZC YA

A X' X Z' B Y' Y C Z

由对称性知 AX=X′B,XB=AX′,BZ=Z′C,ZC=BZ′, CY=Y′A,YA=CY′,代入上式,得
AX ? BZ ? CY ? ? ? ? ?1 。 X ?B Z ?C Y ?A

所以 X′、Y′、Z′共线。 8.设直线 l 分别交四边形 ABCD 的边 BC、CD、DA、AB 于 P、Q、R、S,证明:
BP CQ DR AS ? ? ? ? 1。 PC QD RA SB

证明:连 BD 交 l 于 T,对 Δ ABD 应用梅涅劳斯定理得
AS BT DR ? ? ? ?1 。 SB TD RA
A

S R T

D

对 Δ BCD 应用梅涅劳斯定理得
DT BP CQ ? ? ? ?1 。 TB PC QD
B

Q P C

两式相乘即得

BP CQ DR AS ? ? ? ? 1。 PC QD RA SB

9.平行四边形 EFGH 的顶点在平行四边形 ABCD 的各边上,求证:AC、BD、EG、 FH 四线共点。 A H D 证明:考察 Δ AEH 和 Δ CGF,因为 AE//CG, EH//GF, E HA//FC,所以根据笛沙格定理得 AC、EG、HF 共点。 G 同理,由 Δ DHG 和 Δ BFE,可知 BD、HF、EG 共点。 C B F 所以 AC、BD、EG、FH 四线共点。 10.证明三角形的重心、垂心、九点圆圆心三点共线。 A 证明:如图,设 G、H、K 分别是 Δ ABC 的重心、垂心、 九点圆圆心,M、N 分别为 BC、AH 的中点,则 N AN=NH,AG=2GM,MK=KN。 G K 在 Δ AMN 中,有 H
AG MK NH 1 ? ? ? 2 ? 1 ? (? ) ? ?1 , GM KN HA 2
B M C

所以根据梅涅劳斯定理知 G、K、H 共线,即三角形的重心、垂心、九点圆圆心三点共线。 11.设 AD、BE、CF 是Δ ABC 的高,D、E、F 是各边上的垂足,过 D 点分别向 AB、 A BE、CF、AC 作垂线,得垂足 P、Q、R、S。求证: P、Q、R、S 共线。 证明:由 AD⊥BC,CF⊥AB 知 A、C、D、F 共圆,根据西 F E 姆松定理知 P、R、S 三点共线。 P Q R 同理,由 A、B、D、E 四点共圆及西姆松定理知 P、Q、S S 三点共线。所以 P、Q、R、S 共线。 C
B D

37

习 题 7(共线点 2) 1.对于四边形 ABCD,设 AB、CD 交于 Z,AD、BC 交于 P,AC、BD 交于 Q,PQ 分别交 AB、CD 于 M、N,连 AN、DM 交于 X,连 CM、BN 交于 Y,则 X、Y、Q、Z 共 A 线。 证明:考察 Δ CDM 与 Δ BAN,因为 BC、MN、AD 共点于 P, M 所以由笛沙格定理知 CM 与 BN 的交点 Y,DM 与 AN 的交点 X, B Q X CD 与 AB 的交点 Z 三点共线。 Y D N 另一方面,考察二直线上的三点组 A、M、B 和 C、N、D,由 C Z 巴普斯定理知 BN 与 CM 的交点 Y,BD 与 CA 的交点 Q,NA 与 P MD 的交点 X 三点共线。 综上得 X、Q、Y、Z 四点共线。 2.在四边形 ABCD 中,AB 与 CD 交于 E,BC 与 AD 交于 F,EF 与 AC 交于 M,AC 与 BD 交于 N,EN 分别交 BC、AD 与 K、P,FN 分别交 AB、CD 于 L、Q。求证: (1)L、 A K、M 共线; (2)LP、BD、KQ、EF 共点。 证明: (1)考察 Δ ABC 与 Δ FNE,因为 AF、BN、CE 共点于 D, L 所以由笛沙格定理知 AB 与 FN 的交点 L,BC 与 NE 的交点 K, P N B AC 与 EF 的交点 M,三点共线。 D K Q 同理,由 Δ ADC 与 Δ DPQ 可得 P、Q、M 共线。 C (2)考察 Δ BLK 与 Δ FNE,由(1)知 BL 与 DP 的交点 A, E M LK 与 PQ 的交点 M,BK 与 DQ 的交点 C,三点共线。所以由笛沙 F 格逆定理知 LP、BD、KQ 共点。 考察 Δ ALP 与 Δ CQK,因为 AC、LQ、PK 共点于 N,所以由笛沙格定理知 AL 与 CQ 的交点 E,AP 与 CK 的交点 F,LP 与 QK 的交点,三点共线,即 LP、QK、EF 共点。 综上得 LP、BD、KQ、EF 共点。 3.设 P、Q、R 是共线的三个定点,动 Δ ABC 的边 BC、CA、AB 分别通过 P、Q、R, 顶点 B、C 分别在两定直线 b、c 上移动,证明顶点A也在一条定直线上移动。R Q P 证明:设 b 与 c 交于点 O,取定一个满足条件的 Δ A0B0C0。 b A0 考察 Δ ABC 与 Δ A0B0C0,因为 BC 与 B0C0 的交点 P,CA 与 A C0A0 的交点 Q,AB 与 A0B0 的交点 R,三点共线,所以根据 B0 B 笛沙格逆定理知 AA0、BB0、CC0 共点,即 O、A、A0 共线。 c O C C0 所以动 Δ ABC 的第三个顶点 A 也在一条定直线上移动。 4.如图,ABCD 是平行四边形,过 A、C 的圆分别交 AB、BC、CD、DA 于 E、F、G、 G H,证明:EF//GH。 A H 证明:考察圆内接六点形 AEFCGH,根据巴斯加定理知 D AE 与 CG 的交点,EF 与 GH 的交点,FC 与 HA 的交点,三 F B 点共线。但 AE//CG, FC//HA,所以 EF //GH。 C E 5.设 A、B、C 是圆上三点,A 是弧 BAC 的中点,过 A 任作 两弦 AD、AE 分别交 BC 于 F、G,DG、EF 分别交圆于另外两点 M、N,证明:MN//BC。 A 证明:考察圆内接六点形 AADMNE,由巴斯加定理知 AA(切线)与 MN 的交点,AD 与 NE 的交点 F,DM 与 EA M N 的交点 G,三点共线。 F G C B 因为 A 是弧 BAC 的中点,故过 A 的切线与 BC 平行。 E D MN//BC。 6.A、B 是⊙O 上的两点,P、Q 是圆外两点,AP、BP 分别交⊙O 于另一点 C、D,

38

AQ、BQ 分别交⊙O 于另一点 E、F,证明:PQ、DE、CF 共点。 证明:考察圆内接六点形 ACFBDE,根据巴斯加定理知 AC 与 BD 的交点 P,CF 与 DE 的交点,FB 与 EA 的交点 Q, 三点共线,PQ、DE、CF 共点。

A B C D P E Q

F

7.在内接于⊙O 的两个 Δ ABC 和 Δ A′B′C′中,设 AB 与 A′B′交于 P,BC 与 B′C′交于 A Q,C A′与 C′A 交于 R,证明:P、Q、R 三点共线。 B' 证明:考察圆内接六点形 ABCA′B′C′,根据 C' 巴斯加定理知 AB×A′B′ =P, P Q R BC×B′C′=Q, C CA′×C′A=R, B A' 三点共线。 8. 在内接于⊙O 的两上四边形 ABCD 和 A′B′C′D′中, AB 与 A′B′ 交于 P, 与 B′C′ 设 BC 交于 Q,C D 与 C′D′ 交于 R,且 P、Q、R 共线,证明 DA 与 D′ A′的交点在 PQ 上。 B D' 考察圆的内接六点形 ABCA’B’C’, 根据巴斯加定理得 AB×A′B′ =P, A C' BC×B′C′=Q, T P Q R S A C′×A′C=T, C 共线。 A' D 同理,考察 CDAC′D′A′得 R,S,T 共线。 B' 由 P,Q,R,T 共线,知 S 也在此线上。即 P,Q,R,S 共线。 9.过 Δ ABC 的顶点 A、B、C 各作一条直线使其交于一点 P 而交 Δ ABC 外接圆于 A′、 B′、C′。又在圆任取一点 Q,求证:Q A′与 BC,Q B′与 CA,Q C′与 AB 的交点共线。 证明:考察圆的内接六点形 QC′CABB′,根据巴斯加定理得 A QC′×AB=Z,C′C×BB′=P,CA×B′Q=Y, B' 三点共线。 C' Y 考察圆的内接六点形 QA′ABCC′,根据巴斯加定理得 Z P X QA′×BC=X,A′A×CC′=P,AB×C′Q=Z, C 三点共线。 Q B 综上得,Q A′与 BC,Q B′与 CA,Q C′与 AB 的交点共线。 A' 10. O′是Δ ABC 内的两点, O、 满足∠OBC=∠O′BA, ∠OCB=∠O′CA, ∠OAB=∠O′AC, X、Y、Z 及 X′、Y′、Z′各是 O 与 O′在 BC、CA、AB 上的射影。设 YZ′与 Y′Z 交于 P,ZX′ 与 Z′X 交于 Q,XY′与 X′Y 交于 R。求证:P、Q、R 共线。 (提示:X、Y、Z、X′、Y′、Z′ 共圆,应用巴斯卡定理。 ) A 证明:因为∠OBC=∠O′BA,∠OCB=∠O′CA,∠OAB=∠O′AC, Y Z 所以 O、O′是一对关于Δ ABC 的等角共轭点,故 X、Y、Z、X′、 Z' Y′、Z′共圆。 O Y' O' 考察圆内接六点形 XY′ZX′YZ′,根据巴斯加定理知 YZ′×Y′Z=P,ZX′×Z′X=Q,XY′×X′Y=R B X X' C 三点共线。

39

习题 8(共点线) 1.在三角形中,证明: (1)三中线共点; (2)三高线共点; (3)二外角平分线和第三 角的内角平分线共点。 证明:应用塞瓦定理。 2.在四边形 ABCD 中,AB 与 CD 交于 E,BC 与 AD 交于 F,EF 与 AC 交于 M,AC 与 BD 交于 N,EN 分别交 BC、AD 与 K、P,FN 分别交 AB、CD 于 L、Q。求证: LP、 BD、KQ、EF 四线共点。 在上节已证。删 3.在Δ ABC 的内部给定三点 D、E、F,使得∠BAE=∠CAF,∠ABD=∠CBF,求证: AD、BE、CF 共点的充要条件是∠ACD=∠BCE。 A 证明: 如图,因为∠BAE=∠CAF,∠ABD=∠CBF,所以 AD 与 AF 是一对等角线,BD 与 BF 也是一对等角线, D
E B F C

4.一圆与Δ ABC 的三边 BC、CA、AB 的交点依次为 D1、D2、E1、E2、F1、F2,线段 D1E1 与 D2F2 交于点 L,E1F1 与 D2E2 交于点 M,F1D1 与 F2E2 交于点 N。求证:AL、BM、 CN 三线共点。 (2005,中国数学奥林匹克) 证明:如图,考察圆内接六边形 E2D2F2F1D1E1,根据巴斯加 F1 E2 定理知 E2D2 与 F1D1 的交点 K,D2F2 与 D1E1 交点 L,F2F1 与 K M A E1D2 的交点 A,三点共线。 D2 J 同理考察圆内接六边形 E2F2 D2D1 F1E1 和 F2F1E1D1D2E2 N C B E1 可得 N、C、J 共线,M、B、I 共线。 L I D1 由线束 F1(E2,D1,E1,D2)与线束 F2(E2,D1,E1,D2) F2 成射影对应,知 点列(E2, K, M, D2)与点列(I, D1, E1, L)成射影对应。 于是点列(E2, K, M, D2)与点列(D1, I, L, E1) 成射影对应。那么根据射影对应点列的性质知 E2I 与 KD1 的交点 N,E2E1 与 D1D2 的交点 C,KL 与 MI 的交点三点共线,即 AL、BM、CN 三线共点。 5. 在Δ ABC 中, ∠ABC=700, ∠ACB=300, Q 为形内二点。 P、 使得∠QBC=∠QCB=100, ∠PBQ=∠PCB=200,求证:A、P、Q 三点共线。 证明 1:

40

B(CQ , PA) ? ?

sin?CBP ? sin?QBA sin?CBA ? sin?QBP sin300 ? sin600 3

A P Q B C

? , sin700 ? sin200 2 sin400 sin?BCP ? sin?QCA C ( BQ , PA) ? sin?BCA ? sin?QCP ? sin20 ? sin20
0 0

sin30 ? sin10
0

0

?

1 ? cos 40 sin100

0

,

0 0 0 因为 2sin40 (1 - cos400 ) ? 2sin40 - sin80 ? 2 sin( 0 ? 100 ) ? cos100 ? 3 sin100 , 30

所以

3 2 sin40
0

?

1 ? cos 400 sin100

。 所以线束 B(C, Q, P, A)与线束 C(B, Q, P, A)成射影对应。 但直线

BC 自对应,故线束 B(C, Q, P, A)与线束 C(B, Q, P, A)成透视对应。所以 A、P、Q 三点共线。 证明 2:在Δ BQC 中,∠QBC=∠QCB=100,故 BQ ?
a 2 cos100


a sin200 sin500

在Δ BPC 中,∠PBC=300,∠PCB=200,由正弦定理得 BP ? 那么
S ?ABQ ? S ?ABP 1 3ac c ? BQ sin600 ? , 2 8 cos100 1 ac sin200 sin400 ? c ? BP sin400 ? , 2 2 sin500 1 a 2 sin2 200 BQ ? BP sin200 ? 。 2 4 sin500 cos100



S ?ABP ?

于是
S ?ABP ? S ?BPQ ? ac sin200 sin400 2 sin500
0

4 sin500 cos100 ac ? sin20 a sin200 ? (sin400 ? ? ) c 2 cos100 2 sin500 ac ? sin200 sin800 sin200 ? (sin400 ? ? ) 0 2 sin50 sin300 2 cos 100 ac ? sin200 ? (sin400 ? sin200 ) 2 sin500 ac ? sin200 ac ? sin200 cos100 ? ? 2 sin300 cos100 ? 。 2 sin500 2 sin500

?

a 2 sin2 200

因为
4 cos2 100 sin200 ? 2(1 ? cos 200 ) sin200 ? 2 sin200 ? sin400 ? 2 sin200 ? cos 500 ? 2 sin( 0 ? 300 ) ? cos 500 50 ? 3 sin500 ,

所以

3 sin200 cos100 。 ? 0 4 cos10 sin500

所以 SΔABQ= SΔABP+ SΔBPQ,故 A、P、Q 共线。

41

6.Δ ABC 外切于⊙O,BC、CA、AB 上的切点分别为 D、E、F,射线 DO 交 EF 于点 A′,射线 EO 交 DF 于点 B′,射线 FO 交 DE 于点 C′,求证:A A′、B B′、CC′共 点。 A 证明: 因为 O 是Δ ABC 的内心,D、E、F 是切点,故
sin?BAA ? sin?CBB ? sin?ACC ? FA? DB ? EC ? ? ? ? ? ? sin?CAA ? sin?ABB ? sin?BCC ? A? E B ?F C ?D sin?FOA? sin?DOB ? sin?EOC ? ? ? ? sin?A? OE sin?B ?OF sin?C ?OD sin B sin?C sin A ? ? ? ?1 B sinC sin A sin B
F A' O B' D C' C

E

所以 A A′、B B′、CC′共点。 7.分别以Δ ABC 的二边 AB 与 AC 为一边向形外作Δ ABF 和Δ ACE,使得Δ ABF∽Δ ACE,且∠ABF=900,求证:BE、CF 和 BC 边上的高 AH 三线共点。 A 证明:因为Δ ABF∽Δ ACE,∠ABF=900,故 ∠ACE=∠ABF=900,∠CAE=∠BAF, 于是
CE BF 。 ? AE AF
F B H C E

S ?ABH S ?BCE S ?CAF AB sin?BAH BC ? CE sin?BCE AC ? AF sin?CAF ? ? ? ? ? S ?AHC S ?BAE S ?CBF AC sin?HAC AB ? AE sin?BAE BC ? BF sin?CBF ? cos B CE cos C AF CE AF ? ? ? ? ?1 cos C AE BF cos B AE BF

所以 BE、CF 和 BC 边上的高 AH 三线共点。 8.六个小圆都在一个大圆的内部,且都与大圆内切,六个小圆每相邻两个都外切,六 个小圆与大圆的切点为依次为 A1、A2、A3、A4、A5、A6。试证:A1A4、A2A5、A3A6 三线 共点。 证明:如图,联结 A1A2、A2A3A、A3A4、A4A5、A5A6、A6A1、A2A4、A4A6、A6A2、 OA1、OA2、O1O2,那么,点 O1 在 OA1 上,点 O2 在 OA2 上。 记六个小圆的圆心和半径依次为 Oi、ri,i=1,2,3,4,5,6。再记∠A1OA2=α ,则由 余弦定理知
2 A1 A2 ? 2 R 2 (1 ? cos ? )

? 2 R 2 [1 ? ? 2R 2
2

( R ? r1 ) 2 ? ( R ? r2 ) 2 ? ( r1 ? r2 ) 2 ] 2( R ? r1 )( R ? r2 )

2( R ? r1 )( R ? r2 ) ? ( R ? r1 ) 2 ? ( R ? r2 ) 2 ? ( r1 ? r2 ) 2 2( R ? r1 )( R ? r2 )

( r1 ? r2 ) 2 ? ( r1 ? r2 ) 2 ?R ( R ? r1 )( R ? r2 ) ? R2 4 R 2 r1 r2 ( R ? r1 )( R ? r2 )
?

A4

A5

A6 O A3

同理可得, 其中 A7=A1,r7=r1。 于是,

Ai A

2 i ?1

4 R 2 ri ri ? 1 ? , ( R ? ri )( R ? ri ? 1 )

A 1 O1

O2 A2

42

2 2 2 A1 A2 ? A3 A4 ? A5 A6 ?

64R 6 r1 r2 r3 r4 r5 r6 2 2 ? A2 A3 ? A4 A5 ? A6 A12 , ( R ? r1 )( R ? r2 )( R ? r3 )( R ? r4 )( R ? r5 )( R ? r6 )

所以

A1A2?A3A4?A5A6= A2A3?A4A5?A6A1。 (1) 在大圆中应用正弦定理可得 A1A2=2R∠A1A4A2, A2A3=2R∠A2A6A3, A3A4=2R∠A3A6A4, A4A5=2R∠A4A2A5, A5A6=2R∠A5A2A6, A6A1=2R∠A6A4A1。 将此六式代入(1) ,得 sin∠A1A4A2?sin∠A3A6A4?sin∠A5A2A6= sin∠A2A6A3?sin∠A4A2A5?sin∠A6A4A1。 所以
sin?A1 A4 A2 ? sin?A3 A6 A4 ? sin?A5 A2 A6 ?1。 sin?A2 A6 A3 ? sin?A4 A2 A5 ? sin?A6 A4 A1

于是由角元塞瓦定理的逆定理知 A1A4、A2A5、A3A6 三线共点。 9.以Δ ABC 的三边各为一边向形外作Δ CBD、Δ CAE、Δ ABF,使得∠BAF=∠CAE, ∠ABF=∠CBD,∠ACE=∠BCD。示证:AD、BE、CF 三线共点。 (第 26 届 IMO 预选题) 证明:如图,因为∠BAF=∠CAE,∠ABF=∠CBD,∠ACE=∠BCD, 所以
BX CY AZ S ?ABD S ?BCE S ?CAF ? ? ? ? ? XC YA ZB S ?ACD S ?BAE S ?CBF AB ? BD sin?ABD BC ? CE sin?BCE ? AC ? CD sin?ACD AB ? AE sin?BAE BD CE AF sin?BCD sin?CAE ? ? ? ? ? CD AE BF sin?CBD sin?ACE ? ? AC ? AF sin?CAF BC ? BFD sin?CBF sin?ABF ? ?1 sin?BAF
A F Z B X D Y E C

所以 AD、BE、CF 共点。 10.设⊙O1 与⊙O2 交于点 A 和 A′,两圆过 A 的切线分别交另一圆于 E、F,Δ AEF 的外接圆为⊙O,它在 E、F 的两条切线交于点 P,求证:A、A′、P 三点共线。 证明:如图,延长 PE 交⊙O1 于 C,延长 PF 交⊙O2 于 D, A C D 连 CA、AD。 O1 O2 因为 AE、AF 分别是⊙O2 与⊙O1 的切线,故 O A' F E ∠ADF=∠EAF=∠ECA。 又 PE、PF 是⊙O 的切线,故∠EFP=∠EAF=∠FEP。 从而有∠ADF=∠EFP,∠ECA=∠FEP,所以 CA//EF, AD//EF, 故 C、A、D 共线。于是四边形 CDFE 是等腰梯形,从而内接于一个圆。 P 所以 PE· = PF· PC PD,即 P 是关于⊙O1 与⊙O2 的等幂点,故在⊙O1 与⊙O2 的 根轴 AA′上,即 A、A′、P 三点共线。 11.设 AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 I,点 M、N 分别在线段 IB、IA 上,使得 IM :MB = IN :NA,射线 CM、CN 分别交⊙O 于 E、F。求证:AE、BF、OD 三线共点。 证明:由正弦定理知
AF sin?ACN DE sin?ICM ? , ? , 故 DF sin?NCI BE sin?MCB

43

S ?BAF S ?ADE BO AB ? AF sin?BAF AD ? DE cos ?BDE ? ? ? ? S ?BDF S ?ABE OA DF ? DB cos ?ADF BE ? AB sin?ABE ? AF ? AD ? DE BF AB cos ?BDE ? ? ? DF ? DB ? BE AB AE cos ?ADF AF ? AD ? DE BF AE AB AF ? AD ? DE ? ? ? ? ? DF ? DB ? BE AE AB BF DF ? DB ? BE AD sin?ACN CI sin?ICM ? ? CI sin?NCI BC sin?MCB S S AN IM ? ?ACN ? ?ICM ? ? S ?NCI S ?MCB NI MB
C

A F

N I

O M B E D

因为

S S BO IM IN ,所以 ?BAF ? ?ADE ? ? 1 ,所以 AE、BF、OD 三线共点。 ? S ?BDF S ?ABE OA MB NA

12.在 Δ ABC 中以 BC 为直径的圆交 AB、AC 于 F、E,求证圆在 E、F 的切线与高 AD 共点。 证明:如图,连 BE、CF 交于 H,设 E 处的切线交 AH 于 P,那么由 A BC 是直径知 BE⊥AC,CF⊥AB,故 H 是 Δ ABC 的垂心。 由 H 是 Δ ABC 的垂心知∠AHE=∠ACB。又 EP 是切线,故 P F ∠PEH=∠ACB。所以∠PHE=∠PEH。所以 P 是 AH 的中点。 E 同理可得 F 处的切线也过 AH 的中点。 H 所以圆在 E、F 的切线与高 AD(即 AH)共点。
B C

练习 9(共圆点、共点圆) 1.四圆顺次外切,求证:四切点共圆。 证明:如图,记每圆的二切线的交点为 1,2,3,4, 那么 ∠1AB=∠1BA,∠2AD=∠2DA, ∠4BC=∠4CB,∠3CD=∠3DC,

A B
2 3 1 4

D

所以 ?ABC ? ?ADC ? ?1BA ? ?4BC ? ?3 DC ? ?2DA ? 1800 , 所以 A、B、C、D共圆,即四切点共圆。 2.设 P、M 分别在正方形 ABCD 的边 DC、BC 上,PM 与⊙A(AB)相切,线段 PA、 MA 分别交对角线 BD 于 Q、N。求证:五边形 PQNMC 内接于圆。 证明:建立坐标系如图,设∠APD=θ,E 为切点,不妨设 AD=1,那么易知
?MAP ? 1 (?CPM ? ?CMP) ? 450 , 2
B N M E C P Q x D y A

C

∠BAM = θ – 450。 通过计算可得 P(1 – cotθ, 0), M(0, 1 – tan(θ – 450), AP 的方程为 y – 1 = (x – 1)tanθ, BD 的方程为 x + y = 1, 故 由此解得
tan ? tan ? Q( , 1? )。 1? t a n ? 1? t a n ?

于是 MQ ? (

tan? tan? tan? 1 , 1? ? 1 ? tan(? ? 450 )) ? ( , ? ), 1 ? tan? 1 ? tan ? 1 ? tan? 1 ? tan?

PA ? (cot?, 1) ,

所以 MQ ? PA ? 0 ,即 AP⊥MQ。所以 C、P、Q、M 四点共圆。
44

同理可证 C、P、N、M 共圆。所以五边形 PQNMC 内接于圆。 3. 设 P、Q 是Δ ABC 的一对等角共轭点,求证:P、Q 在三边(所在直线)上的射影 共圆。 A 证明:如图,设等角共轭点 O、O′ 在 BC、CA、AB 上的射影 Y Z 分别为 X、X′、Y、Y′、Z、Z′。由
BX ? BX ? ? BO cos ?OBX ? BO ? cos ?O ?BX ? BO cos ?O ?BZ ? BO ? cos ?OBZ ? BZ ? BZ ?
Z' O O' Y'

知 X、X′、Z、Z′ 四点共圆。 B X X' C 同理,X、X′、Y、Y′ 四点共圆,Y、Y′、Z、Z′ 四点共圆。 若 X、X′、Y、Y′、Z、Z′不共圆,那么由以上三圆两两确定的 根轴为 AB、BC、CA,它们既不平行也不共点。这与根轴的性质“三圆两两确定的 根轴共点或平行”相矛盾。所以 X、X′、Y、Y′、Z、Z′ 共圆。 A 4.凸四边形各外角平分线顺次相交,求证:所得四交点共圆。 C' B' 证明:如图,易知 F B D ∠B′AD=∠C′AB,∠C′BA =∠D′BC, E ∠D′CB =∠A′CD,∠A′DC =∠B′DA, D' 从而 ∠B′AD+∠C′AB+∠C′BA+∠D′BC+ C 0 0 A' ∠D′CB+∠A′CD+∠A′DC+∠B′DA=720 – 360 =3600。 0 0 所以 ∠C′+∠A′=360 – (∠C′AB+∠C′BA+∠A′CD+∠A′DC)=180 。 故 A′、B′、C′、D′共圆。 5.设 P 是四边形 ABCD 的对角线交点,⊙PAB 与⊙PCD 交于 Q,⊙PAD 与⊙PBC 交于 A R。求证:P、Q、R 与 AC、BD 的中点,五点共圆。 D 证明:延长 AB、CD 交于 E,则 Q 是四边形 EAPD P R 的密克点,故Δ BQD∽Δ AQC,且 Q 为相似中心。 M 因为 M、N 分别为对应边 BD 与 AC 的中点,所以 N Q M、N 是一对对应点,从而 B ∠MQN=∠DQC=∠DPC=1800 –∠MPN, 所以 P、M、Q、N 四点共圆。 C 同理,P、R、M、N 共圆。所以 P、Q、R 与 AC、BD 的中点,五点共圆。 6.设 O 为Δ ABC 内一点,AA′、BB′、CC′均以 O 为中点。求证:Δ BCA′、Δ CAB′、Δ ABC′与Δ A′B′C′的外接圆共点。 证明:设圆 ABC′和圆 BCA′交于另一点 P。 P A 因为 O 是 AA′、BB′、CC′的中点,故 C' 四边形 C′ACA′、四边形 C′B′CB、四边形 AB′A′B B' 都是平行四边形,故 ∠C′PA′ =∠C′PB+∠BPA′=∠C′AB+∠BCA′ O =∠B′A′C+∠BCA′=∠ABC=∠A′B′C′, B 所以 A′、B′、C′、P 四点共圆。 C A' 又∠PAC=∠C′AP+∠C′A′C=∠C′BP+∠C′A′P+∠P A′C =∠C′BP+∠C′A′P+∠PBC=∠C′BC+∠C′A′P =∠CB′C′+∠C′B′P=∠CB′P, 所以 P、A、B′、C 共圆。 综上所述,知Δ BCA′、Δ CAB′、Δ ABC′与Δ A′B′C′的外接圆共点。

45

7.以一三角形的两边为边向外作正方形,又以第三边为一对角线作正方形。求证:所作 G 正方形的外接圆共点。 E 0 证明:如图,因为∠AQB=∠AQC=135 , A 所以∠BQC=3600 –(∠AQB+∠AQC)=900, 故 Q 在以 BC 为直径的圆上。所以所作 F Q P D 正方形的外接圆共点。
B C

8.设 I 是Δ ABC 的内心。过 B 且切直线 CI 于 I 作圆,又过 C 且切直线 BI 于 I 作圆。求 A 证:所作二圆与⊙ABC 共点。 证明:如图,设两圆的另一交点为 D,⊙因为 I 是内心,故 I ∠BIC = 1800 – B/2 – C/2 = 900+A/2。 因为 BI、CI 分别为⊙CDI 和⊙BDI 的切线,故 C B ∠BID =∠ICD,∠CID =∠IBD。 于是 ∠BIC +∠ICD +∠IBD = 1800 + A。 D 所以∠BDC = 1800 – A,于是 A、B、D、C共圆。 9. 通过圆内接四边形一顶点和邻接二边的中点作圆,求证:所作四圆共点。 证明:如图,设圆心为 O,E、F、G、H 分别为圆内接 A 四边形 ABCD 的变 AB、BC、CD、DA 的中点,连 OE、 H E OF、OG、OH,那么 OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD, D O OH⊥DA,所以 A、E、O、H;B、E、O、F;C、F、O、G; B G F D、G、O、H 分别共圆,即通过圆内接四边形一顶点和邻 接二边的中点作圆,求证:所作四圆共点。 C 10.已知Δ ABC 及一点 P, P 引直线垂直于 PA、 自 PB、 各交⊙PBC、 PC ⊙PCA 和⊙PAB 于 A′、B′、C′,求证:⊙ABC、⊙AB′C′、⊙BC′A′ 和⊙CA′B′共点。
P A Q B C A' B' C'

练习 10(几何不等式) 1.在三角形中,证明大边上的高较短;大边上的中线较短。 证明:在Δ ABC 中,设 a<b,ha、hb 分别是 BC、CA 上的高,由 aha=2SΔ ABC=bhb 知

46

hb a ? ?1, ha b

所以 hb>ha,即大边上的高较短。 设 ma, mb 分别为 BC、CA 上的中线,由
2 ma ?

b2 ? c 2 a 2 ? , 2 4

2 mb ?

a 2 ? c2 b2 ? , 2 4



2 2 ma ? mb ?

3 2 2 2 (b ? a 2 ) ? 0 。所以 m a ? m b ,即大边上的中线较短。 4

2.设在等腰Δ ABC 中,∠B =∠C,P 是三角形内一点,满足∠APB>∠APC,证明: A PB < PC。 证明:如图,作 P 关于顶角平分线的对称点 Q,则四边形 BCQP 是等腰梯形,从而Δ BQC≌Δ CPB。所以 P Q ∠QBC =∠PCB <∠QCB,PB = QC。 于是在Δ BQC 中,由∠QBC <∠QCB 知 PB = QC < QB = PC。 C B 3.在梯形 ABCD 中,AB 是大底。若 AD > BC,求证:∠A <∠B。 D C 证明:如图,过 D 作 BC 的平行线交 AB 于 E,则四边形 BCDE 是平行四边形,故∠B =∠AED,BC=ED。 在Δ ADE 中,因为 AD>BC=DE,所以∠A <∠AED。 B A E 所以∠A <∠B。 4.在凸四边形 ABCD 中,AB 边最长,CD 边最短,求证:∠A <∠C 且∠B <∠D。 C 证明:如图,连 AC、BD,在Δ ACD、Δ ABC 中,因为 AD > DC, D AB > BC,故∠ACD>∠CAD,∠ACB>∠CAB。二式相加即得 ∠A <∠C。 B 同理考察在Δ BCD、Δ ABD,可得∠B <∠D。 A 0 5.设Δ ABC 的∠A≥120 ,P 是任一点,求证:PA+PB+PC≥AB+AC。 C' 证明:如图,分别将 P,C 绕 A 按逆时针方向旋转 600,得 P′、C′,那么Δ APP′与Δ ACC′都是等边三角形,故 PP′=AP,AC′=AC。 A P' 且Δ AP′C′≌Δ APC,所以 P′C′=PC。 P 所以 PA + PB + PC = BP + PP′ + P′C′ ≥ BC′ ≥ AB +AC, C B 0 且等号在∠A=120 ,P 与 A 重合时成立。 C 6.设 O 为Δ ABC 内部任一点,求证:OA+OB < CA+CB。 证明:如图,延长 AO 交 BC 于 D,那么 O D OA+OB<OA+OD+BD=AD+BD<AC+CD+BD=CA+CB。

1 7.在三角形 ABC 中,外接圆半径 R ? 1,面积 ? ? ,求证: 4 1 1 1 (86 年数学奥林匹克试题,中国) a? b? c? ? ? 。 a b c
证明:因为 R=1,4Δ =1,故由正弦定理可得 abc=4RΔ =1。所以
a? b? c ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 。 b c a c b a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 。 c c a a b b a b c

A

B

根据排序不等式可得
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? b c a c b a

47

因为当 a=b=c=1 时, ? ?

1 3 1 sin600 ? ? ,从而上述不等式中等号不能成立。所以 2 4 4

a? b? c?

1 1 1 ? ? 。 a b c

8. (第 6 届国际奥林匹克)在Δ ABC 中,求证:

a 2 (b ? c ? a) ? b 2 (c ? a ? b) ? c 2 (a ? b ? c) ? 3abc 。
证明:令 a=y+z,b=z+x,c=x+y, x, y, z>0,那么原不等式化为 x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y) ≥6xyz。 不妨设 x≤y≤z,那么 yz≥zx≥xy,即两个排列是全反序的,所以根据排序不等式 得 [y(yz)+z(zx)+x(xy)]+[z(yz)+x(zx)+y(xy)]≥2[x(yz)+y(zx)+z(xy)], 即 x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y) ≥6xyz。 故原不等式成立。 9. (81 年武汉通讯)在Δ ABC 中, ma , mb , mc 是相应边上的中线,Δ 是面积,求证:

a(mb ? mc ? ma ) ? b(mc ? ma ? mb ) ? c(ma ? mb ? mc ) ? 6? 。
证明:不妨设 a≤b≤c,那么由
2 2 4( m a ? m b ) ? 3(b 2 ? a 2 ) ? 0, 2 2 4( m b ? m c ) ? 3(c 2 ? b 2 ) ? 0,

知 mc≤mb≤mc。 根据排序不等式可得 (amb+bmc+cma)+ (amc+bma+cmb)≥2(ama+bmb+cmc)。 所以 (amb+bmc+cma)+ (amc+bma+cmb) – (ama+bmb+cmc)≥ama+bmb+cmc, 即 a(mb+mc – ma)+ b(mc+ma–mb) – c(ma+mb–mc)≥ama+bmb+cmc。 因为 ama+bmb+cmc≥aha+bhb+chc=6Δ,所以 a(mb ? mc ? ma ) ? b(mc ? ma ? mb ) ? c(ma ? mb ? mc ) ? 6? 。 10. (第 24 届国际奥林匹克)求证:在三角形 ABC 中,有

a 2 b(a ? b) ? b 2 c(b ? c) ? c 2 a(c ? a) ? 0 。
证明:令 a=y+z,b=z+x,c=x+y, x, y, z>0,那么原不等式化为
y2 z2 x2 ? ? ? x? y?z 。 z x y

考察两个排序列 y 2 , z 2 , x 2 ; 列,根据排序不等式有

1 1 1 1 1 1 ,而后一组是全反序排 , , 和 y2 , z2 , x2; , , z x y y z x

y2 z2 x2 ? ? ? x ? y ? z 。故原不等式成立。 z x y

11. (波利亚–蔡戈不等式) 设Δ ABC 的三边长和面积分别为 a,b,c 和 SΔ ,那么

3 S? ? (abc) 3 。 4
证明:因为

2

48

3 S? ?

1 2 2 2 a 2 b 2 c 2 sin A ? sin B ? sinC 3 a b c sin AdinB sinC ? ( ) 8 8 3 a 2b2c 2 A ? B ? C 3 a 2b2c 2 3 3 (sin ) ? ( ) 8 3 8 2

?

所以

S? ?

3 (abc) 3 。 4

2

12. (埃道什–莫迪尔不等式)设 P 为Δ ABC 内部或边上一点,P 到三边 BC、CA、AB 的距离分别为 PD、PE、PF,则 PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF) 。 证明:如图,
DE ? ? PD 2 ? PE 2 ? 2 PD ? PE cos(A ? B ) PD 2 ? PE 2 ? 2 PD ? PE cos A cos B ? 2 PD ? PE sin A sin B

? ( PD sin B ? PE sin A) 2 ? ( PD cos B ? PE cos A) 2 ? PD sin B ? PE sin A

另一方面,DE=PCsinC,所以 PC ? 同理, PA ?

sinB sin A PD ? PE 。 sinC sinC

sinC sinB sin A sinC PE ? PF , PB ? PF ? PD 。所以 sin A sin A sinB sinB
sinB sinC sin A sinC sinB sin A ? ) PD ? ( ? ) PE ? ( ? ) PF sinC sinB sinC sin A sin A sinB ? 2( PD ? PE ? PF ) ?

PA ? PB ? PC ? (

13. (外森比克不等式)设Δ ABC 的三边长和面积分别为 a,b,c 和 SΔ ,那么

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 3S ? ,
其中等号当且仅当Δ ABC 为正三角形时成立。 证明:是 14 题的推论。 14. (芬斯勒–哈德维格不等式)设Δ ABC 的三边长和面积分别为 a,b,c 和 SΔ ,那么

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 3S ? ? (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ,
其中等号当且仅当Δ ABC 为正三角形时成立。 证明:令 a=y+z,b=z+x,c=x+y, x, y, z>0,那么原不等式化为 x2y2+y2z2+z2x2≥x2yz+y2xz+z2xy 。 根据排序不等式知 (xy)2+(yz)2+(zx)2≥(xy)(xz)+(yz)(yx)+(zx)(yz), 即 x2y2+y2z2+z2x2≥x2yz+y2xz+z2xy 。 故原不等式成立。 15.设三角形的三边分别为 a、b、c,外接圆半径为 R,求证: 证明:利用第 11 题的证明可得
1 1 1 1 ? ? ? 3? 3 ? a b c abc 3 3R ? 3 。 R

1 1 1 3 ? ? ? 。 a b c R

49

练习题 11(极值) 1.求下列各题的最短路线: (1)一个牧民赶着马从 A 处欲回到他的帐蓬 B,如下图所示,但又想在回程中先让牛 羊到以 l1 为界的草地吃草,继而到河的岸边 l2 处饮水,问他应走怎样的路线才最省时间? (2) 设在一个矩形球台 P0P1P2P3 上有二球 A、 如图所示, B, 问沿怎样的方向去击球 A, 使它接连碰撞桌边 P0P1、P1P2、和 P2P3 后恰好击中 B?
l1 A l2 B
P0 A P3 B P1 P2

图(1) 图(2) 解: (1)作 A 关于 l1 的对称点 A′,作 B 关于 l2 的对称点 B′,连 A′B′分别交 l1、l2 于 C、 D,那么从 A 到 C 到 D 到 B 的线路及为所求的线路。 (2)做出 A 关于 P0P1 的对称点 A′,作 B 关于 P2P3 的对称点 B′,在作 A′关于 P1P2 的对 称点 A′′,连 B′A′′分别交 P2P3 于 E,交 P1P2 与 D,连 A′D 交 P0P1 于 C,那么将球击倒 C 点, 即可击中 B 球。
A'

P3
C l1 B

B'

E P2 D

B A P0
B'

A l2

D

C A'

P1

A''

2.在距 A 城市 45 千米的 B 地发现金属矿,现知由 A 至某方向有一直线铁路 AX,B 到该铁路的距离为 27 千米,欲运物资于 AB 之间,拟定在铁路 AX 上的某一点 C 筑一公路 到 B,已知公路运费是铁路运费的 2 倍,欲使总运费最低,则点 C 到点 A 的距离须为多少 千米(答案精确到 0.01 千米) 。 (2001 年,温州市高一数学竞赛) 解
x?

如图所示,设 AC = x,由 sin?XAB ?
45 ? cos(?XAB ? 300 ) cos 30
0

27 3 4 ? 知 cos ?XAB ? ,所以 45 5 5
cos 300
A E x C D

?

45(cos?XAB cos 300 ? sin?XAB sin300 )

4 3 3 1 2 ? 45( ? ? ? ) ? 9(4 ? 3 ) ? 20. 41 , 5 2 5 2 3

答:点 C 到点 A 的距离为 20.41 千米。 3.求函数 f ( x) ? 解:如图,有
f ( x ) ? ( x ? 1) 2 ? 2 2 ? ( x ? 2) 2 ? 3 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? ( 3 ? 2) 2 ? 34

45

27

B

x ? 2 x ? 5 ? x ? 4 x ? 5 的最小值。
2 2

y B(2,3)



O X(x,0) A(-1,-2)

x

故 f(x)的最小值为 34 。

4. l 是椭圆的右准线,F1,F2 是左右焦点,P∈l,若椭圆的离心率 e ? 2 / 2 ;试求∠
50

F1PF2 的最大值。 (2001 年,温州市高二数学竞赛) 解:如图,设 l 与 F1F2 交于点 P,在 l 求作一点 X,使 PX2=PF1·PF2, 过 X 作 XO 垂直于 F1F2 的中垂线,垂足为 O,则以 O 为圆 心,OF2 为半径的圆与 l 相切。 由此知∠F1XF2 即为所求的最大值。
a2 ? c2 a2 ? c2 1 因为 QF2 ? , QF1 ? , QX ? a4 ? c4 , c c c

l

F1

F2 Q

O

X

所以
tan ?F1 XF 2 ? tan(?F1 XQ ? ?F2 XQ ) a2 ? c2 tan ?F1 XQ ? tan ?F2 XQ = ? 1 ? tan ?F1 XQ ? tan ?F2 XQ c2 a ?c
4 4

1?

a4 ? c4 a2 ? c2

? ?

a2 ? c2 a4 ? c4 a2 ? c2 a4 ? c4

a4 ? c4

?

?
0

e2 1? e
4

?

3 3

故所求的∠F1PF2 的最大值为 30 。

51


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