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集合与常用逻辑用语(高三复习、教案)


第一章:集合与常用逻辑用语
§·集合的概念及运算
一、知识清单
1.集合的含义与表示 (1)集合:集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象 称为该集合的元素。 (2)常用的集合表示法:①列举法;②描述法;③数轴或图像表示法;④venn 图法 2.集合的特性 特 性 理 解 应 用

确定性

要么属于该集合, 要么不属于, 二者必 判断涉及的总体是否构成集 居其一; 合 集合中的任意两个元素都是不同的; 1.判断集合表示是否正确; 2.求集合中的元素 通常用该性质判断两个集合 的关系

互异性

无序性

集合的不同与元素的排列无关;

3.常用的集合 集 合 集 合 的 意 义 例 子

?x | f ?x? ? 0? ?x | f ?x? ? 0? ?x | y ? f ?x?? ?y | y ? f ?x?? ??x, y? | y ? f ?x?? ?y ? f ?x??
方程 不等式 函数

f ?x ? ? 0 的
解集

f ?x ? ? 0 的
解集

y ? f ?x ? 的
定义域

函数 y ? f ?x ? 的值域

函数 y ? f ?x ? 图 像上的点集

一个元素

?x |

x ?0

? ?x |

x ?0

? ?x | y ? x?

?y | y ? x?

??x, y?| y ? x?

?y ? x?

常见数集的记法:
集合 符号 自然数集 N 正整数集 N 或 N+
*

整数集 Z

有理数集 Q

实属集 R

复数集 C

1

4.集合间的基本关系 (1)集合间的关系 文字描述 子 集 集合 A 中任意元素都是集合 B 中元素 A 是 B 的子集,但 B 中至少有一个元素不在 A 中 集合 A、集合 B 中元素完全相同 符号表示

真子集 相 等

(2)有限集合中子集的个数 有限集合 A 中有 n 个元素 集合 A 的子集个数 集合 A 的非空子集个数 集合 A 的真子集个数 集合 A 的非空真子集个数 2
n n

2 -1 2 -1 2 -2
n n

【提醒】空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集。符号表示为: 5.集合的运算 运算类型 交集 并集
若 A 和 B 是集合,则 A 和 设 A,B 是两个集合,由 所有属于集合 A 且属于 B 并集是有所有 A 的元素 和所有 B 的元素,而没有 其他元素的集合。A 和 B 的并集通常写作 "A∪B", 读作“A 并 B”,用符号语 言表示: A∪B={x|x∈A,或 x∈B}

补集
相对补集:若 A 和 B 是 集合,则 A 在 B 中的相对补 集是这样一个集合: 其元素属于 B 但不属于 A,B-A={x|x∈B 但 x? A}。 绝对补集:若给定全集 S, 有 A? S, 则 A 在 S 中的相对补 集称为 A 的绝对补集 (或简称补 集),写作 CSA。

定义

集合 B 的元素所组成的 集合,叫做集合 A 与集 合 B 的交集, 记作 A∩B。

韦恩图示

A? B ? B ? A A? A ? A
性质

A? B ? B ? A A? A ? A A? B ? A A? B ? B A?? ? A

A ? CU A ? ? A ? CU A ? U
De Morgan 定律:

A? B ? A A? B ? B A?? ? ?

CU A ? CU B ? CU ? A ? B? CU A ? CU B ? CU ? A ? B?

2

二、高考常见题型及解题方法
1.解决集合问题的常用方法 方 列 举 法 法 步 骤

①定元素 ②定运算 ③定结果 ①画图形 ②定区域 ③求结果 ①辨差异 ②定特殊 ③验排除 ④定结果

数形结合法 特 值 法

2.集合问题常见题型 (1)元素与集合间关系问题 (2)集合与集合间关系问题 (3)集合的基本运算: ①有限集(数集)间集合的运算; ②无限集间集合的运算:数轴(坐标系)画图、定域、求解; ③用德〃摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例 1.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9



例 2.设集合 M ? y | y ? x 2 ? 2x ?1, x ? R , P ? ?x | ?2 ? x ? 4, x ? R?, 则集合 M 与 P 之 间的关系式为( A. M ? P ) B. M ? P C. M ? P D. M ? P且P ? M

?

?

例 3.设集合 M ? ??x, y ? | x ? y ? 0且xy ? 0?, P ? ??x, y ? | x ? 0, y ? 0?,则集合 M 与 P 之 间的关系式为( A. M ? P ) B. M ? P C. M ? P D. M ? P且P ? M )个

例 4.满足 M ? ?0, 1 , 2?且M ? ?0, 2,4?的集合 M 有( A.1 B.2 C.3 D.4

例 5.设 a、b∈R,集合 ? 1,a ? b, a? ? ?0,

? b ? , b? ,则 b-a=( ? a ?



A.1 B.-1 C.2 D.-2 2 2 例 6.已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x +y =1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元素个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例 7.已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},CUB∩A={9},则 A=( ) A、{1,3} B、{3,7,9} C、{3,5,9} D、{3,9} 例 8.设集合 A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若 A∩B≠ ? ,则 a 的取值范围是( ) A.-1<a≤2 B.a>2 C.a≥-1 D.a>-1
3

例 9.集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.4 例 10.已知集合 M={(x,y)|y=-x+1},N={(x,y)|y=x-1}那么 M∩N 为( A.{1,0} B.(1,0) C.{(1,0)} D. ?

2

) )

三、实战训练
1.满足 M? { a1 , a2 , a3 , a4 },且 M∩{ a1 , a2 , a3 }={ a1 , a2 }的集合 M 的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 2.若以集合 S ? ?a, b, c?, ?a, b, c ? R ? 中三个元素的边可构成三角形, 那么此三角形不可能 是( 形 3.设集合 A ? x | x 2 ? 4x ? 3 ? 0 , B ? ?x | 2x ? 3 ? 0?,则 A∩B=( A. ? ? 3, ? ) A.锐角三角形 )

B.等腰三角形

C.钝角三角形

D.直角三角

?

?



? ?

3? ? 2?

B. ? ? 3, ?

? ?

3? 2?

C. ?1 ,?

? 3? ? 2?

D. ? , 3?

?3 ? ?2 ?


4.设集合 A ? x | x ? 2, x ? R , B ? y | y ? ?x2 ,?1 ? x ? 2 ,则 CR ? A ? B ? ? ( A.R B. ?? ?,?2? ? ?0, ? ?? C. ?? ?,?1? ? ?2, ? ?? D. ?

?

?

?

?

5.已知集合 M ? ? x |

? ?

2 ? ? 1?, N ? y | y ? 1 ? x 2 ,则 M ? N ? ( x ?
1] B. (0,
C. ?0, 2?

?

?

) D. ?0, 1?

2] A. ( ??,

6.设集合 A ? x | x ? ?a ? 3?? x ? 3a ? 0 , B ? x | x ? 5x ? 4 ? 0 ,若集合 A∪B 中所有
2 2

?

?

?

?

元素之和为 8,则实数 a 的取值集合为( A.{0} B.{0,3}

) C.{1,3,4} D.{0,1,3,4}

7.设集合 A ? x | x ? a ? 1, x ? R , B ? ?x | 1 ? x ? 5, x ? R?,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的 取值范围是( ) A.{a|0≤a≤6}

?

?

B.{a|a≤2,或 a≥4}

C.{a|a≤0,或 a≥6}

D.{a|2≤a≤4}

8.已知全集 U ? ?x ? Z | 0 ? x ? 8? , M ? ?2,3,5?, N ? x | x ? 8x ? 12 ? 0 ,则集合
2

?

?

{1,4,7}为(

) B. CU ?M ? N ? C. CU ?M ? N ? D. N ? CU M

A. M ? CU N

9.设全集 U ? A ? B ? ?x ? N | 0 ? x ? 10? , A ? CU B ? ? 1,2,3,5,7,9?,则 B 的非空真子集 的个数为( A.5 ) B.30
4

C.31

D.32

10.在“①高一数学课本中的难题;②大于等于 1,且小于等于 100 的所有整数;③方程 x +2=0 的实数解;④π的近似值的全体;⑤平面几何中所有的难证明的题目;⑥著名的数学 2 2 2 家;⑦在实数中,比负数大的所有数的全体;⑧一元二次方程 x +bx-1=0 的根;⑨a ,a +1, 2 a +2;”能够表示成集合的是。
2

11.设集合 P ? ?x ? y, x ? y, xy? , Q ? x 2 ? y 2 , x 2 ? y 2 ,0 ,若 P=Q,求 x,y 的值。 12.已知集合 A ? ? x | x ? k ?

?

?

? ?

1 1 ? ? ? , k ? Z ?, B ? ? x | x ? k , k ? Z ? ,则 AB 2 2 ? ? ?

13.已知 A ? ??x, y ? | y ? 2 x ?1?, B ? ??x, y ? | y ? x ? 3?, a ? A, a ? B ,求:a=。 14.若 A ? ?x | x ? 4n ? 1, n ? Z ?, B ? ?x | x ? 4n ? 3, n ? Z ?, C ? ?x | x ? 8n ? 1, n ? Z ?,则 集合 A、B、C 之间的关系是。 15.若集合 M ? x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 只含一个元素,则 a=。 16.设集合 A ? ? 1 , 2,a?, B ? 1, a 2 ? a ,若 A ? B ,则 a=. 17.设 A ? ?x | 2 ? x ? 6?, B ? ?x | 2a ? x ? a ? 3?, B ? A ,则 a=. 18.设 A ? x | x 2 ? 4x ? 0 , B ? x | x 2 ? 2?a ? 1?x ? a 2 ?1 ? 0, x ? R , B ? A ,则 a=. 19.设 f ?x? ? x ? px ? q, A ? ?x | x ? f ?x?? , B ? ?x | x ? f ? f ?x???:
2

?

?

?

?

?

?

?

?

(1)求证: A ? B; (2)若果 A ? ?? 1, 3?,求 B.

5

§·常用逻辑用语
一、知识清单
1.命题定义:用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句,叫做命题。其中, 判断为真的即为真命题,为假的即为假命题。 2.命题的判断以及命题真假的判断 (1)命题的判断:①判断该语句是否是陈述句;②能否判断真假。 (2)命题真假的判断:首先,分清条件与结论,其次,再判断命题真假。 3.一般地,用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用? p 和? q 表示 p 与 q 的否定,即 如下: 命 题 表述形式 若p则q 若q则p 若? p 则? q 若? q 则? p (四种命题的关系)

原命题 逆命题 否命题 逆否命题

4.充分条件和必要条件 (1)充分条件: 如果 A 成立,那么 B 成立,则条件 A 是 B 成立的充分条件。 (2)必要条件: 如果 A 成立,那么 B 成立,这时 B 是 A 的必然结果,则条件 B 是 A 成立的必要条件。 (3)充要条件: 如果 A 既是 B 成立的充分条件, 又是 B 成立的必要条件, 则 A 是 B 成立的充要条件, 与此同时,B 也一定是 A 成立的重要条件,所以此时,A、B 互为充要条件。 【注意】充分条件与必要条件是完全等价的,是同一逻辑关系“A=>B”的不同表达方 法。 5.逻辑联结词 (1)不含逻辑联结词的命题是简单命题,由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非” 构成的命题是复合命题,它们有以下几种形式:p 或 q(p∨q);p 且 q(p∧q);非 p(? p)。 (2)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系 十分密切。

6.量词与命题 (1)全称量词和存在量词表示 量词名称 全称量词 存在量词 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等
6

表示符号

?

?

(2)全称命题与特称命题 命题 全称命题“ ?x ? M , p?x ? ” 特称命题“ ?x0 ? M , p?x0 ? ”

定义

短语“存在一个” “至少有一个” 短语 “对所有的” “对任意一个” 等, 等,在逻辑中通常叫做存在量词,用 在逻辑中通常叫做全称量词, 用符号 “? ” 符号“ ? ”表示。含有存在量词的命 表示。 含有全称量词的命题叫做全称命题 题,叫做特称命题 全称命题就是陈述某集合所有元素 都具有某种性质的命题 ①所有的 x ? M , p?x ? 成立; 存在性命题就是陈述某集合中 有(存在)一些元素具有某种性质的 命题 ①存在 x0 ? M , 使p?x0 ? 成立; ②至少有一个 x0 ? M , 使p?x0 ? 成立; ③对有些 x0 ? M , 使p?x0 ? 成立; ④对某个 x0 ? M , 使p?x0 ? 成立; ⑤有一个 x0 ? M , 使p?x0 ? 成立。

实质

表述方 法

②对一切 x ? M , p?x ? 成立; ③对每一个 x ? M , p?x ? 成立; ④任选一个 x ? M , p?x ? 成立; ⑤凡 x ? M , p?x ? 成立。

7.命题的否定:其与否命题不是同一概念,否命题与原命题无真假关系 (1)含一个量词的命题(全称命题 命 题 命题的否定 与特称命题)的否定 全称命题的否定为特称命题 ?x ? M,p( x) ?x 0 ? M,?p( x0 ) 特称命题的否定为全称命题

?x 0 ? M,p( x0 )
(2)复合命题的否定 ①“? p”的否定是“p”; ②“p∨q”的否定是“? p∧? q”; ③“p∧q”的否定是“? p∨? q”

?x ? M,?p( x)

二、高考常见题型及解题方法
1.命题类题型考法与思路 (1)命题及命题真假的判断方法 ①一般地,陈述句、反义疑问句是命题,而感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,含有 变量的语句叫开语句,不能判断真假的开语句也不是命题; ②判断命题是否为真,也可先写出命题,分清条件和结论,然后直接判断;也可从其与 逆否命题等价角度判断; (2)判断四种命题之间的关系时,要注意分清命题的条件和结论,再比较 p、q 之间的 关系; (3)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提;对于有并列条件 组成的命题时,要将其中一个(或 n 个)作为大前提。

7

(4)一些词语及其否定如下表所示:
词语 是 都是 都不是 至少一 个是 等于 大于 小于 至少有 一个 一个都 没有 至多有 一个 至少有 两个 至少有 n个 至多有 n-1 个 至多有 n个 至少有 n+1 个

否定

不是

不都是

不等于

不大于

不小于

2.命题四种形式判断的考法与解法 (1)命题判断法 ①设“若 p,则 q”为原命题,那么: 原命题为真 逆命题为真 逆命题为假 P 为 q 的充要条件 充分不必要条件 原命题为假 必要不充分条件 既不充分也不必要条件

②命题判断(定义法) a.分清条件与结论(p 与 q);b.找推式:即判断 p=>q 及 q=>p 的真假;c.下结论:根据 上表。 (2)集合判断法 从集合的观点看,建立命题 p,q 相应的集合 p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立} 那么: ①若 A ? B 则 p 是 q 的充分条件;若 A? B,则 p 是 q 的充分不必要条件; ②若 B ? A 则 p 是 q 的必要条件;若 B? A,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③若 A ? B 且 B ? A ,即 A=B,则 p 是 q 的充要条件。 (3)充分必要条件的判断应注意问题的设问方式 ①“A 是 B 的充分不必要条件”是指:A=>B 且 B≠>A; ②“A 的充分不必要条件是 B”是指:B=>A 且 A≠>B; 3.复合命题真假的判断 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假

p?q

p?q

?p

4.全(特)称命题真假的判断及其应用 命题名称 全称命题 特称命题 真假 真 假 真 假 判断方法 1 所有对象命题真 存在一个对象命题假 存在一个对象命题真 所有对象命题假 判断方法 2 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真

5.全称命题与特称命题的否定形式、真假判断及求参数范围
8

【针对训练】 例 1. 给出以下四个命题:①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题;②“全等 三角形的面积相等”的否命题;③“若 q ? ?1 ,则 x 2 ? x ? q ? 0 有实根”的逆否命题;④“不 等边三角形的三内角相等”的逆否命题。其中真命题是( ) A.①② B.②③ C.① ③ D.③④ 例 2.“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A、∠B 都是锐角”的否命题为( A.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不是锐角 B.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 不都是锐角 C.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不一定是锐角 D.以上都不对
2 例 3.给出 4 个命题:①若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x=1 或 x=2;②若 ? 2 ? x ? 3 ,则



?x ? 2??x ? 3? ? 0 ;③若 x=y=0,则 x2 ? y 2 ? 0 ;④若 x, y ? N ? ,x+y 是奇数,则 x,y 中一
个是奇数,一个是偶数。那么( A.①的逆命题为真 C.③的逆否命题为假 的逆命题为假 ) B.②的否命题为真 D.④

例 4. 直线 y ? kx ? 1 的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是( A.k<0



B.k<-1 C.k <1 D.k>-2 例 5.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A.(? p)∨(? q) B.p∨(? q) C.(? p)∧(? q) D.p∨q 例 6.已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是( )

1 2 1 2 ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 1 2 1 2 C. ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2
A. ?x ? R,
2

B. ?x ? R,

1 2 1 2 ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 1 2 1 2 D. ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2

例 7.命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为( ) 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x <0 B.不存在 x∈R,都有 x <0 2 2 C.存在 x0∈R,使得 x0 ≥0 D.存在 x0∈R,使得 x0 <0 例 8.若 p 是真命题,q 是假命题,则( ) A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.? p 是真命题 D.? q 是真命题 例 9.设 x ? Z , 集合 A 是奇数集, 集合 B 是偶数集。 若命题 p : ?x ? A,2 x ? B , 则 ( A. ?p : ?x ? A,2 x ? B C. ?p : ?x ? A,2 x ? B B. ?p : ?x ? A,2 x ? B D. ?p : ?x ? A,2 x ? B )

三、高考真题训练
1. (15 北京) 设 ?,? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? ? 是 的 ( “ . m // ?” “? // ?”
9



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

2.(15 年新课标 1)设命题 p: ? n ? N, n > 2 ,则 ? P 为()
n
2 2 n n A. ? n ? N, n > 2 B. ? n ? N, n ≤ 2 2 n C. ? n ? N, n ≤ 2 2 n D. ? n ? N, n = 2

3.(15 年天津)设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的()
2

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.(2015·浙江卷)命题“ ?n ? N * , f ?n?? N *且f ?n? ? n ”的否定形式是( A. ?n ? N * , f ?n?? N *且f ?n? ? n C. ?n0 ? N * , f ?n0 ?? N *且f ?n0 ? ? n0 B. ?n ? N * , f ?n?? N *或f ?n? ? n

D. ?n0 ? N * , f ?n0 ?? N *或f ?n0 ? ? n0

? y ? x ?1 ? 5.设 p : ?x ?1? ? ? y ?1? ? 2, ?x, y ? R? ; q : ? y ? 1 ? x, ? x, y ? R ? ,则 p 是 q 的( ?y ?1 ?
2 2



A.必要不充分条件

B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.命题 p : x ? 2 ? 2 ,命题 q :

1 ? 1 ,则 ? p 是 ? q 成立的( 3? x



A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.给定两个命题 p,q,p:若 x+y≤4 或 xy≤4,则 x≤2 或 y≤2;q:有一个偶数是质数, 则“ p ? q ”为命题(填“真”或“假”)。 8.已知命题 p:方程 x ? 2ax ? 1 ? 0 有两个大于-1 的实数根,命题 q:关于 x 的不等式
2

ax2 ? ax ? 1 ? 0 的解集为 R。若“ p ? q ”与“ ? p ”都是真命题,则实数 a 的取值范围:。
9.已知命题 p : ?x ? ? 1,2?, x ? a ? 0 ,命题 q : ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ,若命题
2

2

“ p ? q ”是真命题,求实数 a 的取值范围。 10.已知命题 p :"?x ? R, ?m ? R,4 ? 2
x x ?1

? m ? 0" ,且命题 ? p 是假命题,则实数 m 的

取值范围为。 11.若 x ? ?? 2,2? ,不等式 x ? ax ? 3 ? a 恒成立,求 a 得取值范围。
2

12.设集合 M ? ?x | x ? 2? , P ? ?x | x ? 3? ,则“ x ? M 或 x ? P ”是“ x ? ?M ? P ? ”的 13.设 p:实数 x 满足 x
2

? ?x -x-6≤0, -4ax+3a <0,其中 a≠0,q:实数 x 满足? 2 ? ?x +2x-8>0.
2

2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围。
10

11


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