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必修二综合测试题(一)含详细答案

数学考试答题卡
姓名: 一. 选择题(5× 12 =60) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 班级: 分数:

二. 填空题(4× 4 = 16) 13. 15. 三. 解答题 17. 14. 16.

1

18.

19.

2

20.

21.

3

22.

4

必修二高中数学人教版模块综合测试 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.在某几何体的三视图中,主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆,圆的半径为 R,则这个 几何体的体积是( ) A.

1 π R3 3

B.

2 π R3 3

C.π R3

3 D. ?R

4 3

2.在空间直角坐标系中,方程 x2-4(y-1)2=0 表示的图形是( ) A.两个点 B.两条直线 C.两个平面 D.一条直线和一个平面 3.长方体各面上的对角线所确定的平面个数是( ) A.20 B.14 C.12 D.6 4.与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程是( ) A.3x-2y+2=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 2 2 5.与圆 C:x +(y+5) =3 相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( ) A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.6 条 6.(2006 高考天津卷,文 7)若 l 为一条直线,α、β、γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个 命题:①α⊥γ,β⊥γ ? α⊥β;②α⊥γ,β∥γ ? α⊥β;③l∥α,l⊥β ? α⊥β. 其中正确的命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 7.(2006 高考全国卷Ⅰ,理 7 文 9)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16, 则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 8.将若干毫升水倒入底面半径为 4 cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为 8 cm,若将这些水倒 入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( ) A. 6 3 B.6 C. 43 18 ) D. 83 9

9.已知点 P(2,-3)、Q(3,2),直线 ax-y+2=0 与线段 PQ 相交,则 a 的取值范围是(

4 A.a≥ 3 5 C. ? ≤a≤0 2

4 B.a≤ ? 3 4 1 D.a≤ ? 或 a≥ 2 3

10.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2 11.直线 l 与直线 3x+4y-15=0 垂直,与圆 x +y -18x+45=0 相切,则 l 的方程是( ) A.4x-3y-6=0 B.4x-3y-66=0 C.4x-3y-6=0 或 4x-3y-66=0 D.4x-3y-15=0 2 12.直线 3x-2y+m=0 和直线(m -1)x+3y-3m+2=0 的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.相交 D.不能确 定 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.已知 A(-1, -2, 1)、 B(2, 2, 2), 点 P 在 z 轴上, 且 d(P,A)=d(P,B),则点 P 的坐标为___________.
5

14.若 P 在坐标平面 xOy 内,A 点坐标为(0,0,4),且 d(P,A)=5,则点 P 组成的曲线为___________. 15.如图 1,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,最小 值为 b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.

16.过圆 x2+y2-6x+4y-3=0 的圆心,且平行于 x+2y+11=0 的直线方程是___________. 三、解答题(共 74 分) 17.(本小题 12 分)如图 2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证: (1)A1D∥平面 CB1D1; (2)平面 A1BD∥平面 CB1D1.

图2

18.(本小题 12 分)如图 3,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,AB=CC1=1,BC=2. (1)求证:A1C1⊥AB; (2)求点 B1 到平面 ABC1 的距离.

图3

6

19.(本小题 12 分)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 2 ,求圆的方程.

20.(本小题 12 分)已知圆 C:(x-1)2+y2=9 内有一点 P(2,2),过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求弦 AB 的长.

21.(本小题 12 分)如图 4,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AA1、 D1C1 的中点,过 D、M、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 l; (1)画出直线 l; (2)设 l∩A1B1=P,求 PB1 的长; (3)求 D 到 l 的距离.

图4

7

22.(本小题 14 分)设有半径为 3 km 的圆形村落,A、B 两人同时从村落中心出发,B 向北直 行,A 先向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰 与 B 相遇,设 A、B 两人速度一定,其速度比为 3∶1,问两人在何处相遇.

8

必修二高中数学人教版模块综合测试参考答案 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.在某几何体的三视图中,主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆,圆的半径为 R,则这个 几何体的体积是( ) A.

1 π R3 3

B.

2 π R3 3 4 3 πR . 3

C.π R3

3 D. ?R

4 3

解析:由题意,这个几何体是球,故体积为

答案:D 2.在空间直角坐标系中,方程 x2-4(y-1)2=0 表示的图形是( ) A.两个点 B.两条直线 C.两个平面 D.一条直线和一个平面 解析:由原方程可得(x+2y-2)(x-2y+2)=0,∴x+2y-2=0 或 x-2y+2=0. 答案:C 3.长方体各面上的对角线所确定的平面个数是( ) A.20 B.14 C.12 D.6 解析: 相对两平行平面中有两组平行对角线,可以确定两个平面,这样有 6 个平面.又因为每个 顶点对应一个符合条件的平面,这样又有 8 个平面,共有 14 个平面. 答案:B 4.与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程是( ) A.3x-2y+2=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 解 : 设 (x0,y0) 是 直 线 2x+3y-6=0 上 任 一 点 , 其 关 于 点 (1,-1) 的 对 称 点 的 坐 标 是 (x,y), 则 2x0+3y0-6=0.(*)

? x0 ? x ? 2 ? 1, 又由对称性知 ? ? ? y 0 ? y ? ?1 . ? 2 ?
∴?

? x 0 ? 2 ? x, 代入(*)式得 2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即 2x+3y+8=0. ? y 0 ? ?2 ? y.

答案:D 5.与圆 C:x2+(y+5)2=3 相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( ) A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.6 条 解析: 原点在圆 C 外,过原点的两条切线在坐标轴上的截距也是相等的;若切线不过原点,设为 x+y=a,圆心为(0,-5),半径为 3 , ∴

| 0?5?a | 2

? 3.

∴a=-5± 6 .
9

∴在两轴上截距相等、斜率为-1 的直线又有两条,共有 4 条. 答案:C 6.(2006 高考天津卷,文 7)若 l 为一条直线,α、β、γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个 命题:①α⊥γ,β⊥γ ? α⊥β;②α⊥γ,β∥γ ? α⊥β;③l∥α,l⊥β ? α⊥β. 其中正确的命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:本题考查线面和面面的垂直平行垂直关系. ①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的. 答案:C 7.(2006 高考全国卷Ⅰ,理 7 文 9)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16, 则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 解析:本题考查长方体和正四棱柱的关系以及球的表面积的计算.由题意可得该正四棱柱的 底面面积为 4,边长为 2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心即球的 直径为 2 6 ,根据球的表面积公式,可得球的表面积为 24π. 答案:C 8.将若干毫升水倒入底面半径为 4 cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为 8 cm,若将这些水倒 入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( ) A. 6 3 解:设水面高度为 h.由 42×8π= ∴h= 43 18 .故选 C. 答案:C 9.已知点 P(2,-3)、Q(3,2),直线 ax-y+2=0 与线段 PQ 相交,则 a 的取值范围是( ) B.6 C. 43 18 D. 83 9

1 3 2 × ( h) πh, 3 3

4 3 5 C. ? ≤a≤0 2
A.a≥ 如图,直线与线段 PQ 相交,0≥k≥kAP,即 ?

4 3 4 1 D.a≤ ? 或 a≥ 2 3
B.a≤ ?

解析:直线 ax-y+2=0 可化为 y=ax+2,斜率 k=a,恒过定点 A(0,2).

5 ≤a≤0. 2

答案:C 10.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有( A.1 个 B.2 个 C.3 个

) D.4 个

10

解:圆心(3,3)到直线 3x+4y-11=0 的距离为 d=

| 3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 11 | =2,圆的半径是 3. 5

∴圆上的点到直线 3x+4y-11=0 的距离为 1 的点有 3 个. 答案:C 11.直线 l 与直线 3x+4y-15=0 垂直,与圆 x2+y2-18x+45=0 相切,则 l 的方程是( A.4x-3y-6=0 B.4x-3y-66=0 C.4x-3y-6=0 或 4x-3y-66=0 D.4x-3y-15=0 解:由直线 l 与直线 3x+4y-15=0 垂直,则可设 l 的方程是 4x-3y+b=0. 由圆 x2+y2-18x+45=0,知圆心 O′(9,0),半径 r=6, ∴

)

| 4 ? 9 ? 3? 0 ? b | =6,|36+b|=30. 5

∴b=-6 或 b=-66. 故 l 的方程为 4x-3y-6=0 或 4x-3y-66=0. 答案:C 12.直线 3x-2y+m=0 和直线(m2-1)x+3y-3m+2=0 的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.相交 D.不能确 定 解析:因为 3× 3-2(m2-1)=0,m 无解,可得 3×3≠2(m2-1),即两直线斜率不相等,所以这两条直 线不平行或重合,由两直线相交的条件,可得两直线相交. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.已知 A(-1, -2, 1)、 B(2, 2, 2), 点 P 在 z 轴上, 且 d(P,A)=d(P,B),则点 P 的坐标为___________. 解:∵P 在 z 轴上, ∴设 P 点坐标为(0,0,z). 又∵|PA|=|PB|, ∴利用距离公式得 z=3. 答案:(0,0,3) 14.若 P 在坐标平面 xOy 内,A 点坐标为(0,0,4),且 d(P,A)=5,则点 P 组成的曲线为___________. 解 析 : 考 查 两 点 距 离 公 式 的 应 用 和 探 究 问 题 的 能 力 . 设 P(x,y,0) , 则 d(P,A)=

( x ? 0) 2 ? ( y ? 0) 2 ? (0 ? 4) 2 , 因为|PA|=5,所以 x2+y2+16=25,即 x2+y2=9.所以 P 点在 xOy
坐标面上形成一个以(0,0)为圆心,以 3 为半径的圆. 答案:以(0,0)为圆心,以 3 为半径的圆 15.如图 1,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,最小 值为 b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.

图1 解析:可以考虑用一个与原来全等的几何体,倒过来拼接到原几何体上,得到一个底面半径 为 r,母线长为(a+b)的圆柱,其体积为 πr2(a+b),故所求体积为
11

1 2 πr (a+b). 2

答案:

1 2 πr (a+b) 2

16.过圆 x2+y2-6x+4y-3=0 的圆心,且平行于 x+2y+11=0 的直线方程是___________. 解:圆 x2+y2-6x+4y-3=0 的圆心为(3,-2). 设所求直线斜率为 k,则 k= ? ∴方程为 y+2= ?

1 . 2

1 (x-3),即 x+2y+1=0. 2

答案:x+2y+1=0 三、解答题(共 74 分) 17.(本小题 12 分)如图 2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证: (1)A1D∥平面 CB1D1; (2)平面 A1BD∥平面 CB1D1. 证明: (1)∵A1B1∥CD 且 A1B1=CD, ∴四边形 A1B1CD 是平行四边形, 故 A1D∥B1C. 图2 又 B1C ? 平面 CB1D1 且 A1D ? 平面 CB1D1, ∴A1D∥平面 CB1D1. (2)由(1)A1D∥平面 CB1D1,同理可得 A1B∥平面 CB1D1,又 A1D∩A1B=A1,且 A1D 和 A1B 都在 平面 A1BD 内,所以平面 A1BD∥平面 CB1D1. 18.(本小题 12 分)如图 3,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,AB=CC1=1,BC=2. (1)求证:A1C1⊥AB; (2)求点 B1 到平面 ABC1 的距离. (1)证明:连结 A1B,则 A1B⊥AB1. 又∵AB1⊥BC1, ∴AB1⊥平面 A1BC1. ∴AB1⊥A1C1. 又∵A1C1⊥BB1, ∴A1C1⊥平面 ABB1. ∴A1C1⊥AB. (2)解:由(1)知 AB⊥AC,∵AB⊥AC1, 又∵AB=1,BC=2, ∴AC= 3 ,AC1=2. ∴ S ?ABC1 =1. 设所求距离为 d, ∴ VB1 ? ABC1 ? VC1 ? ABB1 . ∴

1 1 S△ABC1· d= S ?ABB1 · A1C1. 3 3

12



1 1 1 · 1· d= · · 3 . 3 3 2

∴d=

3 . 2

19.(本小题 12 分)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 2 ,求圆的方程. 解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ∵圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上, ∴圆心在 x+2y=0 上. ∴a+2b=0. ∵圆被直线截得的弦长为 2 2 , ∴(



| a ? b ?1| 2

)2+( 2 )2=r2.

② ③

由点 A(2,3)在圆上,得(2-a)2+(3-b)2=r2.

?a ? 6, ?a ? 14, ? ? 联立①②③,解得 ?b ? ?3, 或?b ? ?7, ?r 2 ? 52 ?r 2 ? 244. ? ?
∴圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244. 20.(本小题 12 分)已知圆 C:(x-1)2+y2=9 内有一点 P(2,2),过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求弦 AB 的长. 解:(1)已知圆 C:(x-1)2+y2=9 的圆心为 C(1, 0),因直线过点 P、 C, 所以直线 l 的斜率为 2, 直线 l 的方程为 y=2(x-1),即 2x-y-2=0. (2)当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC,直线 l 的方程为 y-2= ?

1 (x-2),即 x+2y-6=0. 2

(3)当直线 l 的倾斜角为 45° 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 x-y=0. 圆心到直线 l 的距离为

1 2

,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 34 .

21.(本小题 12 分)如图 4,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AA1、 D1C1 的中点,过 D、M、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 l; (1)画出直线 l; (2)设 l∩A1B1=P,求 PB1 的长; (3)求 D 到 l 的距离. 解:(1)连结 DM 并延长交 D1A1 的延长线于 Q.连结 NQ,则 NQ 即为所求 的直线 l. (2)设 QN∩A1B1=P,△ A1MQ≌△MAD,
13

∴A1Q=AD=A1D1,A1 是 QD1 的中点. ∴A1P=

1 a 3 D1N= .∴PB1= a. 2 4 4

(3)作 D1H⊥l 于 H,连结 DH,可证明 l⊥平面 DD1H,则 DH⊥l,则 DH 的长就是 D 到 l 的距 离. 在 Rt△ QD1N 中, 两直角边 D1N=

a 17 ,D1Q=2a,斜边 QN= QN=D1N· D1Q,即 D1H= a ,∴D1H· 2 2

2 17 357 2 17 2 357 a ,DH= ( a. a) ? a 2 ? a ,∴D1 到 l 的距离为 17 17 17 17
22.(本小题 14 分)设有半径为 3 km 的圆形村落,A、B 两人同时从村落中心出发,B 向北直 行,A 先向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰 与 B 相遇,设 A、B 两人速度一定,其速度比为 3∶1,问两人在何处相遇. 解:如图,建立平面直角坐标系,由题意可设 A、B 两人速度分别为 3V 千米/小时、V 千米 /小时,再设出发 x0 小时,在点 P 改变方向,又经过 y0 小时,在点 Q 处与 B 相遇,

则 P、Q 两点坐标为(3Vx0,0)、(0,Vx0+y0). 由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3Vx0)2+(Vx0+y0)2=(3Vy0)2, 即(x0+y0)(5x0-4y0)=0. ∵x0+y0>0, ∴5x0=4y0. 将①代入 kPQ= ? 得 kPQ= ?



x0 ? y 0 , 3x0

3 . 4

又已知 PQ 与圆 O 相切,直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两人相遇的位置. 设直线 y= ?

| 4b | 3 x+b 与圆 O:x2+y2=9 相切,则有 =3, 4 32 ? 4 2

∴b=

15 . 4

14


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