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河北省石家庄市2018届高三下学期4月一模考试数学(文)试题 Word版含答案

石家庄市 2018 届高中毕业班模拟考试(一) 文科数学(A 卷)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} , A ? {x | x ? 3, x ? N} ,则 CU A ? ( A. {1, 2} 2.复数 A. i 3.已知四个命题: ①如果向量 a 与 b 共线,则 a ? b 或 a ? ?b ; ② x ? 3 是 x ? 3 的必要不充分条件;
2 ③命题 p : ?x0 ? (0, 2) , x02 ? 2 x0 ? 3 ? 0 的否定 ? p : ?x ? (0, 2) , x ? 2 x ? 3 ? 0 ;



B. {3, 4,5,6,7} ) B. ?i

C. {1,3, 4, 7}

D. {1, 4, 7}

1 ? 2i ?( 1? i

C.

?1 ? 3i 2

D.

3 ? 3i 2

?

?

?

?

?

?

x ④“指数函数 y ? a 是增函数,而 y ? ( ) 是指数函数,所以 y ? ( ) 是增函数”
x x

1 2

1 2

此三段论大前提错误,但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3 )

4.若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an ,则 a2018 的值为( 1 ? an
C. ?

A.2
x

B.-3

1 2

D.

1 3

5.函数 f ( x) ? 2 ( x ? 0) ,其值域为 D ,在区间 (?1, 2) 上随机取一个数 x ,则 x ? D 的概 率是( A. ) B.

1 2

1 3

C.

1 4

D.

2 3

6. 程序框图如图所示,该程序运行的结果为 s ? 25 ,则判断框中可填写的关于 i 的条件是 ( )

A. i ? 4?

B. i ? 4?

C. i ? 5?

D. i ? 5?

7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式: “以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之, 为实,一为从隅,开方得积.” (即: S ?

1 2 2 c2 ? a2 ? b2 2 ,并举例 [c a ? ( ) ] ,a ? b ? c ) 4 2

“问沙田一段,有三斜(边) ,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田 几何?”则该三角形田面积为( A.84 平方里 ) C.126 平方里 D.254 平方里

B.108 平方里

8. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的 表面积为( )

A.

2 ? 3

B.

4 ? 3

C. 2?

D. ?

8 3

9.设 f ( x ) 是定义在 [?2b,3 ? b] 上的偶函数,且在 [?2b,0] 上为增函数,则 f ( x ? 1) ? f (3) 的解集为( A. [?3,3] 10.抛物线 C : y ? ) B. [?2, 4] C. [?1,5] D. [0, 6]

1 2 x 的焦点为 F ,其准线 l 与 y 轴交于点 A ,点 M 在抛物线 C 上,当 4

MA MF
A.1

? 2 时, ?AMF 的面积为(
B.2



C. 2 2 ,则 AC ? 3BC 的最大值为( C. 3 7

D.4 )

11.在 ?ABC 中, AB ? 2 , C ? A. 7 B. 2 7

?
6

D. 4 7

x2 y 2 12.已知 F 过 F2 的直线 l 与 F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点和右焦点, 1, a b
双曲线的右支交于 A , B 两点, ?AF1F2 的内切圆半径为 r1 , ?BF1F2 的内切圆半径为 r2 , 若 r1 ? 2r2 ,则直线 l 的斜率为( A.1 B. 2 ) C.2 D. 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分. ? ? ? ? 13.设向量 a ? (1, 2m) , b ? (m ? 1,1) ,若 a ? b ,则 m ?
?y ? x ? 14. x , y 满足约束条件: ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?





15.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的 年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是 .

16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为 2 的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形 斜边的最小值为 .

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求 作答. (一)必考题:共 60 分
17.已知 {an } 是公差不为零的等差数列,满足 a3 ? 7 ,且 a2 、 a4 、 a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 满足 bn ? an ? an?1 ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

18.四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形, AB / / CD , AB ? BC ,

AB ? 2 BC ? 2CD ? 2 , ?SAD 为正三角形.

(Ⅰ)点 M 为棱 AB 上一点,若 BC / / 平面 SDM , AM ? ? AB ,求实数 ? 的值; (Ⅱ)若 BC ? SD ,求点 B 到平面 SAD 的距离. 19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬 方案.甲方案:底薪 100 元,每派送一单奖励 1 元;乙方案:底薪 140 元,每日前 55 单没有 奖励,超过 55 单的部分每单奖励 12 元. (Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y (单位:元)与送货单数 n 的函数关系式; (Ⅱ) 根据该公司所有派送员 100 天的派送记录, 发现派送员的日平均派送单数与天数满足 以下表格: 日均派送单数 频数(天) 回答下列问题: ①根据以上数据,设每名派送员的日薪为 X (单位:元) ,试分别求出这 100 天中甲、乙两 种方案的日薪 X 平均数及方差; ②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并 说明你的理由. (参考数据: 0.6 ? 0.36 , 1.4 ? 1.96 , 2.6 ? 6.76 , 3.4 ? 11.56 , 3.6 ? 12.96 ,
2 2 2 2 2

???? ?

??? ?

52 20

54 30

56 20

58 20

60 10

4.62 ? 21.16 , 15.62 ? 243.36 , 20.42 ? 416.16 , 44.42 ? 1971.36 )
20.已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F 且离心率为 ,M 1 ,F2 , 2 a b 2
?

为椭圆上任意一点,当 ?F 1MF2 的面积为 1. 1MF 2 ? 90 时, ?F (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) 已知点 A 是椭圆 C 上异于椭圆顶点的一点, 延长直线 AF1 , AF2 分别与椭圆交于点 B ,

D ,设直线 BD 的斜率为 k1 ,直线 OA 的斜率为 k2 ,求证: k1 ? k2 为定值.
21.已知函数 f ( x) ? ( x ? b)(e x ? a) , (b ? 0) ,在 (?1, f (?1)) 处的切线方程为

(e ?1) x ? ey ? e ? 1 ? 0 .
(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)若 m ? 0 ,证明: f ( x) ? mx2 ? x .

(二)选考题:共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将 答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多 答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 ? r cos ? ( r ? 0 , ? 为参数) , y ? 1 ? r sin ? ? ?

以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

? ? sin(? ? ) ? 1 ,若直线 l 与曲线 C 相切;
3
(Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上取两点 M , N 与原点 O 构成 ?MON ,且满足 ?MON ?

?
6

,求面积

?MON 的最大值.
23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?

2 x ? 3 ? x ? m 的定义域为 R ;

(Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)设实数 t 为 m 的最大值,若实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? t ,求
2 2 2 2

1 1 1 ? 2 ? 2 的最小值. a ?1 b ? 2 c ? 3
2

石家庄市 2017-2018 学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案 一、选择题
1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12:DD

二、填空题
13. ?

1 3

14. 3

15. 乙

16. 2 3

三、解答题
17. 解:(1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,且 d ? 0 由题意得 ?
2 ? a4 ? a2 a9 ? , ? ? a3 ? 7

?(7 ? d ) 2 ? (7 ? d )(7 ? 6d ) 即? ,解得 d ? 3, a1 ? 1 , ?a1 ? 2d ? 7
所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? 3n ? 2 . (2)由(1)得 bn ? an ? an?1 ? (3n ? 2)(3n ? 1)

?

1 1 1 1 , ? ( ? ) bn 3 3n ? 2 3n ? 1

Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ...... ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) b1 b2 bn 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1

1 1 n ? (1 ? )? . 3 3n ? 1 3n ? 1
18. (1)因为 BC // 平面 SDM,

BC ? 平面 ABCD,
平面 SDM ? 平面 ABCD=DM, 所以 BC // DM , 因为 AB // DC ,所以四边形 BCDM 为平行四边形,又 AB ? 2CD ,所以 M 为 AB 的中点. 因为 AM ? ? AB ,

?? ?

1 . 2

(2)因为 BC ? SD , BC ? CD , 所以 BC ? 平面 SCD , 又因为 BC ? 平面 ABCD , 所以平面 SCD ? 平面 ABCD ,[KS5UKS5U.KS5U 平面 SCD ? 平面 ABCD ? CD , 在平面 SCD 内过点 S 作 SE ? 直线 CD 于点 E ,则 SE ? 平面 ABCD , 在 Rt ? SEA 和 Rt ? SED 中, 因为 SA ? SD ,所以 AE ? 又由题知 ?EDA ? 45 ,
?

SA2 ? SE2 ? SD2 ? SE2 ? DE ,

所以 AE ? ED , 由已知求得 AD ?

2 ,所以 AE ? ED ? SE ? 1 ,

连接 BD,则 V三棱锥S ? ABD ?

1 1 ? 1? 1 ? , 3 3

又求得 ? SAD 的面积为

3 , 2 2 3 .网] 3

所以由 V三棱锥B? ASD ? V三棱锥S ? ABD 点 B 到平面 SAD 的距离为

19. 解 : (1)甲方案中派送员日薪 y (单位:元)与送货单数 n 的函数关系式为:

y ? 100? n, n ? N ,
乙方案中派送员日薪 y (单位:元)与送单数 n 的函数关系式为:

?140, (n ? 55, n ? N) ,k.KS5U y?? ?12n ? 520, (n ? 55, n ? N)

(2)①、由表格可知,甲方案中,日薪为 152 元的有 20 天,日薪为 154 元的有 30 天,日 薪为 156 元的有 20 天,日薪为 158 元的有 20 天,日薪为 160 元的有 10 天,则

x甲 =

1 =155.4 , (152 ? 20+154 ? 30+156 ? 20+158 ? 20+160 ? 10) 100

S甲2 =

1 2 2 2 2 [20 ? ?152 ? 155.4 ? +30 ? ?154 ? 155.4 ? +20 ? ?156 ? 155.4 ? +20 ? ?158 ? 155.4? + 100
2

10 ? ?160 ? 155.4 ? ]=6.44
, 乙方案中,日薪为 140 元的有 50 天,日薪为 152 元的有 20 天,日薪为 176 元的有 20 天, 日薪为 200 元的有 10 天,则

1 =155.6 , (140 ? 50+152 ? 20+176 ? 20+200 ? 10) 100 1 2 2 2 2 S乙2 = [50 ? ?140 ? 155.6? +20 ? ?152 ? 155.6 ? +20 ? ?176 ? 155.6 ? +10 ? ?200 ? 155.6? ] 100 =404.64 x乙 =
, ②、答案一: 由以上的计算可知,虽然 x甲 ? x乙 ,但两者相差不大,且 S甲2 远小于 S乙 2 ,即甲方案日薪收 入波动相对较小,所以小明应选择甲方案. 答案二: 由以上的计算结果可以看出, x甲 ? x乙 ,即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数,所以 小明应选择乙方案. 20 解:

? c 2 ?e ? ? a 2 ? ? r1 ? r2 ? 2a (1)设 MF , 1 ?r 1 , MF 2 ? r2 , 由题 ? 2 2 2 r ? r ? 4 c ?1 2 ?1 ? r1 ? r2 ? 1 ?2
解得 a ?

2, c ? 1 ,则 b2 ? 1 ,
x2 ? y 2 ? 1. 2

? 椭圆 C 的方程为

(2)设 A( x0 , y0 )( x0 ? y0 ? 0) , B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) , 当直线 AF1 的斜率不存在时,设 A(?1,

2 2 ) ,则 B(?1, ? ), 2 2

直线 AF2 的方程为 y ? ?

2 x2 ( x ? 1) 代入 ? y 2 ? 1,可得 5x 2 ? 2 x ? 7 ? 0 , 2 4

? x2 ?

7 2 7 2 , y2 ? ? ,则 D( , ? ) 5 10 5 10 ,

? 直线 BD 的斜率为 k1 ?

?

2 2 ? (? ) 10 2 ? 2 ,直线 OA 的斜率为 k ? ? 2 , 2 7 2 6 ? (?1) 5

? k1 ? k2 ?

2 2 1 ? (? )?? , 6 2 6
1 . 6

当直线 AF2 的斜率不存在时,同理可得 k1 ? k2 ? ? 当直线 AF1 、 AF2 的斜率存在时, x0 ? ?1 ,

y ? y ? 0 ( x ? 1) ? x0 ? 1 y0 ? ( x ? 1) ,则由 ? 设直线 AF1 的方程为 y ? 消去 x 可得: 2 x0 ? 1 ? x ? y2 ? 1 ? ?2
2 2 2 [( x0 ?1)2 ? 2 y0 ]x2 ? 4 y0 x ? 2 y0 ? 2( x0 ?1)2 ? 0 ,
2 x0 2 2 2 ? y0 ? 1,则 2 y0 ,代入上述方程可得 ? 2 ? x0 2



2 2 (3 ? 2x0 ) x2 ? 2(2 ? x0 ) x ? 3x0 ? 4x0 ? 0 ,
2 ?3x0 ? 4 x0 ?3x0 ? 4 y0 ?3x0 ? 4 y0 ,则 y1 ? ? x1 ? x0 ? ,? x1 ? ( ? 1) ? ? 3 ? 2 x0 3 ? 2 x0 x0 ? 1 3 ? 2 x0 3 ? 2 x0

? B( ?

3x0 ? 4 y0 ,? ), 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3
y0 3x ? 4 y0 ( x ? 1) ,同理可得 D( 0 , ), x0 ? 1 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3

设直线 AF2 的方程为 y ?

y0 y0 ? 2 x ? 3 2 x0 ? 3 4 x0 y0 x y0 ? ? 0 , ? 直线 BD 的斜率为 k1 ? 0 2 2 3x0 ? 4 3 x0 ? 4 12 x0 ? 24 3x0 ? 6 ? 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3

?直线 OA 的斜率为 k2 ?

y0 , x0
1?

2 x0 2 x y0 y0 y0 1 ? ? ? 2 2 ? ? .[KS5UKS5U] ? k1 ? k2 ? 0 2 2 3x0 ? 6 x0 3x0 ? 6 3x0 ? 6 6

所以,直线 BD 与 OA 的斜率之积为定值 ? 21.

1 1 ,即 k1 ? k2 ? ? . 6 6

解: (Ⅰ)由题意 f ? ?1? ? 0 ,所以 f (?1) ? ? ?1 ? b ? ? ? a ? ? 0 ,

?1 ?e

? ?

又 f ?( x) ? ? x ? b ?1? ex ? a ,所以 f ?( ?1) ?

b 1 ? a ? ?1 ? , e e

若a ?

1 ,则 b ? 2 ? e ? 0 ,与 b ? 0 矛盾,故 a ? 1 , b ? 1 . e

x (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? ? x ? 1? e ? 1 , f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ,

?

?

2 由 m ? 0 ,可得 x ? mx ? x ,

令 g ( x) ? ? x ? 1? e ? 1 ? x ,
x

?

?

g?( x) ? ? x ? 2? ex ? 2 ,
当 x ? ?2 时, g?( x) ? ? x ? 2? ex ? 2 ? ?2 ? 0 , 当 x ? ?2 时, 设 h( x) ? g?( x) ? ? x ? 2? ex ? 2 ,

h?( x) ? ? x ? 3? ex ? 0 ,
故函数 g ?( x ) 在 ? ?2, ?? ? 上单调递增,又 g ?(0) ? 0 , 所以当 x ? ? ??,0? 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? ? 0, ??? 时, g ?( x) ? 0 ,

所以函数 g ( x) 在区间 ? ??,0? 上单调递减,在区间 ? 0, ??? 上单调递增, 故 g ( x) ? g (0) ? 0 ? ? x ? 1? e ? 1 ? x ? mx ? x
x 2

?

?

故 f ( x) ? mx2 ? x .
x 法二: (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? ? x ? 1? e ? 1 , f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ,

?

?

由 m ? 0 ,可得 x ? mx 2 ? x , 令 g ( x) ? ? x ? 1? e ? 1 ? x ,
x

?

?

g?( x) ? ? x ? 2? ex ? 2 ,
令 当 当 所以 时, 时, 在 , , 单调递减,且 单调递增;且 ; , 上单调递增,且
2

上当单调递减,在



故 g ( x) ? g (0) ? 0 ? ? x ? 1? e ? 1 ? x ? mx ? x ,
x

?

?

故 f ( x) ? mx ? x .
2

选作题 22(1)由题意可知直线 l 的直角坐标方程为 y ? 3x ? 2 ,
3 ? 3 ?1 ? 2 2

曲线 C 是圆心为 ( 3,1) , 半径为 r 的圆, 直线 l 与曲线 C 相切, 可得:r ? 可知曲线 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 , 所以曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 3? cos? ? 2? sin ? ? 0 ,

?2;

? 即 ? ? 4sin(? ? ) . 3
(2)由(1)不妨设 M( ?1 ,? ) , N ( ? 2 ,? ?

?
6

), ( ?1 ? 0, ?2 ? 0 ) ,

S ?MON ?

1 ? OM ON sin , 2 6

, 当? ?

? 时, S ?MON ? 2 ? 3 , 12

所以△MON 面积的最大值为 2 ? 3 . 23. 【解析】 (1)由题意可知 2 x ? 3 ? x ? m 恒成立,令 g ( x) ? 2 x ? 3 ? x ,

? x ? 6, ( x ? 3) ? 去绝对值可得: g ( x ) ? 2 x ? 3 ? x ? ?6 ? 3 x, (0 ? x ? 3) , ? 6 ? x, ( x ? 0) ?
画图可知 g ( x) 的最小值为-3,所以实数 m 的取值范围为 m ? ?3 ; (2)由(1)可知 a 2 ? b2 ? c2 ? 9 ,所以 a 2 ? 1 ? b2 ? 2 ? c2 ? 3 ? 15 ,
1 1 1 ( 2 ? 2 ? 2 ) ? (a 2 ? 1 ? b 2 ? 2 ? c 2 ? 3) 1 1 1 a ? 1 b ? 2 c ? 3 ? ? ? a 2 ? 1 b2 ? 2 c 2 ? 3 15

?

3?

b2 ? 2 a 2 ? 1 c 2 ? 3 a 2 ? 1 c 2 ? 3 b2 ? 2 ? ? ? ? ? a 2 ? 1 b2 ? 2 a 2 ? 1 c 2 ? 3 b2 ? 2 c 2 ? 3 ? 9 ? 3 , 15 15 5

当且仅当 a 2 ? 1 ? b2 ? 2 ? c 2 ? 3 ? 5 ,即 a 2 ? 4, b2 ? 3, c 2 ? 2 等号成立, 所以

1 1 1 3 的最小值为 . ? 2 ? 2 a ?1 b ? 2 c ? 3 5
2

石家庄市 2017-2018 学年高中毕业班第一次模拟考试试题

文科数学答案
一、选择题 (A 卷答案) 1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD (B 卷答案) 1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD 二、填空题 13. ?

1 3

14. 3

15. 乙

16. 2 3

三、解答题(解答题仅提供一种解答,其他解答请参照此评分标准酌情给分)
[KS5UKS5U]

17. 解:(1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,且 d ? 0 由题意得 ?

2 ? ? a4 ? a2 a9 ,?????2 分 a ? 7 ? ? 3

即?

?(7 ? d ) 2 ? (7 ? d )(7 ? 6d ) ?a1 ? 2d ? 7

,解得 d ? 3, a1 ? 1 ,?????4 分

所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? 3n ? 2 ,????????????6 分 (2)由(1)得 bn ? an ? an?1 ? (3n ? 2)(3n ? 1)

?

1 1 1 1 ,??????????8 分 ? ( ? ) bn 3 3n ? 2 3n ? 1

Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ...... ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) b1 b2 bn 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1

???????10 分

1 1 n ? (1 ? )? . ????????? 12 3 3n ? 1 3n ? 1
分. 18. (1)因为 BC // 平面 SDM, BC ? 平面 ABCD, 平面 SDM ? 平面 ABCD=DM, 所以 BC // DM ????????2 分 因为 AB // DC ,所以四边形 BCDM 为平行四边形, 又, AB ? 2CD ,所以 M 为 AB 的中点。??????? 4分

因为 AM ? ? AB

?? ?

1 ???????6 分 2 (2)因为 BC ? SD , BC ? CD , 所以 BC ? 平面 SCD , 又因为 BC ? 平面 ABCD , 所以平面 SCD ? 平面 ABCD , 平面 SCD ? 平面 ABCD ? CD , 在平面 SCD 内过点 S 作 SE ? 直线 CD 于点 E ,则 SE ? 平面 ABCD ,
[KS5UKS5U.KS5U

???????????7 分 在 Rt ? SEA 和 Rt ? SED 中, 因为 SA ? SD ,所以 AE ? 又由题知 ?EDA ? 45 ,
?

SA2 ? SE2 ? SD2 ? SE2 ? DE ,

所以 AE ? ED , 由已知求得 AD ?

2 ,所以 AE ? ED ? SE ? 1 ???????????9 分

连接 BD,则 V三棱锥S ? ABD ?

1 1 ?1?1 ? ,?????????????10 分 3 3

又求得 ? SAD 的面积为

3 2 2 3 ?????12 分 3

所以由 V三棱锥B? ASD ? V三棱锥S ? ABD 点 B 到平面 SAD 的距离为
[KS5UKS5U]

19. 解 : (1)甲方案中派送员日薪 y (单位:元)与送货单数 n 的函数关系式为:

y ? 100? n, n ? N

??????????3 分

乙方案中派送员日薪 y (单位:元)与送单数 n 的函数关系式为:

?140, (n ? 55, n ? N) ?????????6 分 y?? ?12n ? 520, (n ? 55, n ? N)

[KS5UKS5U]

(2)①、由表格可知,甲方案中,日薪为 152 元的有 20 天,日薪为 154 元的有 30 天,日 薪为 156 元的有 20 天,日薪为 158 元的有 20 天,日薪为 160 元的有 10 天,则

x甲 =

1 =155.4 , (152 ? 20+154 ? 30+156 ? 20+158 ? 20+160 ? 10) 100

S甲2 =

1 2 2 2 2 [20 ? ?152 ? 155.4 ? +30 ? ?154 ? 155.4 ? +20 ? ?156 ? 155.4 ? +20 ? ?158 ? 155.4? + 100
2

10 ? ?160 ? 155.4 ? ]=6.44
------------8 分 乙方案中,日薪为 140 元的有 50 天,日薪为 152 元的有 20 天,日薪为 176 元的有 20 天,日薪为 200 元的有 10 天,则

x乙 =

1 =155.6 , (140 ? 50+152 ? 20+176 ? 20+200 ? 10) 100

1 2 2 2 2 [50 ? ?140 ? 155.6? +20 ? ?152 ? 155.6 ? +20 ? ?176 ? 155.6 ? +10 ? ?200 ? 155.6? ] 100 =404.64 S乙2 =
-------------10 分 ②、答案一: 由以上的计算可知,虽然 x甲 ? x乙 ,但两者相差不大,且 S甲2 远小于 S乙 2 ,即甲方案日薪收 入波动相对较小,所以小明应选择甲方案。 答案二: 由以上的计算结果可以看出, x甲 ? x乙 ,即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数,所以 小明应选择乙方案。 20 解: --------12 分

? c 2 ?e ? ? a 2 ? r ? r ? 2 a ?1 2 (1)设 MF ,--------------------2 分 1 ?r 1 , MF 2 ? r2 , 由题 ? 2 2 2 ? r1 ? r2 ? 4c ?1 ? r1 ? r2 ? 1 ?2
解得 a ?

2, c ? 1 ,则 b2 ? 1 ,
x2 ? y 2 ? 1.-------------------------------------------4 分 2

? 椭圆 C 的方程为

(2)设 A( x0 , y0 )( x0 ? y0 ? 0) , B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) , 当直线 AF1 的斜率不存在时,设 A(?1,

2 2 ) ,则 B(?1, ? ), 2 2

2 x2 ( x ? 1) 代入 ? y 2 ? 1,可得 5x 2 ? 2 x ? 7 ? 0 直线 AF2 的方程为 y ? ? 2 4

? x2 ?

7 2 7 2 , y2 ? ? ,则 D( , ? ) 5 10 5 10

? 直线 BD 的斜率为 k1 ?

?

2 2 ? (? ) 10 2 ? 2 ,直线 OA 的斜率为 k ? ? 2 , 2 7 2 6 ? (?1) 5

? k1 ? k2 ?

2 2 1 ? (? )?? , 6 2 6
1 .----------------------------5 分 6

当直线 AF2 的斜率不存在时,同理可得 k1 ? k2 ? ? 当直线 AF1 、 AF2 的斜率存在时, x0 ? ?1

y ? y ? 0 ( x ? 1) ? x0 ? 1 y0 ? ( x ? 1) ,则由 ? 设直线 AF1 的方程为 y ? 消去 x 可得: 2 x0 ? 1 x ? ? y2 ? 1 ? ?2
2 2 2 [( x0 ?1)2 ? 2 y0 ]x2 ? 4 y0 x ? 2 y0 ? 2( x0 ?1)2 ? 0 ,
2 x0 2 2 2 ? y0 ? 1,则 2 y0 ,代入上述方程可得 ? 2 ? x0 2



2 2 (3 ? 2x0 ) x2 ? 2(2 ? x0 ) x ? 3x0 ? 4x0 ? 0 ,
2 ?3x0 ? 4 x0 ?3x0 ? 4 y0 ?3x0 ? 4 y0 ,则 y1 ? ,? x1 ? ( ? 1) ? ? 3 ? 2 x0 3 ? 2 x0 x0 ? 1 3 ? 2 x0 3 ? 2 x0

? x1 ? x0 ? ? B( ?

3x0 ? 4 y0 ,? ) 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3

7分

设 直 线 AF2 的 方 程 为 y ? ----------------------------9 分

y0 3x ? 4 y0 (x ? 1 , ) 同 理 可 得 D( 0 , ) x0 ? 1 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3

y0 y0 ? 2 x ? 3 2 x0 ? 3 4 x0 y0 x y0 ? ? 0 ----------------11 分 ? 直线 BD 的斜率为 k1 ? 0 2 2 3x0 ? 4 3 x0 ? 4 12 x0 ? 24 3x0 ? 6 ? 2 x0 ? 3 2 x0 ? 3

?直线 OA 的斜率为 k2 ?

y0 , x0
2 0

2 x0 x y0 y0 y 1 ? ? 2 ? 2 2 ?? . ? k1 ? k2 ? 0 2 3x0 ? 6 x0 3x0 ? 6 3x0 ? 6 6

1?

[KS5UKS5U]

所以,直线 BD 与 OA 的斜率之积为定值 ?

1 1 ,即 k1 ? k2 ? ? . 6 6

-----------------12 分

21. 解: (Ⅰ)由题意 f ? ?1? ? 0 ,所以 f (?1) ? ? ?1 ? b ? ? ? a ? ? 0 , …………2 分 又 f ?( x) ? ? x ? b ?1? ex ? a ,所以 f ?( ?1) ?

?1 ?e

? ?

b 1 ? a ? ?1 ? ,…………4 分 e e

若a ?

1 ,则 b ? 2 ? e ? 0 ,与 b ? 0 矛盾,故 a ? 1 , b ? 1 …………5 分 e

x (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? ? x ? 1? e ? 1 , f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ,

?

?

2 由 m ? 0 ,可得 x ? mx ? x ……… 6 分

令 g ( x) ? ? x ? 1? e ? 1 ? x ,
x

?

?

g?( x) ? ? x ? 2? ex ? 2 ,
当 x ? ?2 时, g?( x) ? ? x ? 2? ex ? 2 ? ?2 ? 0 ……… 8 分 当 x ? ?2 时, 设 h( x) ? g?( x) ? ? x ? 2? ex ? 2 ,

h?( x) ? ? x ? 3? ex ? 0 ,
故函数 g ?( x ) 在 ? ?2, ?? ? 上单调递增,又 g ?(0) ? 0 , 所以当 x ? ? ??,0? 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? ? 0, ??? 时, g ?( x) ? 0 , 所以函数 g ( x) 在区间 ? ??,0? 上单调递减,在区间 ? 0, ??? 上单调递增,………… 10 分

故 g ( x) ? g (0) ? 0 ? ? x ? 1? e ? 1 ? x ? mx ? x
x 2

?

?

故 f ( x) ? mx2 ? x ………… 12 分
x 法二: (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? ? x ? 1? e ? 1 , f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ,

?

?

由 m ? 0 ,可得 x ? mx 2 ? x ……… 6 分 令 g ( x) ? ? x ? 1? e ? 1 ? x ,
x

?

?

g?( x) ? ? x ? 2? ex ? 2 ,
令 当 当 所以 分 故 g ( x) ? g (0) ? 0 ? ? x ? 1? e ? 1 ? x ? mx ? x
x 2

时, 时, 在

, ,

单调递减,且 单调递增;且

;…………8 分

上当单调递减,在

上单调递增,且

………… 10

?

?

故 f ( x) ? mx ? x ………… 12 分
2

选作题 22(1)由题意可知直线 l 的直角坐标方程为 y ? 3x ? 2 ,………… 2 分
3 ? 3 ?1 ? 2 2

曲线 C 是圆心为 ( 3,1) , 半径为 r 的圆, 直线 l 与曲线 C 相切, 可得:r ? 可知曲线 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ,…………4 分 所以曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 3? cos? ? 2? sin ? ? 0 ,

?2;

? 即 ? ? 4sin(? ? ) 3

…………5 分

(2)由(1)不妨设 M( ?1 ,? ) , N ( ? 2 ,? ?

?
6

), ( ?1 ? 0, ?2 ? 0 )

S ?MON ?

1 ? OM ON sin 2 6

…………7 分

………………9 分 当? ?

? 时, S ?MON ? 2 ? 3 12
………………10 分

所以△MON 面积的最大值为 2 ? 3 . 23. 【解析】

(1)由题意可知 2 x ? 3 ? x ? m 恒成立,令 g ( x) ? 2 x ? 3 ? x ,

? x ? 6, ( x ? 3) ? 去绝对值可得: g ( x ) ? 2 x ? 3 ? x ? ?6 ? 3 x, (0 ? x ? 3) , ? 6 ? x, ( x ? 0) ?
………………3 分 画 图 可 知 g ( x) 的 最 小 值 为 -3 , 所 以 实 数 m 的 取 值 范 围 为
m ? ?3 ;
2 2 2 2

………………5 分

(2)由(1)可知 a ? b ? c ? 9 ,所以 a ? 1 ? b2 ? 2 ? c2 ? 3 ? 15 ,
1 1 1 ( 2 ? 2 ? 2 ) ? (a 2 ? 1 ? b 2 ? 2 ? c 2 ? 3) 1 1 1 a ? 1 b ? 2 c ? 3 ? ? ? a 2 ? 1 b2 ? 2 c 2 ? 3 15

……………… 7


? 3? b2 ? 2 a 2 ? 1 c 2 ? 3 a 2 ? 1 c 2 ? 3 b2 ? 2 ? ? ? ? ? a 2 ? 1 b2 ? 2 a 2 ? 1 c 2 ? 3 b2 ? 2 c 2 ? 3 ? 9 ? 3 ………………9 分 15 15 5

当且仅当 a 2 ? 1 ? b2 ? 2 ? c 2 ? 3 ? 5 ,即 a 2 ? 4, b2 ? 3, c 2 ? 2 等号成立, 所以

1 1 1 3 的最小值为 . ? ? a 2 ? 1 b2 ? 2 c 2 ? 3 5

………………10 分


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