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江门市2012年普通高中高三一模理科数学(江门一模)


绝密★启用前

试卷类型:B 江门市 2012 年高考模拟考试


参考公式:1.锥体的体积公式 V ?

学(理科)
1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.

? 2.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

,a ? y ?b x .

?

?

2 i

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,若 a ? R 使得 A.
a ? z ? R ,则 a ? z

1 1 B. ? C. 2 2 2 ⒉已知函数 f ( x) ? lg | x | , x ? R 且 x ? 0 ,则 f (x) 是

D. ? 2

A.奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 C.奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减 共面的概率等于

B.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 D.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减

⒊从一个五棱锥的顶点和底面各顶点(共 6 个点)中随机选取 4 个点,这 4 个点
1 1 1 1 B. C. D. 2 3 4 5 o ⒋如图 1, ?ABC 中, AC ? 3 , BC ? 4 , ?C ? 90 , D 是 BC

A.

B
D
C

的中点,则 BA ? AD ? A. 0 B. 5 13 C. 17 D. ? 17
图1

A

⒌有人收集了春节期间平均气温 x 与某取暖商品销售额 y 的有关数据如下表: 平均气温(℃) 销售额(万元)

?2
20

?3

?5

?6

23

27

30

根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额 y 与平均气温 x 之间线性回归
? ? ? 方程 y ? bx ? a 的系数 b ? ?2.4 .则预测平均气温为 ? 8 ℃时该商品销售额为

A. 34 .6 万元

B. 35 .6 万元
理科数学

C. 36 .6 万元
第 1 页 共 11 页

D. 37 .6 万元

⒍下列命题中,真命题的个数是 .. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ①不等式 | x ? 3 |? 1 的解集是 (4 , ? ?) . ②命题“任意素数都是奇数”的否定是“任意素数都不是奇数” . ③平行于同一平面的两平面互相平行. ④抛物线 y ? 2x 2 的焦点坐标是 (0 ,
1 ). 2

4
3
正视图 侧视图

⒎如图 2,某几何体的正视图和侧视图都是对角线长分别 为 4 和 3 的菱形,俯视图是对角线长为 3 的正方形,则 该几何体的体积为 A. 36 C. 12 ⒏定义
a b c d

B. 18 D. 6
俯视图

3
图2

? ad ? bc , 其中 a ,b ,c ,d ? ?? 1 , 1 , 2 , 3 , 4? , 且互不相等. 则

a b c d

的所有可能且互不相等的值之和等于 A. 2012 B. ? 2012 C. 0 D.以上都不对

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ? (?1) n n ,则 a n ? .

⒑在平面直角坐标系 xOy 中,以点 M (1 , ? 1) 为圆心,且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 相切 的圆的方程是 .
开始

⒒以初速度 40m/ s 垂直向上抛一物体, t 时刻(单位: s ) 的速度为 v ? 40 ? 10t (单位: m / s ),则物体能达到的 最大高度是 (提示:不要漏写单位) .

i ? 1, s ? 2

i ? i ?1
s? s?


?2 ? x ? y ? 4 ⒓已知 x 、 y 满足 ? , ?? 2 ? x ? y ? 0

s s ?1

则 2 x ? y 的最大值是

1 2



. .

⒔执行如图 3 所示的程序框图,输出的 i ?

输出 i 图3

结束

理科数学

第 2 页 共 11 页

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(几何证明选讲选做题)如图 4, AD 是 ?ABC 的高,

A

AE 是 ?ABC 外接圆的直径。若 AB ? 6 , AC ? 5 ,

O?

C

AD ? 4 ,则图中与 ?BAE 相等的角是
AE ?




B

D E
图4

⒖(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
? x ? cos? ( ? 为参数) ,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? ? y ? 1 ? sin ?

则曲线 C 的极坐标方程为



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ⑴求 f (
7? ) 的值; 12

?
3

) ? 3 cos(?x ?

?
3

) ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? .

⑵若 ?ABC 满足 f (C ) ? f ( B ? A) ? 2 f ( A) ,证明: ?ABC 是直角三角形.

理科数学

第 3 页 共 11 页

⒘(本小题满分 14 分) 甲、乙两名同学在 5 次英语口语测试中的成绩统计如图 5 的茎叶图所示. ⑴现要从中选派一人参加英语口语竞赛,从两同学的平均成绩和方差分析, 派谁参加更合适; ⑵若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测, 记这三次成绩中高于 80 分的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? . (注:样本数据 x1 , x 2 ,?, x n 的方差 s 2 ? 样本均值)
2 2 2 1 x1 ? x ? x 2 ? x ? ? ? x n ? x ,其中 x 表示 n

??

? ?

?

?

??

⒙(本小题满分 14 分) 如图 6,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD是平行四边形,且 AB ? 1 ,
BC ? 2 , ?ABC ? 60 0 , E 为 BC 的中点,
AA1 ? 平面 ABCD .
B1 A1 C1
D1

⑴证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; ⑵若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值.

A B
C
图6

D E

甲 7 3 5 5 0 7 8 9
图5

乙 7 3 7 6 7

理科数学

第 4 页 共 11 页

⒚(本小题满分 12 分)
x2 y2 已知直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 经过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的一个顶点 B a b 和一个焦点 F .

⑴求椭圆的离心率; ⑵设 P 是椭圆 C 上动点,求 || PF | ? | PB || 的取值范围,并求 || PF | ? | PB || 取最 小值时点 P 的坐标.

⒛(本小题满分 14 分) 某学校每星期一供应 1000 名学生 A、B 两种菜。调查表明,凡在这星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20% 改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有 30% 改 选 A 种菜.设第 n 个星期一选 A、B 两种菜分别有 a n 、 bn 名学生. ⑴若 a1 ? 500 ,求 a 2 、 a 3 ; ⑵求 a n ,并说明随着时间推移,选 A 种菜的学生将稳定在 600 名附近.

理科数学

第 5 页 共 11 页

21(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x ,直线 l : y ? kx ? b (常数 k 、 b ? R )使得函数
y ? f (x) 的图象在直线 l 的上方,同时函数 y ? g (x) 的图象在直线 l 的下方,即对

定义域内任意 x , ln x ? kx ? b ? x 2 恒成立.
k2 试证明:⑴ k ? 0 ,且 ? ln k ? 1 ? b ? ? ; 4

⑵“ e

?

1 2

? k ? e ”是“ ln x ? kx ? b ? x 2 ”成立的充分不必要条件.

理科数学

第 6 页 共 11 页

理科数学评分参考
一、选择题 二、填空题 CBBD AADC ⒐ (?1) n (2n ? 1) (列式完整但未化简扣 1 分;列式不完整扣 2 分) ⒑ ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 (或等价方程) ⒒ 80 m (数值对 4 分,全对 5 分;数值错 0 分) ⒕ ?CAD (3 分) , 三、解答题 ⒗⑴ f ( x) ? 2 sin ?x ??2 分 (振幅 1 分, 角度 1 分) T ? , 4 分,所以 f (
2? 15 (2 分) 2

⒓2

⒔3

⒖ ? ? 2 sin ?

?

? ? ??3 分, ? 2 ?? ?

7? 7? (未化简 f (x) 而求 T ,扣 2 分) ) ? 2 sin ? ?1 ??6 分. 12 6

⑵ 由 f (C ) ? f ( B ? A) ? 2 f ( A) 得 sin 2C ? sin(2B ? 2 A) ? 2 sin 2 A ? ? 7 分 ,
? s i n ( ? 2B) ? s i n B ? 2 A) ? 2 s i n A ??8 分, 2A 2( 2

得 cos2 B sin 2 A ? 0 ??9 分,

所以 cos B ? 0 或 sin 2 A ? 0 ??10 分,因为 0 ? A , B ? ? ,所以 B ? ( ?ABC 是直角三角形??12 分.“ B ? ⒘⑴ x甲 ?

?
2

或A?

?
2



?
2

或A?

?
2

”只得到一个,扣 1 分)

75 ? 85 ? 87 ? 90 ? 93 ? 86 ??1 分, 5 77 ? 83 ? 86 ? 87 ? 97 x乙 ? ? 86 ??2 分, 5
2

1 ?75 ? 86?2 ? ?85 ? 86 ?2 ? ?87 ? 86 ?2 ? ?90 ? 86?2 ? ?93 ? 86?2 ? 37.6 ??3 分, 5 1 2 2 2 2 2 2 s乙 ? ?77 ? 86 ? ? ?83 ? 86 ? ? ?86 ? 86 ? ? ?87 ? 86 ? ? ?97 ? 86 ? ? 42.4 ??4 分, 5 s甲 ?

?

?

?

?

因为 x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 ,所以派甲去更合适??5 分.
2 2

4 4 ,从而每次成绩高于 80 分的概率 p ? ??6 分, 5 5 4 ? 取值为 0,1,2,3, ? ~ (3 , ) ??7 分, 5 1 1 1 12 0 4 1 4 直接计算得 P(? ? 0) ? C3 ( ) 0 ( ) 3 ? , P(? ? 1) ? C3 ( )1 ( ) 2 ? , 5 5 125 5 5 125

⑵甲高于 80 分的频率为

理科数学

第 7 页 共 11 页

4 1 48 1 64 3 4 , P(? ? 3) ? C3 ( ) 3 ( ) 0 ? ??11 分,分布列为 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? 5 5 125 5 5 125

?
p

0
1 125

1
12 125

2
48 125

3
64 125

??12 分

所以, E? ? 0 ?

1 12 48 64 12 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

4 12 )??14 分(列式 1 分,计算 1 分) ? 5 5 1 ⒙⑴依题意, BE ? EC ? BC ? AB ? CD ??1 分,所以 ?ABE 是正三角形, 2

(或 E? ? np ? 3 ?

?AEB ? 60 0 ? ? 2 分 , 又 ?CED ?

1 ? (180 0 ? 120 0 ) ? 30 0 ? ? 3 分 , 所 以 2

?AED ? 90 0 , DE ? AE ??4 分,因为 AA1 ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,

所以 AA1 ? DE ??5 分,因为 AA1 ? AE ? A ,所以 DE ? 平面 A1 AE ??6 分, 因为 DE ? 平面 A1 DE ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ??7 分. ⑵取 BB1 的中点 F ,连接 EF 、 AF ??8 分,连接 B1C ,则 EF // B1C // A1 D ?? 9 分,所以 ?AEF 是异面直线 AE 与 A1 D 所成的角??10 分。因为 DE ? 3 ,
A1 E ? A1 A 2 ? AE 2 , BF 所以 A1 A ? 2 ??11 分, ?

2 ,AF ? EF ? 2

1 6 ?1 ? 2 2

??12 分, 所以 cos ?AEF ?

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 ? ??14 分 (列式计算各 1 分) . 2 ? AE ? EF 6

(方法二) A 为原点, A 且垂直于 BC 的直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴、AA1 以 过 所在直线为 z 建立右手系空间直角坐标系??1 分,设 AA1 ? a ( a ? 0 ) ,则
A(0 , 0 , 0) , D(0 , 2 , 0) , A1 (0 , 0 , a) , E (
3 1 , , 0) ??3 分. 2 2

? 3 1 m? n ?0 ?n1 ? AE ? ⑴设平面 A1 AE 的一个法向量为 n1 ? (m , n , p) ,则 ? 2 2 ?n ? AA ? ap ? 0 1 ? 1
??4 分, p ? 0 ,取 m ? 1 ,则 n ? ? 3 ,从而 n1 ? (1 , ? 3 , 0) ??5 分,同理可

理科数学

第 8 页 共 11 页

得平面 A1 DE 的一个法向量为 n2 ? ( 3 , 1 , 以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ??8 分. ⑵由 DE ? A1 E 即 (

2 ) ??7 分,直接计算知 n1 ? n2 ? 0 ,所 a

3 2 1 3 1 ) ? (2 ? ) 2 ? 0 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? a 2 ??9 分,解得 2 2 2 2

a ? 2 ??10 分。 AE ? (

3 1 , , 0) ??11 分, A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) ??12 分, 2 2 | AE ? A1 D | 6 ? 所以异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值 cos? ? ??14 分. 6 | AE | ? | A1 D |

a c F ⒚⑴依题意, (0 , 1) , (? 3 , 0) , 所以 b ? 1 , ? 3 ??2 分, ? b 2 ? c 2 ? 2 ?? B

c 3 ??4 分. ? a 2 ⑵ 0 ?|| PF | ? | PB ||?| BF | ,当且仅当 | PF |?| PB | 时, || PF | ? | PB ||? 0 ??5 分,

3 分,所以椭圆的离心率 e ?

当且仅当 P 是直线 BF 与椭圆 C 的交点时, PF | ? | PB ||?| BF | ??6 分, BF |? 2 , || | 所以 || PF | ? | PB || 的取值范围是 [0 , 2] ??7 分。 设 P(m , n) ,由 | PF |?| PB | 得 3m ? n ? 1 ? 0 ??9 分,
? 8 3 ?m2 2 ?m ? ? ? n ?1 ?m ? 0 ? ? 13 ??11 分, 由? 4 ??10 分,解得 ? 或? n ? ?1 ? 11 ? ? 3m ? n ? 1 ? 0 n? ? ? 13 ?
8 3 11 , ) ??12 分. 13 13 ⒛⑴ a2 ? 500 ? (1 ? 20%) ? (1000 ? 500 ) ? 30% ? 550 ??2 分,

所求点 P 为 P(0 , ? 1) 和 P(?

a3 ? 550 ? (1 ? 20%) ? (1000 ? 550 ) ? 30% ? 575 ??4 分。

⑵ ?n ? N ? , n ? 1, a n ? a n?1 ? (1 ? 20%) ? bn?1 ? 30% ??5 分;
? a n?1 ? (1 ? 20%) ? (1000 ? a n?1 ) ? 30% ? 1 a n?1 ? 300 ??7 分 2

所以 a n ? 600 ?

1 (a n?1 ? 600 ) ??9 分, 2 ?an ? 600? 是以 a1 ? 600 为首项, 1 为公比的等比数列??10 分, 2 1 1 a n ? 600 ? (a1 ? 600 ) ? n?1 ??11 分, a n ? 600 ? (a1 ? 600 ) ? n?1 ??12 分, 2 2

理科数学

第 9 页 共 11 页

随着时间推移,即 n 越来越大时,

1 2
n ?1

趋于 0 ??13 分,所以 (a1 ? 600 ) ?

1 2 n ?1

趋于 0 , a n 趋于 600 并稳定在 600 附近??14 分. 21.⑴依题意 ?x ? 0 ,kx ? b ? ln x 恒成立,所以 k ? 常数, 所以当 x 充分大时,ln x ? b , 从而 k ?
2 2

ln x ? b ??1 分,因为 k 、b 是 x

ln x ? b (用反证法亦可) ? 0 ??2 分。 x
2

k2 ?4 分。 kx ? b ? x 即 x ? kx ? b ? 0 恒成立, ? ? (?k ) ? 4b ? 0 ?3 分, b ? ? 4

因 为 kx ? b ? ln x 即 kx ? b ? ln x ? 0 恒 成 立 , 设 h( x) ? kx ? b ? ln x , 则
1 1 1 h / ( x) ? k ? ??5 分,由 h / ( x) ? 0 得 x ? ? 0 ,且 0 ? x ? 时, h / ( x) ? 0 , h(x) x k k

单调递减, x ?

1 时, h / ( x) ? 0 , h(x) 单调递增??7 分,所以 h(x) 的极小值从而 k

1 1 也是最小值为 h( ) ? 1 ? b ? ln ? 1 ? b ? ln k ??8 分, k k

1 1 因 为 kx ? b ? ln x ? 0 恒 成 立 , 所 以 h( ) ? 1 ? b ? ln ? 1 ? b ? ln k ? 0 , 即 k k

b ? ? ln k ? 1 ,从而 ? ln k ? 1 ? b ? ?

k2 ??9 分. 4

k2 k2 ? ln k ? 1 ,其中 k ? 0 ??10 分, ,从而 4 4 y k2 如图,根据幂函数与对数函数单调性, k 介于 y? 4 k2 曲线 y ? ln k ? 1 与 y ? 的两个交点的横坐标 4

⑵方法一,由⑴知 ? ln k ? 1 ? ?

之间??11 分,因为 k ? e 2 时,

?

1

k2 1 ? ? ln k ? 1 , 4 2

y ? ln k ? 1

k 2 e2 ? ? 2 ? ln k ? 1 ??13 分,所以, k ? e 时, 4 4

O

e

?

1 2

e

k

“e

?

1 2

? k ? e ”是“ ln x ? kx ? b ? x 2 ”成立的充分不必要条件??14 分.

理科数学

第 10 页 共 11 页

k2 k2 ,从而 ? ln k ? 1 ,其中 k ? 0 ??10 分,设 4 4 k2 1 k 2?k2 , p / (k ) ? ? ? ,解 p / (k ) ? 0 得 k ? 2 ??11 分, p(k ) ? ln k ? 1 ? k 2 2k 4 1 ? 1 / p( 2 ) ? ln 2 ? 1 ? ? 0 , 0 ? k ? 2 时 , p (k ) ? 0 , k ? e 2 ? (0 , 2 ) , 且 2

方法二,由⑴知 ? ln k ? 1 ? ?

p(e 2 ) ? 0 ??12 分; k ? 2 时, p / (k ) ? 0 , k ? e ? 2 ,且 p(e) ? 0 ??13 分;
所以 ?k ? (e
? 1 2

?

1

, e) ,? ln k ? 1 ? ?

? k2 , “ e 2 ? k ? e ” “ ln x ? kx ? b ? x 2 ” 从而 是 4

1

成立的充分不必要条件??14 分.

理科数学

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