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高二下文科数学期末复习题及答案_图文

福建省泉州市 2009-2010 学年度高二下学期期末复习题文科数学

一、选择题。(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,

有一项是符合题目要求的。)

1.在复平面内,复数 z ? sin 2 ? i cos 2对应的点位于

()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知 a ≥ 0,b≥ 0 ,且 a ? b ? 2 ,则

()

A. ab ≤ 1 2

B. ab ≥ 1 2

C. a2 ? b2 ≥ 2

3.设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a 等于

A.2

B.1

C.0

4.设函数 f (x) ? x ?1 ? x ? a 的图象关于直线 x ?1

D. a2 ? b2 ≤3

D.-1

()

对称,则 a 的值为

()

A.3

B.2

C.1

D.-1

5.下面的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这

三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填

入下面四个选项中的

()

A. c ? x

B. x ? c

C. c ? b

D. b ? c

6.已知函数

f

(x)

?

?x ? 2, x ≤ 0, ???x ? 2, x ? 0,

则不等式

f (x) ≥ x2 的解集为

()

A.[-1,1] C.[-2,1]

B.[-2,2] D.[-1,2]

7.已知平面 a ? 平面 ? , a ? ? l ,点 A?a , A?l ,

直线 AB∥l ,直线 AC ? l ,直线 m∥? , m∥? ,则下列四种位置关系中,不.一.定.成立的


A. AB∥m

B. AC ? m

()
C. AB∥?

D. AC ? ?

8.设函数 f (x) ? 2x ? 1 ?1(x ? 0) ,则 f (x) x

A.有最大值

B.有最小值

C.是增函数

9.设直线 m 与平面? 相交但不.垂直,则下列说法中正确的是

A.在平面? 内有且只有一条直线与直线 m 垂直

B.过直线 m 有且只有一个平面与平面? 垂直

C.过直线 m 垂直的直线不.可能与平面? 平行

()
D.是减函数 ()

D.与直线 m 平行的平面不.可能与平面? 垂直

10.在平面直角坐标系

xOy

中,满足不等式组

?? ?

x



y

的点 (x, y) 的集合用阴影表示为下列

?? x ? 1

图中的

()

11.如图,模块①? ⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成,模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方

体构成.现从模块①? ⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大

正方体,则下列选择方案中,能够完成任务的为

()

A.模块①,②,⑤ B.模块①,③,⑤ C.模块②,④,⑤ D.模块③,④,⑤
12.若 P ? a ? a ? 7,Q ? a ? 3 ? a ? 4(a ≥ 0), 则 P、Q 的大小关系是 ( )

A. P ? Q

B. P ? Q

C. P ? Q

D.由 a 的取值确定

二、填空题。(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分,把正确答案写在题中横线上。)

13.设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 2y ? 3z ? 0 ,则 y2 的最小值是



xz

14.阅读下图的程序框图.若输入 m ? 4, n ? 3 ,则

输出 a ?

, i?

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”

或“:=”)

15.已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x2 ? x? | a ? 1 | ? | a |? 0 4

有实根,则 a 的取值范围是 .

16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设三角形 ABC 的顶点分别为

第 14 题图

A(0, a), B(b, 0),C(c, 0) ;点 P(o, p) 为线段 AO 上的一点

(异于端点),这里 a,b,c, p 为非零常数,设直线 BP、CP 分别

与 边 AC 、 AB 交 于 点 E 、 F . 某 同 学 已 正 确 求 得 直 线 OE 的 方 程 :

(1 ? 1)x ? ( 1 ? 1 ) y ? 0 .请你完成直线 OF 的方程: bc pa

(

)x?(1 ? 1)y ? 0.

pa

三、解答题。(本大题共 6 小题,共 74 分,解答

应写出必要的文字说明、证明过程和演算步

骤。)

17.(12 分)已知函数 f (x) ? x ?8 ? x ? 4 .

(1)作出函数 y ? f (x) 的图像.

(2)解不等式 x ?8 ? x ? 4 ? 2 .

18.(12 分)设 a,b, c 为正实数,

求证:

1 a3

?

1 b3

?

1 c3

?

abc ≥2

3. .

19.(12 分)如图,平面 ABEF ? ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 90 °,BC

1
AD,BE

1 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点.

2

2

(1)证明四边形 BCHG 是平行四边行.

(2)C、D、E、F 四点是否共面为什么

(3)设 AB=BE,证明平面 ADE ? 平面 CDE.

20.(12 分)请先阅读:在等式 cos 2x ? 2 cos2 x ?1(x ? R)

的两

边对 x 求导
(cos 2x)? ? (2 cos2 x ?1)? . 由 求 导 法 则 得

(?sin 2x) ? 2 ? 4cos x ?(?sin x), 化简后得等式 sin 2x ? 2sinx cosx利用上述想法(或

者其他方法),试由等式

(1 ?

x)n

? Cn0

? Cn1x ? Cn2 x2

?



?

C n?1 n

x

n?1

? Cnn xn (x ? R, 整数n ≥ 2),

n
? 证明 n[(1? x)n?1 ?1] ? kCnk xk?1 k ?2

? ? ? ? 21.(12 分)在数列 an , bn 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1, bn?1 成等

比数列 (n ? N*) .

(1)求 a2 , a3, a4 及 b2 , b3, b4 ,由此猜测?an?,?bn? 的通项公式,并证明你的结论;

(2)证明 1 ? 1 ? …? 1 ? 5 .

a1 ? b1 a2 ? b2

an ? bn 12

22.(14 分)设 f (x) 是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意 a,b ?[?1,1] ,当 a ? b ? 0 时,都有

f (a) ? f (b) ? 0 . a?b
(1) 若 a ? b ,试比较 f (a) 与 f (b) 的大小;

(2) 解不等式 f (x ? 1) ? f (x ? 1);

2

4

(3) 如果 g(x) ? f (x ? c) 和 h(x) ? f (x ? c2 ) 这两个函数的定义域的交集为空集,求 c 的取值范围.

参考答案

一. 1.D 2.C 3.D 4.A 5.A 6.A 7.D 8.A 9.B 10.C 11.A

12.C

二. 13. 3 14. 12; 3 15. 0 ≤ a ≤ 1 16. 1 ? 1

4

cb

?4, x ≤ 4, 三. 17.解:(1) f (x) ? ???2x ?12, 4 ? x ≤ 8,
???4, x ? 8.

图像如下:

(2)不等式 x ?8 ? x ? 4 ? 2 ,即 f (x) ? 2 ,由 ?2x ?12 ? 2 得 x ? 5 .

由函数 f (x) 图像可知,原不等式的解集为 (??,5) .

18.证明:因为

a,

b,

c

为正实数,由平均不等式可得

1 a3

?

1 b3

?

1 c3



3

3

1 a3

?

1 b3

?

1 c3

,



1 a3

?

1 b3

?

1 c3



3 abc



所以

1 a3

?

1 b3

?

1 c3

?

abc ≥

3 abc

?

abc

而 3 ? abc ≥ 2 3 ? abc ? 2 3,

abc

abc

所以

1 a3

?

1 b3

?

1 c3

?

abc ≥2

3.

19.(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,所以 GH

1 AD. 2

又 BC 1 AD,故 GH BC. 2

所以四边形 BCHG 是平行四边形.

(2)C、D、F、E 四点共面.理由如下:

由 BE 1 AF,G 是 FA 的中点知,BE GF,所以 EF//BG . 2

由(1)知 BG//CH,所以 EF//CH,故 EC、FH 共面.

又点 D 在直线 FH 上,

所以 C、D、F、E 四点共面.

(3)证明:连结 EG.由 AB=BE,BE

AG 及 ?BAG ? 90 知 ABEG 是正方形,
故 BG ? EA .由题设知,FA、AD、AB 两两垂直,故 AD ? 平面 FABE, 因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影.根据三垂线定理,BG ? ED. 又 ED∩EA ? E ,所以 BG ? 平面 ADE.

由(1)知, CH//BG,所以 CH ? 平面 ADE. 由(2)知 F ?平面 CDE,故 CH ? 平面 CDE,得平面 ADE ? 平面 CDE. 20.证明:在等式 (1? x)n ? Cn0 ? Cn1x ? Cn2 x2 ? … ? Cnn?1xn?1 ? Cnn xn 两边对 x 求导得
n(1? x)n?1 ? Cn1 ? 2Cn2 x ? … ? (n ?1)Cnn?1xn-2 ? nCnn xn?1 .

n
? 移项得 n[(1? x)n?1 ?1] ? kCnk xk?1 k ?2

(*)

21.解:(1)由条件得 2bn

?

an

?

an

?1

,

a2 n?1

?

bnbn?1 .

由此可得 a2 ? 6, b2 ? 9, a3 ? 12,b3 ? 16, a4 ? 20, b4 ? 25

猜测 an ? n(n ?1),bn ? (n ?1)2
用数学归纳法证明:
①当 n ?1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n ? k 时,结论成立,即 ak ? k(k ?1),bk ? (k ?1)2 ,
那么当 n ? k ?1时, 所以当 n ? k ?1时,结论也成立. 由①②,可知 an ? n(n ?1), bn ? (n ?1) 2 对一切正整数都成立

(2) 1 ? 1 ? 5 . a1 ? b1 6 12

n≥ 2 时,由(1)知 an ? bn ? (n ?1)(2n ?1) ? 2(n ?1)n .

故 1 ? 1 ?…? 1 ? 1 ? 1[ 1 ? 1 ?…? 1 ]

a1 ? b1 a2 ? b2

an ? bn 6 2 2? 3 3? 4

n(n ?1)

? 1 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 ? 1 ? 5 . 6 2 2 n ?1 6 4 12
综上,原不等式成立.

22.解:(1)任取 ?1≤ x1 ? x2 ≤1,则

? f (x2 ) ? f (x1) ,即 f (x) 在[-1,1]上是增函数.

当 ?1≤b ? a ≤1时, f (a) ? f (b) .

(2) ∵ f (x) 在[-1,1]上是增函数. ?不等式 f (x ? 1) ? f (x ? 1)

2

4

???1≤ ?

x

?

1 2

≤1

?

???1≤ ?

x

?

1 4

≤1

?

? ?

x

?

?

1 2



x



5 4

? ?



?

? ??

x

?

1 2

?

x

?

1 4

(3)设 g(x) 的定义域为 P, h(x) 的定义域为 Q.

则 P ? ?x ?1≤ x ? c ≤1? ? ?x c ?1≤ x ≤1? c?,
? ? ? ? Q ? x ?1≤ x ? c2 ≤1 ? x c2 ?1≤ x ≤1? c2 .

若 P∩Q ? ? ,必有 c ?1 ? c2 ?1或 c2 ?1 ? c ?1.

即 c2 ? c ? 2 ? 0 ? c ? 2 或 c ? ?1 故 c ?(??, ?1)∪(2, ??)


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