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2.2.1 双曲线及其标准方程(第1课时)教案

高中数学教案 选修 1-1

制作:杜强

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2.2.1 双曲线及其标准方程(第 1 课时)教案
一 教学目标 1.熟练掌握双曲线的定义。 2.熟练掌握双曲线的标准方程,会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方 程。 二 教学重难点:双曲线的定义及标准方程 教学重难点:双曲线的定义及标准方程的推导 三 教学方法:直观发现 四 教学手段:采用多媒体辅助教学,用 flash 动画演示画双曲线。引导学生进行思考,调动学 生学习的积极性。 五 教学过程 (一) 复习引入 1.椭圆的定义:与两个定点距离的和为非零常数(大于两个定点的距离)的点的轨迹是椭圆。 (提出问题)那么,与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么? 2.演示双曲线的形成。请同学们观察分析双曲线的特征,给出定义。 (二) 双曲线的概念 1 定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双 曲线。 2 这两个定点, F1,F2 叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离 F1 F2 叫做焦距。 3 说明,常数小于 F1 F2 ,并思考常数等于 F1 F2 是什么轨迹,小于 F1 F2 是什么轨迹,当常数 等于零时,是什么轨迹。 (课件展示生活中双曲线) (三) 双曲线的标准方程 1.(1)建系:以 F , F2 所在的直线为 X 轴,以 F , F2 的中点为坐标原点建立直角坐标系。
1

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(2)设点: 设 M(x,y)为双曲线上的任意一点,双曲线的焦距是 2c (c>0),则:

F1 (?c,0), F2 (c,0) ,又设 M 与 F ,F 距离之差的绝对值等于 2a (常数)
1 2

(3)列式: P ? P MF1 ? MF 2 ? ?2a

?

?
2 2

2 2 2 2 (4)代坐标: ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a ,

(5)化简: (c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ) ,由定义 2a ? 2c ,? c ? a ? 0 令

c 2 ? a 2 ? b 2 代入,得: b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,

x2 y2 两边同除 a b 得 2 ? 2 ? 1 ,此即为双曲线的标准方程。 a b
2 2

它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,其中 c ? a ? b
2 2

2

若坐标系的选取不同,可得到双曲线不同的方程 若焦点在 y 轴上,则 焦点是 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,将 x,y 互换得到 此也是双曲线的标准方程。 2.总结双曲线的标准方程及特点:看 x 2 , y 2 的系数那个为正,焦点就在那个轴上 (四) 例题讲解与练习 例 1(参考课本 P47 例 )已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动 点 P 的轨迹方程.

y2 x2 ? ? 1, a2 b2

解:因 F1 F2 ? 10 ? 6, PF1 ? PF2 ? 6 ,有双曲线的定义知 2a ? 6,2c ? 10

x2 y2 F1 (?5,0) F2 (5,0) 可设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 a b
? 2a ? 6,2c ? 10 ,? a ? 3, c ? 5
所以点 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 9 16
2

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变式:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解:∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支(右支) ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0) ∴可设双曲线方程为:

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0). a 2 b2

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. (五) 课堂练习:

2

2

2

所以点 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 9 16

x2 y2 ? ?1 1、a=4,b=3 ,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 16 9 .

y2 x2 ? ?1 2、焦点为(0, -6),(0,6),经过点(2,-5)的双曲线的标准方程是 20 16 .
3、设双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到(5,0)的距离是 15,则 P 到(-5,0)的距离是 7 或 23 . 16 9

4、如果方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是 {m|m>-1 或 m<-2} . 2 ? m m ?1

(六)课堂小结 1.定义:平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹.

2 标准方程

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ( a ? 0 , b ? 0 ) , a2 b2 a2 b2

3.焦点: F1 (?c,0), F2 (c,0) 4. a, b, c 的关系: c ? a ? b
2 2

F1 (0,?c), F2 (0, c)
2

5.由方程定焦点:椭 圆看大小; 双曲线看符号

(七) 作业布置 课本 54 页第 2 题

3

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板书设计 2.2.1 1 定义 2 双曲线的标准方程 (1) 推导 (2) 对比 双曲线及其标准方程 3 例题讲解

学生课后总结:双曲线与椭圆的区别

曲 线 焦 点 位 置

椭圆

双曲线

焦点在 x 轴

焦点在 y 轴

焦点在 x 轴

焦点在 y 轴

定 义

MF1 ? MF2 ? 2a
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

MF1 ? MF 2 ? 2a

方 程

y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ? ? 1( a ? 0, b ? 0) a 2 b2 a 2 b2

图 形

焦 点

F (?c,0)

F (0,?c)
a ? 0 ,b ? 0,

a.b.c 的关系

a?b?0

a2 ? b2 ? c2

但 a 不一定大于 b

c2 ? a2 ? b2

4


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