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广东省汕头市潮南区2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

2016-2017 学年广东省汕头市潮南区高二(上)期末试卷 数学(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. “|x﹣1|<2 成立”是“x(x﹣3)<0 成立”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知函数 f ( x) ?

1 x ?x (e ? e ) ,则 f(x)的图象( 2



A.关于原点对称 B.关于 y 轴对称 C.关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 3.已知某几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的 体积为( )

A.24﹣π

B.24﹣

C.24﹣

D.24﹣ )

4.已知两条直线 y=ax﹣2 和 3x﹣(a+2)y+1=0 互相平行,则 a 等于( A.﹣1 或 3 B.﹣1 或 3 C.1 或 3 5.为了得到函数 y=sin(2x+ A.向左平移 C.向左平移 个单位长度 个单位长度 D.1 或﹣3

)的图象,只需把函数 y=sin(2x+ B.向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度

)的图象(



6.已知变量 x,y 满足

,则 z=log4(2x+y+4)的最大值为(



A.

B.1

C.

D.2 )

7. 已知圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相切, 圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为 (
1

A. (x+1)2+(y﹣1)2=2 C. (x﹣1)2+(y﹣1)2=2

B. (x﹣1)2+(y+1)2=2 D. (x+1)2+(y+1)2=2 )

8.如图所示的算法流程图中,第 3 个输出的数是(

A.1

B.2

C.

D.

9.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则 S10 等于( A.18 ) B.24 C.60 D.90

10.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机抽取一个点 Q, 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( )

A.

B.

C.

D.

11.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 1,过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线,垂 足为 M, 若△AMF 与△AOF (其中 O 为坐标原点) 的面积之比为 3: 1, 则点 A 的坐标为 ( A. (2,2 ) B. (4,4) C. (4,±4) D. (2,±2 ) , )

12.用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数,定义 A*B= 若 A={1,2},B={x||x +ax+1|=1},且 A*B=1,由 a 的所有可能值构成的集合是 S,那么 C (S)等于( ) A.4 B.3 C. 2 D.1
2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知命题 p:? x∈R,x2+x﹣1<0 则命题¬p 是
2



14.函数 y=(tanx﹣1)cos2x 的最大值是

. = .

15.已知△ABC 中 AC=4,AB=2 若 G 为△ABC 的重心,则

16.已知平面 α,β,γ,直线 l,m 满足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么 ①m⊥β; ②l⊥α; ③β⊥γ; ④α⊥β.

可由上述条件可推出的结论有

(请将你认为正确的结论的序号都填上) .

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,分别求 a 和 c 的值. 18. (12 分)已知函数,f(x)= ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f(an) (n∈N )
*

a?cosB.

(I)求证数列{

}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(II)记 Sn=a1a2+a2a3+..anan+1,求 Sn. 19. (12 分)甲、乙二名射击运动员参加 2011 年广州举行亚运会的预选赛,他们分别射击 了 4 次,成绩如下表(单位:环) 甲 乙 5 6 6 7 9 8 10 9

(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (2)现要从中选派一人参加决赛,你认为选派哪位运动员参加比较合适?请说明理由. 20. (12 分)如图,已知平面 BCC1B1 是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴截面)BC 是圆柱底面 的直径,O 为底面圆心,E 为母线 CC1 的中点,已知 AB=AC=AA1=4 (1)求证:B1O⊥平面 AEO (2)求二面角 B1﹣AE﹣O 的余弦值.

3

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,椭圆短轴的一个端点

与两个焦点构成的三角形的面积为 (1)求椭圆 C 的方程;



(2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交于 A、B 两点,点 M(﹣ ,0) ,求证: 为定值. 22. (12 分)已知集合 D={(x1,x2)|x1>0,x2>0,x1+x2=k},其中 k 为正常数 (1)设 u=x1x2,求 u 的取值范围 (2)求证:当 k≥1 时,不等式( D 恒成立 (3)求使不等式( 的范围. ﹣x1) ( ﹣x2)≥( ﹣x1) ( ﹣x2)≤(

?

) 对任意(x1,x2)∈

2

2 ) 对任意(x1,x2)∈D 恒成立的 k

潮南区 2016--2017 学年度第一学期期末普通高中教学质量 监测

高二理科数学参考答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1--5: BACDC 6--10: ACBCD 11--12:DB

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?x ? R, x ? x ?1 ? 0
2

14.

2 -1 2

15. 4

16.②④

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (1) 由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ------- ------2 ? b sin A ? 3a cos B , 分 即 得 tan B ? -----5 分 ( 2 ) ? sin C ? 2sin A , 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , --------------------------------4

3 , ?B ?

?
3

.--------------------------------------------------

-----7 分 由 余 弦 定 理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos ----9 分 解 得

?
3

, ----------------

a? 3



? c ? 2a ? 2 3 .-----------------------------------------------------10 分
18. 解 : ( 1 ) 由 已 知 得

an?1 ?

an 3an ? 1



1 1 ? ?3 an?1 an

-----------------------------------2 分 ∴数列 ? ----3 分 所 以

?1? ? 是首项为 1,公差 3 的等差数列. ------------------------------------? an ?

1 ? 1? n ? an

? 3 n?

(



1



)

1 an ? 3 3n ? 2

2

(n ? N * ) -------------------------------5 分
(2) ∵

an an?1 ?

1 1 1 1 ? ( ? ) -----------------------------------7 分 (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1 1 1 1 ? ? ?? ? ----------1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

Sn ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ??? an ? an?1 =
---9 分 =

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 n (1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? ) ? ? (1 ? )? -----------? 3? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 ? 3 3n ? 1 3n ? 1

---12 分

19. 解: (1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为 y ,用数对 ? x, y ? 表示基本事件 从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,则共有 (5,6),(5,7),(5,8),(5,9), (6, 6), (6, 7),

(6,8),(6,9),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10, 6),(10,7),(10,8),(10,9)

16







5

----------------2 分 记 A ? {甲的成绩比乙高} 则

A





( 9 ,

6 ) ,

( 9 ,

7 ) ,

7 , 种 结0果 ( 1 9 0 ,, 有 8 9 )) ( 1 ,

6 ) ,

( 1 0

---------------------4 分 ∴

P ? A? ?

7 16

--------------------------------------------------------------------6 分 (2) 甲的成绩平均数 x1 ? 乙的成绩平均数 x2 ?
2 甲的成绩方差 S1 ?

5 ? 6 ? 9 ? 10 ? 7.5 4

6?7?8?9 ? 7.5 4

(5 ? 7.5)2 ? (6 ? 7.5)2 ? (9 ? 7.5)2 ? (10 ? 7.5)2 ? 4.25 4

2




2




2 5? . ---------------10 分



S ?
2 2

( ?

6

? 4

7

?

. ?1

2

) 2

?

5

(

∵ x1 ? x2 , S12

2 ∴ 选 派 乙 运 动 员 参 加 决 赛 比 较 合 适 ? S2

-----------------------------12 分

20. 解:依题意可知, AA1 ? 平面 ABC,∠ BAC =90°, 方法 1:空间向量法,如图建立空间直角坐标系 o ? xyz ,因为 AB ? AC ? AA1 =4, 则

A(0,0,0), B(4,0,0) E(0, 4, 2), O(2, 2,0), B1(4,0, 4) -----------------------------------2 分 (1) B1O ? (?2 , 2, ? 4), EO ? (2, ? 2, ? 2) , AO ? (2, 2,0) --------------3 分

????

??? ?

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? B1O?EO ? (?2) ? 2?2 ? (?2) ? (?4) ? (?2) ? 0 ,∴ B1O ? EO ,∴ B1O ? EO ???? ???? ???? ???? ∴ B1O ? AO , ∴ B1O?AO ? (?2) ? 2?2 ? 2 ? (?4) ? 0?0 ,
B1O ? AO --------------5 分


AO ? EO ? O,

AO, EO ?





AEO



B1O







AEO --------------------------6 分
(2) 由 (1) 知, 平面 AEO 的法向量为 B1O ? (?2, 2, ? 4) --------------------------------7

6

分 设平面 B1AE 的法向量为

? ? ??? ? ? AE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ? ?n , 即? n ? ( x,y,z ),∴? ? ???? ? B1 A ? 0 ?x ? z ? 0 ? ?n ? 令 x=2,则 z ? ?2,y ? 1 ,∴z ? (2, 1 , ? 2) ----------------------10 分 ???? ? n ? BO 6 6 ? ???? ???? ? ∴ cos ? n, B1O ? ? ? 1 ? 6 |n? | | B1O | 9? 24
∴二面角 B1—AE—F 的余弦值为 分 方法 2:几何法 (1)∵ AB ? AC ,O 为 BC 中点 ∴BC⊥AO----------------------------------------------------------------1 分 又∵B1B⊥平面 ABC ∴ B1 B ? AO ∵ B1 B ? BC ? B ∴ AO ? 平面B1 BCC1 ∴B1O⊥AO --------------------------------------------------------------3 分 又∵ AB =AC= AA , EO ? 12, B1 E ? 36 1 ? 4 ,则 B1O ? 24
2 2 2

6 6

-----------------------------------------12

∴ B1O2 ? EO2 ? B1E 2 ∴B1O⊥EO-------------------------------------------------------------5 分 ∵ EO ? AO ? O ∴ B1O ⊥平面 AEO ------------------------------------------------------6 分 (2)过 O 做 OM⊥AE 于点 M,连接 B1M, -----------------------------------------7 分 由(1)知 B1O⊥平面 AEO ∴ B1O ? AE ∵ OM ? B1O ? O ∴ AE ? 平面B1OM ∴AE⊥B1M ∴ ∠ B1MO 为 二 面 角 B1—AE—O 的 平 面 角 ,

7

------------------------------------------------9 分 由(1)知 AO ? 平面B1 BCC1 ∴EO⊥AO 在 Rt△AEO 中, OM ? AE ? AO ? OE ∴ OM ?

2 30 , 5

在 Rt△B1OM 中,∠B1OM=90°

B1O ? 2 6 , B1 M ? 24 ?
∴ cos?B1 MO ?

24 12 ? 5 5 5

OM 6 ? B1 M 6
6 ----------------------------- -------------12 6

∴二面角 B1—AE—O 的余弦值为 分

21. 解 : ( 1 ) 因 为 --------------------2 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 满 足 a 2 ? b2 ? a 2 b2

2 c,

c 6 ? a 3

5 x2 y 2 1 5 2 2 2 ? ?1 ,解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? 5 3 5 2 3 3
-----------------------4 分 (2)将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y 2 ? ? 1 中得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 5 5 3

-----------------6 分

设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,由根与系数的关系得

x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 1 ,

x1 x2 ?
所以

3k 2 ? 5 3k 2 ? 1 -------7 分

???? ???? 7 7 7 7 MA ? MB ? ( x1 ? , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ---------------------8 分 3 3 3 3

8

7 7 7 49 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k2 3 3 3 9
-------10 分

? (1 ? k 2 )
--12 分

4 3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 2 2 ? ( ? k )( ? ) ? ? k ? ? ? k 2 ? -----2 2 2 9 3k ? 1 3 3k ? 1 9 3k ? 1 9

x1 ? x2 2 k 2 k ) ? 22.(1) x1 x2 ? ( ,当且仅当 x1 ? x2 ? 时等号成立, 2 2 4
故 u 的取值范围为 (0,

k2 ] .--------------------------------------------2 分 4

(2) 变形,得 (

x x 1 1 1 ? x1 )( ? x2 ) ? ? x1 x2 ? 1 ? 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
.

? x1 x2 ?

2 x2 ? x2 1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? 1 ? x1 x2 ? ?2?u? ?2 x1 x2 x1 x2 x1x2 u

--------------------------------4 分 由0 ? u ?

k2 2 ,又 k ? 1 , k ? 1 ? 0 , 4
k 2 ?1 k2 ? 2 在 (0, ] 上是增函数-------------------6 分 u 4

∴由定义法可得 f (u ) ? u ?

k 2 ?1 k 2 k 2 ?1 k2 4 2 k 1 1 ?2 ? 所以 ( ? x1 )( ? x2 ) ? u ? ? 2 ?2? ? 2 ? 2 ? ( ? )2 . k u 4 4 k k 2 x1 x2 4
即当 k ? 1 时不等式 (

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 成立. x1 x2 2 k
2

-----------7 分

?1 ?? 1 ? ?k 2? x1 x2 4 k 2 1 ? ? ? ? x ? x ? ? (3) ? ? ? x x ? ? ? ? ?2 ? ? 1 2 1 2 ?x ?? x ? x1 x2 x2 x1 k 2 4 ? 1 ?? 2 ? ?2 k?

? 1 ? k 2 ? 4 x1 x2 k 2 ? 4 x1 x2 ?x1 ? x2 ?2 ? ? x1 x2 4 ? ? k2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? x x ? ? ? 2 ? 1 2? 2 ? ? 4 ?x x ?x ? ? k2x x ? 4 x1 x2 x k ? ? 2 1 ? 1 2 ? ? ? 1 2
因为x1 ? x2 ? k , 所以k 2 ? 4x1 x2 ? ?x1 ? x2 ?
2

9

?1 ?? 1 ? ?k 2? ? ? ? 所以? ? x ? x 1 2 ?x ?? x ???2 ? k ? ? ? 1 ?? 2 ? ? ? k 2 x1 x ? 4 ? x1 x 2

2

?x1 ? x2 ?2 ?x1 ? x2 ?2 ?x1 ? x2 ?2
------------------------------10 分
2

2 ? x1 ? x2 ? ?4 - k 2 x1 x2 - 4k 2 ? ?

4k 2 x1 x2

要使不等式 ? ?

?1 ?? 1 ? ?k 2? ? ? ? x1 ? ? x ? ? ? ? 恒成立,只需满足 4 - k 2 x1 x2 - 4k 2 ? 0 恒成立 2 ? ? ? ? x1 ?? x 2 ? ?2 k?

即 x1 x 2 ?

4 - 4k 2 k2 0 ? x x ? 恒成立 , 由( 1 )知 1 2 4 k2
5?2
----------12 分

所以

k 2 4 - 4k 2 4 2 ? ,即 k ? 16k ? 16 ? 0 ,解得 0 ? k ? 2 4 k2

10


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