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必修3中几何概型的典型题型


必修3中几何概型的典型题型
彭彤彬 一、长度比(包括弧长比):
如:1、A、P分别是一圆上的定点和一动点,求AP线段长超过此圆内接正三角形的边长 的概率。 作圆内接等边三角形ABC,可知满足条件的点落在劣弧BC上,故概率等于弧长比, 等于 1/3。 2、 P为三角形ABC的边BC上任一点, 求使三角形APC的面积大于三角形ABC 的面积的三分之一的概率。 取BC边靠近C点的三等分点M, 则满足条件的P点组成线段AM, 故概率等于长度比, 等于 2/3。

二、角度比(转化为角所在区间长度比):
如: 一被三等分成三个相等的扇形的质地均匀的圆盘, 被过圆心的轴固定。 现用力转动圆盘, 求从圆心指向外的一固定指针落在其中指定的一个扇形内的概率。 这个题中可设指针与圆中的某个扇形的一边所在的半径为始边, 指针所在的射线为终边 形成一个角。将圆盘转动的整圈数去掉,只考虑最后不大于一圈的情况,指针可能落在这最 后一周角内的任意位置,其角度分布区间为[0,360](单位为度),但要指针落在其中 一个扇形中,其对应角范围如[120,240](单位为度),则所求的概率为(240- 120)/(360-0)=1/3。

三、面积比:
如:1、一组平行线,任两相邻的两条相距3cm,现向其所在平面任投一枚半径为1cm 的 硬币,求硬币与平行线不接触的概率。 先简化为只有两条平行线,投的硬币所在圆心落在这两条线围成的条形区域中。 现要求不与两线接触,则圆心到两线的距离应试大于 1cm,故圆心应落在两线中间的 条形区域中加两条与它们平等行的直线且将已知和区域等分成三等份的中间的一个区域中, 故所求概率等于面积比,等于 1/3。 2、 向一三角形ABC内任意投一点P, 求三角形PBC的面积小于等于三角形ABC 面积一半的概率。 由于两三角形同底BC, 故只要求三角形PBC的高小于等于三角形ABC的相应高的 一半, 即P点到BC的距离小于等于原高的一半, 故P点组成三角形ABC内与BC平行的 一条中位线与BC边之间的部分。故概率等于面积比,等于 3/4。 3、两人约定在某处会面,每人到某处的时间都在10到11点之间,约定先到的在那 里等待10分钟,然后离去。问两人能会面的概率。 解答方法见课本。答案:11/36。

4、长为 a 的线段被随机的两点分成三段,求此三段能组成三角形有概率。 解答用上一题的方法步骤,可得结论为:1/4。

四、体积比:
如:在正三棱锥P-ABC内任取一点M,则点M落在其内切圆内的概率。 这个问题中概率等于体积比。

五:随机摸拟应用题:
如:在某一区域内任取一点,求此点恰在已知区域内的特定区域内的长度(面积或体积)。 解:用机器产生(0,1)的随机数,再用 y=kx+m 变换到相应区间,去得到在已知区 域内的N个点的坐标,数出落在特定区域内的点数为M,则所求的概率为P=M/N。 用这个原理可在已知一个大的区域的面积时,求其内的一个不规则区域的面积。

六、易错题辨析:
如:一个直角三角形ABC中,角C=90度,角A=30度,过C点随机地作与斜边 相交的射线,与斜边交点设为P点。求使得AP>AC的概率。 设想射线CP匀速绕C点转动,与AB的交点P在AB上的动不匀速--这是关键点。 可见射线AP是均匀分布在角C内的,但点P不均匀分布在AB上。故要求概率,不能用满 足条件时的P点组成的线段长除以AB的长去求。而应该如下去求: 因射线CP在角C内分布均匀,故角ACP的取值 a 在[0,90](单位为度)内取值 均匀,而可以求得满足条件AP>AC的 a 在[75,90](单位为度)内取值,故所求概 率为(90-75)/(90-0)=1/6。


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