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习题课6(微积分基本定理习题课)


微积分基本公式与基本定理







第一部分 内 容 要 点

1.定积分的定义

?

b a

f ( x )dx ? lim ? f (? k )?x k
d ?0 k ?1

n

2.定积分的几何意义: 3.定积分存在条件 1)必要条件: f ( x ) 在 [a , b] 上有界 2)充要条件:设 f ( x ) 在 [a , b] 上有界,则 f ( x ) 在 [a , b] 上可积 ? ?? ? 0, ?? ? 0, 当 d ? ? 时, ? ? k ?x k ? ?
k ?1 n

3)充分条件: 1) f ( x ) 在 [a , b] 上连续 2) f ( x ) 在 [a , b] 上只有有限个第一类间断点 3) f ( x ) 在 [a , b] 上单调

4. 定积分的性质
1) 不等式: (1) 若 f ( x ) ? g( x ), 则 ? a f ( x ) d x ? ? a g( x ) d x . (2) 若 f ( x ) 在 [a , b]上连续,则
b b

m(b ? a ) ? ? f ( x ) d x ? M (b ? a ).
a

b

(3)

?

b a

f ( x ) d x ? ? | f ( x ) |d x.
a

b

2) 中值定理:

(1) 若 f ( x ) 在 [a , b] 上连续,则

?a f ( x)d x ?

b

f (c )(b ? a )

a?c?b

(2) 若 f ( x ), g( x ) 在 [a , b] 上连续,g( x ) 不变号,

?

b a

f ( x ) g( x ) d x ? f (c )? g( x ) d x , a ? c ? b
a

b

5.微积分基本公式与基本定理
定理1(Newton-Leibniz公式)设 f ? R[a, b], F ( x ) 为

f ( x ) 在 [a , b] 上的一个原函数,则

?

b a

f ( x )dx ? F (b) ? F (a )

定理2(微积分学第一基本定理)设 f ? C[a, b] 则

( ? f ( t )dt )? ? f ( x )
a

x

定理3(微积分第二基本定理)设 F ( x ) 是 f ( x ) 在 I 上的 一个原函数,则 F ( x ) ? C 是 f ( x ) 在 I 上的所有原函数.

第二部分

例 题 选 讲

1 1 1 ? ? ?? ) 例1 求极限 lim ( 2 2 2 2 n?? n ?n n ? 2n n ?n 1n ( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ( n ? n) 例2 求极限 lim n?? n ? 2? n? ? ? sin sin ? sin ? n? n ? ?? n ?; ? lim 例3 求极限 n ? ? 1 1 ? n?1 ? n? n? ? ? ? 2 n ?
例4 求极限 例5 求极限
n??

lim ?0 x n 1 ? x 2 dx
n? p

1

lim ?n
n? ?

x 1 t2 dt ? 1 例6 求常数 a , b. 使 lim ? 0 x ? 0 bx ? sin x a?t

sin x dx x

例7 求极限 lim?
x?0

?0 sin x ?0

tan x

sin xdx tan xdx

.

例8

?e ? x , 设 f ( x) ? ? ? x,
x

x ? 0, x 求 F ( x ) ? ? f ( t )dt . 0 x?0

例9

求 F ( x ) ? ??1 (1 ? t )dt .
x ? ?1
y? x

例10 设 y ? y( x ) 由方程

e

? u2

du ? 0 所确定,求

d2y . 2 dx x ? 0
例11 设 f ? C[a, b], 且 f ( x ) ? 0, 证明:方程 x x 1 ?a f (t )dt ? ?b f (t ) dt ? 0 在 (a, b) 内有且仅有一个实根。 设 f ( x ) 为正值连续函数,试证当 x ? 0 时,
x

例12

tf ( t )dt ? 0 ? ( x) ? x ?0 f ( t )dt

单调增加。

例13

设 f ( x ) 在 [0,1] 上可导,且 f (1) ? 3?

2 3 1 3

f ( x) dx x

试证明存在 ? ? (0,1), 使 ?f ?(? ) ? f (? ).

例14

设 f ( x ), g( x ) 在 [a , b] 上连续,试证明

( ?a f ( x ) g( x )dx) ? ?a f ( x )dx ?a g 2 ( x )dx.
2 2

b

b

b

例15

设 f ( x ) 在 [0,1] 上有连续导数,且 f (0) ? 0,

试证明

?0

1

1 1 2 f ( x )dx ? ?0 f ? ( x )dx. 2
2


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