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求圆的切线方程一题三法


求圆的切线方程一题三法
在直线与圆的位置关系中,求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都 2 2 2 2 知道有这样的结论:过圆 x +y =r 上一点 A(x0,y0)的切线方程为 xx0+yy0=r ,在运用 这个结论的时候要注意些什么呢? 【例题】 求过点 A(2,1)向圆 x2+y2=4 所引的切线方程. 解法一:设切点为 B(x0,y0),则 x02+y02=4, 过 B 点的切线方程为 x0x+y0y=4. 又点 A(2,1)在切线上,∴ 2x0+y0=4.

将 x0,y0 的值代入方程 x0x+y0y=4 得所求切线方程为 x=2 或 3x+4y-10=0. 解法二: 设切线方程为 y-1=k(x-2),即 kx-y-2k+1=0. ∵ 圆心(0,0)到切线的距离是 2,



=2,解得 k=- . +1=0,即 3x+4y-10=0.

∴ 所求切线方程为- x-y+

当过点 A 的直线的斜率不存在时,方程为 x=2,也满足条件. 故所求圆的切线方程为 3x+4y-10=0 或 x=2. 解法三: 设切线方程为 y-1=k(x-2)与方程 x2+y2=4 联立,消去 y,整理得(k2 +1)x2-2k(2k-1)x+4k2-4k-3=0. ∵ 直线与圆相切,上述方程只能有一个解,即 Δ=0,即[2k(2k-1)]2-4× (k2+1) (4k2-4k-3)=0,解得 k=- . ∴ 所求切线方程为 y-1=- (x-2),即 3x+4y-10=0. 又过点 A(2,1)与 x 轴垂直的直线 x=2 也与圆相切. 故圆的切线方程为 3x+4y-10=0 或 x=2. 【误区警示】 大家做题的时候必须按照所述认真求解,稍有马虎就可能造成一些不必 要的错误.就本题而言,可能出现的错解 1:由过圆 x2+y2=r2 上一点 A(x0,y0)的切线方 程为 xx0+yy0=r2.从而直接得出切线方程为 2x+y=4.出现错误的原因是凭直观经验,误认 为点 A(2,1)在圆上;错解 2:设切线方程为 y-1=k(x-2),即 kx-y-2k+1=0,

由圆心(0,0)到切线的距离是 2 得, x-y+

=2,解得 k=- ,故所求切线方程为-

+1=0 即 3x+4y-10=0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全,漏掉了

直线斜率不存在的情况. 【知识小结】 求过定点的圆的切线问题,应首先判断该点是否在圆上,若点在圆 x2+

y2=r2 上,则可直接用公式 xx0+yy0=r2(A(x0,y0)为切点),类似的可以求出过圆(x -a)2+(y-b)2=r2 上一点 A(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;若 点在圆外,则所求切线必有两条,此时可设切线方程,用待定系数法求斜率 k.如果关于 k 的方程只有一个解,则另一条切线的斜率必不存在,应该将该直线补上.


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