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2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的坐标表示作业苏教版选修2_1

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3.1.4 空间向量的坐标表示

[基础达标] 1.在空间直角坐标系 O-xyz 中,下列说法正确的是__________(填序号). ①向量A→B与点 B 的坐标相同; ②向量A→B与点 A 的坐标相同; ③向量A→B与向量O→B的坐标相同; ④向量A→B的坐标与向量→OB-→OA的坐标相同. 解析:在同一空间直角坐标系中,某一向量的坐标是惟一确定的,都等于终点坐标减去 起点坐标. 答案:④

2.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为 1, 则A→B的坐标为__________,D→C1的坐标为__________,B→1D的坐标为__________.
解析:∵A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),B1(1,0,1),∴→AB= (1,0,0),D→C1=(1,0,1),B→1D=(-1,1,-1).
答案:(1,0,0) (1,0,1) (-1,1,-1)

3.已知向量 a,b 满足 2a+b=(-1,-4,3),a-2b=(2,4,-5),则 a=__________,

b=__________.

解析:设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 2a+b=(2x1+x2,2y1+y2,2z1+z2)= (-1,-4,3),a-2b=(x1-2x2,y1-2y2,z1-2z2)=(2,4,-5),由坐标对应相等得 a =(0,-45,15),b=(-1,-152,153).

41

12 13

答案:(0,-5,5) (-1,- 5 , 5 )

4.已知 a=(1,-2,4),b=(1,0,3),c=(0,0,2).

则(1)a-(b+c)=________;(2)4a-b+2c=________.

解析:(1)∵b+c=(1,0,5),

∴a-(b+c)=(1,-2,4)-(1,0,5)=(0,-2,-1).

(2)4a-b+2c=(4,-8,16)-(1,0,3)+(0,0,4)

=(3,-8,17).

答案:(1)(0,-2,-1) (2)(3,-8,17)

5.已知 A(-1,2,7),B(-3,-10,-9),则向量12→AB的坐标为__________.

1

解析:12→AB=12×(-2,-12,-16)=(-1,-6,-8).

答案:(-1,-6,-8)

6.已知 A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若O→C=25A→B,则 C 的坐标是__________.

解析:O→C=25→AB=25×(-3,-2,-4)

=(-65,-45,-85).

648 答案:(-5,-5,-5)

7.若 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则 x=__________,y=

__________.

解析:a+2b=(1,2,-y)+2×(x,1,2)=(2x+1,4,4-y),2a-b=2×(1,2,

-y)-(x,1,2)=(2-x,3,-2y-2),

∵(a+2b)∥(2a-b),∴22x-+x1=43=-42-y-y 2,

∴x=12,y=-4.

答案:12 -4

8.如果三点 A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,则 a=__________,

b=__________.

解析:设→AB=λ A→C,由向量相等求得 a=3,b=2.

答案:3 2

9.已知 a=(2,3m+n,m-n),b=(1,m+2n,m+n+1).若(a+b)∥(a-b),求 m+n

的值.

解:a+b=(3,4m+3n,2m+1),

a-b=(1,2m-n,-2n-1).

∵(a+b)∥(a-b),

∴必存在实数 λ ,满足 a+b=λ (a-b),

即(3,4m+3n,2m+1)=λ (1,2m-n,-2n-1).

?? ??3=λ , ? ∴?4m+3n=λ (2m-n),解得

λ =3, m=-1,

?? ??2m+1=λ (-2n-1).

n=-13.

∴m+n=-43.

10.已知点 O,A,B,C 的坐标分别为(0,0,0),(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,

3).

(1)求点 D 的坐标,使→OD与→AB+→AC相等;

(2)求点 E 的坐标,使→OE=12(A→B-A→C).

解:(1)设点 D 的坐标为(x1,y1,z1), 则O→D=(x1,y1,z1). 易知→AB=(2,6,-3),A→C=(-4,3,1).

于是→AB+→AC=(-2,9,-2).

2

已知→OD与→AB+→AC相等,

所以→OD=→AB+→AC=(-2,9,-2).

则 x1=-2,y1=9,z1=-2, 即点 D 的坐标为(-2,9,-2).

(2)设点 E 的坐标为(x2,y2,z2),则→OE=(x2,y2,z2). 由A→B,A→C的坐标,得12(→AB-→AC)=(3,32,-2),

所以

x2=3,y2=32,z2=-2,即点

E

3 的坐标为(3,2,-2).

[能力提升]

1.在空间直角坐标系 O-xyz 中,已知 A(9,-3,4),B(9,2,1),则与线段 AB 平行

的坐标平面是__________.

解析:A→B=(0,5,-3),∴A→B∥平面 yOz.

答案:平面 yOz

2.已知向量 a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且 a,b 同向,则 x,y 的值分别

为________.

解析:由已知得 a∥b, x x2+y-2 y
∴1= 2 =3,

∴?????yx= 2+3yx-2=2x ②

① ,

把①代入②得:x2+x-2=0,

解之得:x=-2 或 x=1,

当 x=-2 时,y=-6,当 x=1 时 y=3.

当?????xy==--26时,b=(-2,-4,-6)=-2a,此时 a,b 反向,不合题意舍去. 当?????xy= =13时,b=(1,2,3)=a,此时 a,b 同向. ∴x=1,y=3.

答案:1,3

3.已知 A(-2,0,6)、B(3,1,12)、C(0,-3,7)、D(5,-2,13),求证:A、B、C、

D 四点共面.

证明:A→B=(5,1,6),A→C=(2,-3,1),A→D=(7,-2,7).

易得→AC与→AB不共线,假设存在一组有序实数(x,y)使A→D=x→AB+y→AC,

则(7,-2,7)=x(5,1,6)+y(2,-3,1).

??5x+2y=7, ∴?x-3y=-2,
??6x+y=7. ∴x=1,y=1.

∴A→D、A→B、A→C共面.

∴A、B、C、D 四点共面.

4.(创新题)

3

如图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为 ABC,已知 A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3,设点 O 是 AB 的中点,试建立适当 的空间直角坐标系,写出点 A、B、C、O 的坐标.
解:如图以 B1 为原点,以 B1C1、B1A1、B1B 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系;由直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截(截面为 ABC)及 AA1=4,BB1=2, CC1=3 得 A、B、C 的竖坐标分别是 4、2、3,而它们的横坐标和纵坐标分别与 A1、B1、C1 的 相同,结合 A1B1=B1C1=1 得 A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3);
因为 O 是 AB 的中点,故点 O 的竖坐标是AA1+2 BB1=62=3,而它的横坐标和纵坐标与 A1B1 的中点的横坐标和纵坐标相同,故 O(0,12,3).
4


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