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选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换_图文

解:

以接报中心为原点O,以BA方向为x轴,建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点, 则 A(1020,0), B(-1020,0), C(0,1020) 设 P ( x,y )为巨响发生点,由 B 、 C 同时听 到巨响声,得 |PC|=|PB| ,故 P 在 BC 的垂直平分 线PO上,PO的方程为y=-x,因A点比B点晚4s y 听到爆炸声, 故|PA|- |PB|=340×4=1360
B
P C

o

A

x

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
x y 双曲线 左支上, ? ? 1 2 2 a b
2 2

a ? 680 , c ? 1020 ? b ? c ? a ? 1020 ? 680 ? 5 ? 340
2 2 2 2 2 2 2 2

x y 故双曲线方程为 2 ? ? 1 ( x ? 0) 2 680 5 ? 340

用y=-x代入上式,得 x ? ?680 5, ∵|PA|>|PB|,

? x ? ?680 5 , y ? 680 5 , 即P(?680 5 ,680 5 ),故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10m 处.

根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则: (1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点;

(2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;
(3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。

若我们以信息中心为基点,用 角和距离刻画了点P的位置,这种 方法与用直角坐标刻画点P的位置 有什么区别和联系?你认为哪种方 法更方便?

平面直角坐标系中的伸缩变换
思考: (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?

问题分析:
y

y=sin2x
O

? y=sinx

2?
x

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x , y),保持纵坐
1 标不变,将横坐标x缩为原来的 ,就得到正弦 2

曲线y=sin2x.

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即: 设P(x , y)是平面直角坐标系中任意一点,保持 1 纵坐标不变,将横坐标x缩为原来 ,得到点 2 P′(x′, y′).坐标对应关系为:

坐标对应关系为:
x’= y’=y
1 2x

1

通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。

问题分析:

(2)怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲 线 y=3sinx? 写出其坐标变换。

问题分析:
在正弦曲线上任取一点P(x , y),保持横坐标 x不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,就得到曲 线y=3sinx。 设点P(x , y)经变换得到点为P′ (x′, y′)

x ′= x

2

y′=3y 通常把 2 叫做平面直角坐标系中的 一个坐标伸长变换。

问题分析:
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐

标不变,将横坐标x缩为原来的 ,在此基础 上,将纵坐标变为原来的3倍,就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P(x , y)经变换得到点为P′ (x′, y′) 1 x ′= 2 x

1 2

y′=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一
个坐标伸缩变换。

3

定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点,在变换 (? ? 0) ?x' ? ? x 4 ? :? ( ? ? 0) ? y' ? ? y

?

的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。

注 (1) ? ? 0, ? ? 0
(2)把图形看成点的运动轨迹, 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角 坐标系不变,在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。

练习:
1.在直角坐标系中,求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换

x’=x
y’=3y (1)2x+3y=0;

后的图形。 (2)x2+y2=1

2.在同一直角坐标系下,求满足下列 图形的伸缩变换:曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下,经过伸缩变 x’=3x 换

y’=y

后,

曲线C变为x’2-9y’2 =1,求曲线C的 方程并画出图形。

思考:在伸缩 变换
?x' ? ? x ? :? ? y' ? ? y (? ? 0) ( ? ? 0)

下,椭圆是否可以变成圆?抛物线, 双曲线变成什么曲线?

补充练习:

1 求下列点经过伸缩变换 ①(1,2);

? x' ? 2 x ? ? y' ? 3 y
1 x 3 1 y 2
.

后的点的坐标:

②(-2,-1).

2 曲线C经过伸缩变换

? x' ? ? ? ? ? y' ? ? ?

后的曲线方程是

4 x'2 ?9 y'2 ? 36

则曲线C的方程是

3

将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是(



? x' ? ? ? A? ? y' ? ? ?

2 x 3 3 y 2

? x' ? ? ? B? ? y' ? ? ?

3 x 2 2 y 3

? x' ? y C? ? y' ? x

? x' ? x ? 1 D? ? y' ? y ? 1

4 曲线

x2 ? y2 ? 2x ? 0
.

变成曲线

x'2 ?16 y'2 ?4 x' ? 0
? x' ? 2 x ? ? y' ? 2 y

的伸缩变换是

5 在伸缩变换 单位圆

x ? y ? 1 分别变成什么图形?
2 2

? x' ? 2 x 与伸缩变换 ? ? y' ? y

的作用下,

7 在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变 换:曲线 4x2+9y2=36 变为曲线 x’2+y’2=1

8 在同一直角坐标系下,经过伸缩变换

? x? ? 3 x ? ? y? ? y

后,曲线C变为x’2-9y’2 =1,求曲线C的方程,并画出图形。


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