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宁夏银川一中2012-2013学年高二上学期期中考试数学(文)试题

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宁夏银川一中 2012-2013 学年高二上学期期中考试数学 (文) 试 题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. “ x 2 ? x ? 0 ”是“ x ? 1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2.已知命题 p:?x∈R,x>sinx,则 p 的否定形式为( A.非 p:?x∈R,x<sinx C.非 p:?x∈R,x≤sinx

B.非 p:?x∈R,x≤sinx D.非 p:?x∈R,x<sinx ) D. ? 2 )

3. 在等比数列 {a n } 中, a1 ? ?16, a4 ? 8, 则 a 7 ? ( A. ? 4 B. ? 4 C. ? 2

4. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ,那么它的通项公式为 an=( A.n B.2n C.2n+1 D.n+1

x2 y2 5. 设 F1,F2 是椭圆 ? ? 1 的两焦点,P 为椭圆上一点,则三角形 PF1F2 的周长为( 25 9
A.16 B.18 C.20 D.不确定 ) 6.椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形,则此椭圆的离心率为( A.



1 2

B.

3 2
)
2

C.

2 2

D.

3 3

7.下列说法中,正确的是(
2

A.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 B.已知 x ? R ,则“x -2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件
2

C.命题“p∨q”为真命题,则“命题 p”和“命题 q”均为真命题 D.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 8. 已知 a, b, c ? R ,则下列推证中正确的是 ( A. a ? b ? am2 ? bm2 C. a 3 ? b3 , ab ? 0 ? B. )

a b ? ?a?b c c 1 1 ? a b

1 1 ? a b

D. a 2 ? b 2 , ab ? 0 ?

?y ? x ? 9. 不等式组 ? x ? 2 y ? 4 表示的平面区域的面积为( ? y ? ?2 ?



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A.

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100 3
D.

25 3

B.

50 3

C.

10 3
)

10.已知 x>0, y>0, A. 6

8 2 ? ? 1 ,则 x+y 的最小值为( y x
C. 18 D. 24

B. 12

11. 已知等差数列{an}满足 a2+a4=4, a3+a5=10,则它的前 10 项和为( A.138 B.135 C.95 D.23



12. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成 立,则 a 的取值范围为( A. ? 1 ? a ? 1 C. ? ) B. 0 ? a ? 2 D. ?

3 1 ?a? 2 2

1 3 ?a? 2 2

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 a ? 1, 则 a ? 14.不等式

1 的最小值是__________. a ?1

2x ? 1 ? 0 的解集为_____________. 3x ? 1

?0? x?4 ? 15. 已知x,y满足 ? 0 ? y ? 3 ,则 2x+y的最大值为________. ?x ? 2 y ? 8 ?

x2 y2 16.已知点 P(4,2)是直线 L 被椭圆 ? ? 1 所截得的弦的中点,则直线 L 的方程为 36 9
_________.

三.解答题(6 道题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知 ? an ? 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (1)求 ? an ? 的通项 an ; (2)求 ? an ? 前 n 项和 Sn 的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 已知不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x2 ? x ? 6 ? 0 的解集为 B。 (1)求 A∩B; (2)若不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 A∩B,求不等式 ax 2 ? x ? b ? 0 的解集。
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19. (本小题满分 12 分)
2

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2

已知命题 p: x∈[1,2],x -a≥0” “? ,命题 q: x0∈R,x0+2ax0+2-a=0” “? ,若命 题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间,一面可利用 原有的墙,其它各面用钢筋网围成. (1)现有可围 36m 长的钢筋网的材料,每间虎笼的长、 宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大? (2)若使每间虎笼的面积为 24m ,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间 虎笼的钢筋网总长最小? 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆的两焦点为 F1 ( ? 3 ,0) , F2 ( 3 ,0) ,离心率 e ? (1)求此椭圆的方程; (2) 设直线 l : y ? x ? m , l 与此椭圆相交于 P ,Q 两点, PQ 等于椭圆的短轴长, 若 且 求 m 的值。
2



3 . 2

22.(本小题满分 12 分) 设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的 n (1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn ? N+,都有 8S n ? (a n ? 2) 2 。

4 m ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n a n ? a n?1 20

N+都成立

的最小正整数 m 的值。

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高二期中数学(文科)试卷参考答案
一、选择题 BCABBCBCBCCD 一、 填空题 13.3 14。{x|x> 三、简答题 17. 【解析】 (Ⅰ)设 ? an ? 的公差为 d ,由已知条件,? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) Sn ? na1 ?

1 1 或 x< } 15。10 2 3

16。x+2y-8=0

? a1 ? d ? 1 ,解出 a1 ? 3 ,d ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 .所以 n ? 2 时, S n 取到最大值 4 2

18..解: (1)由 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A=(-1,3) 由 x2 ? x ? 6 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 ,所以 B=(-3,2) , ∴A∩B=(-1,2) (2)由不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为(-1,2) , 所以 ?

? 1? a ? b ? 0 ? a ? ?1 ,解得 ? ? 4 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?2

∴ ? x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得解集为 R. 19.解:由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,a≤x 恒成立,
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2

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∵x∈[1,2],∴a≤1.
2

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若 q 为真命题,即 x +2ax+2-a=0 有实根, Δ =4a -4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2, 综上,实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 20.解: (1)设每间虎笼的长 xm,宽 ym, 则 4x+6y=36,设每间虎笼面积为 S,则 S=xy 18=2x+3y ≥ 2
2

2 x ? 3 y ? 2 6 xy ,

xy ≤

27 , 当 且 仅 当 2x=3y 时 , 等 号 成 立 , 2

2x+3y=18,x=4.5m ,y=3m 时,等号成立。故每间虎笼的长和宽分别为 4.5m 和 3m 时,可 使面积最大。 (2)设每间虎笼长为 xm,宽为 ym, S=xy=24, x= L=4x+6y=

24 , y

96 16 16 ? 6 y ? 6( ? y ) ? 6 ? 2 16 ? 48 ,当且仅当 ? y ,y=4,x=6 y y y

故每间虎笼长 6m,宽 4m 时,可使钢筋网总长最小。 21.解:设椭圆方程为

x2 y2 c 3 ,┄┄(4 分) ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,则 c ? 3 , ? 2 a 2 a b
x2 ? y 2 ? 1. 4
2

? a ? 2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ?所求椭圆方程为
(2)由 ?

┄┄┄┄┄(5 分)

?y ? x ? m
2 2 ?x ? 4 y ? 4
2

,消去 y,得 5 x ? 8mx ? 4(m ? 1) ? 0 ,
2 2

则 ? ? 64 m ? 80(m ? 1) ? 0 得 m 2 ? 5 设 P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

(*)

4(m 2 ? 1) 8m , x1 x 2 ? , y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 , 5 5
┄┄┄┄┄┄┄(8 分)

PQ ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[(?

8m 2 16(m 2 ? 1) ) ? ]?2 5 5

30 15 ,满足(*)? m ? ? . 4 8 22.解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2)2 ∴ a1 ? 2
解得. m 2 ? n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)2 n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2
2 (2)∵ 8 Sn ? (an ? 2)

∴ a2 ? 6 ∴ a3 ? 10

2 ∴ 8 Sn?1 ? (an?1 ? 2) ( n ? 1)
2 2 即 an ? an?1 ? 4an ? 4an?1 ? 0

2 2 两式相减得: 8an ? (an ? 2) ? (an?1 ? 2)

也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an ? 1 ? 4 即 {a n } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列 ∴ an ? 2 ? ( n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2

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(3) bn ?

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4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an ? an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 (2n ? 1) (2n ? 1)

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 ? (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4 n ? 2 2 m m 1 ? ∵ Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立 ∴ 20 20 2
故 m 的最小值是 10

即 m ? 10

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