北京市房山区2016届高三第二次(4月)模拟数学理试题 Word版含答案]

房山区 2016 年高三二模 数 学（理科）

本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合 M = {1,2,3,4,5}, N = {0,2,4}, P = M ? N ，则 P 的子集共有 （A） 2 个 （B） 4 个 （C） 6 个 （D） 8 个

? x ? y ? 0, ? （2）若 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z = x + 2 y 的最大值为 ? y ? 0. ?
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D）

? 2

（3）执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2， 则输出的 n 值为 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（4）在 ( x ? （A） ?3

1 6 ) 的展开式中， x 4 的系数为 2x 1 （B） ? （C） 3 2

（D） 6

（5）设函数 f ( x) = a sin x + x2 ，若 f (1) = 2 ，则 f (- 1) = （A）2 （C）1 （B）-2 （D）0

（6）多面体 MN - ABCD 的底面 ABCD 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其

中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则 AM 的长为

（A） 3

（B） 5

（C） 6

（D） 2 2

（7）已知等差数列 {an } 满足 an ? N* ，且前 10 项和 S10 ? 290 ，则 a 9 的最大值为 （A） 29 （B） 49 （C） 50 （D） 58

（8）为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民 生活用电试行阶梯电价. 其标准如下表： 分档电量 用户 类别 一档 试行阶梯电 价的用户 二档 三档 （千瓦时/户.月） 1-240（含） 241-400（含） 400 以上 电价标准 （元/千瓦时） 0.4883 0.5383 0.7883

北京市某户居民 2016 年 1 月的平均电费为 0.4983（元/千瓦时） ，则该用户 1 月份的 用电量为 （A） 350 千瓦时 （B） 300 千瓦时 （C） 250 千瓦时 （D） 200 千瓦时

二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）定积分

?

1

?1

x2 dx 的值为___.

（10）已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A ， PA ? 2 ，

AC 是圆 O 的直径， PC 交圆 O 于点圆 B ，
∠ PAB ? 30 °，则圆 O 的半径为___. （11）已知 p : x ? m, q : 1 ? x ? 3 ，若 p 是 q 的必要而不充分条件，则实数 m 的取值范围 是___. （12）抛物线 y 2 ? 8 x 的准线 l 的方程为____，若直线 l 过双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2

一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为___. （ 13 ）直线 y = kx 与函数 y ? tan x (? 两

? ? ? x ? ) 的图象交于 M , N ( 不与坐标原点 O 重合 ) 2 2

点，点 A 的坐标为 (? ,0) ，则 ( AM ? AN ) ? AO ? ___.

? 2

???? ? ???? ????

? a , x ? 0, ? （14）已知函数 f ( x ) ? ? x ? 1 ①若 a = 1 ，且关于 x 的方程 f ( x) = k 有两个不同的实 ? ?log 2 x, x ? 0.
根，则实数 k 的取值范围是___；②若关于 x 的方程 f ( f ( x)) = 0 有且只有一个实根， 则实数 a 的取值范围是___.

三、解答题共 6 小题，共 80 分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题 13 分）

? 3 如图，在△ ABC 中，点 D 在 BC 边上， ?CAD ? ,cos ?C ? ． 4 5
（Ⅰ）求 sin ?ADB 的值； （Ⅱ）若 BD ? 2 DC ? 5 ，求△ ABD 的面积． A

B （16） （本小题 13 分）

D

C

随着 2022 年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要 方式．为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营．其中一班有 3 名男生 和 1 名女生参加，二班有 2 名男生和 2 名女生参加．活动结束时，要从参加冬令营的学生中 选出部分学生进行展示． （Ⅰ）若要从参加冬令营的这 8 名学生中任选 4 名，求选出的 4 名学生中有女生的概率； （Ⅱ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选 2 名，设随机变量 X 表示选出的女生 人数，求 X 的分布列和数学期望．

（17） （本小题 14 分） 如图，已知直角梯形 ACEF 与等腰梯形 ABCD 所在的平面互相垂直， EF∥AC ，

1 1 AC ， EC ? AC ， AD = DC = CB = CE = AB = 1 ． 2 2 （Ⅰ）证明： BC ? AE ； （Ⅱ）求二面角 D - BE - F 的余弦值； （Ⅲ）判断直线 DF 与平面 BCE 的位置关系，并说明理由． EF =

E F

D A

C B

（18） （本小题 13 分） 已知函数 f ( x) ?

ae x (a ? 0) . x2

（Ⅰ）当 a = 1 时，求函数 f ? x ? 的单调区间； （Ⅱ）设 g ( x) ? f ( x) ? 范围.

2 ? ln x ，若 g ( x) 在区间 (0, 2) 上有两个极值点，求实数 a 的取值 x

（19） （本小题 14 分） 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0,1) ，且长轴长是焦距的 2 倍. 过椭圆左 a 2 b2

焦点 F 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若直线 AB 垂直于 x 轴，判断点 O 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）若点 O 在以线段 AB 为直径的圆内，求直线 AB 的斜率 k 的取值范围.

（20） （本小题 13 分） 已知函数 f ( x) ?

x2 ( x ? 1) ，数列 {an } 满足 a1 ? m (m ? 1) ， an?1 ? f (an ) ． 1? x

（Ⅰ）当 m ? ?1 时，写出数列 {an } 的通项公式； （Ⅱ）是否存在实数 m ，使得数列 {an } 是等比数列？若存在，求出所有符合要求的 m 的值； 若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当 0 ? m ?
n 1 1 时，求证： ? (ai ?1 ? ai ) ? . 2 2m i ?1 5 n

（其中

?

是求乘积符号，如

? i ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ， ? ai ? a1 ? a2 ??? an ）
i ?1 i ?1

房山区 2016 年高考二模 数学（理）答案及评分标准 201604
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 D 6 C 7 C 8 B

二、填空题：每小题 5 分，共 30 分． （第一空 3 分，第二空 2 分） 9.

2 3

10.

3

11. m ? 3

12. x ? ?2,

x2 ?

y2 ?1 3

13.

?2 2

14. [?1,0),

(?1,0) ? (0, ??)
A

三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分． 15（共 13 分）

3 ，C 是三角形内角 5 B 4 2 所以 sin ?C ? 1 ? cos ?C ? ．………2 分 5
解： （Ⅰ）因为 cos ?C ? 又因为 ?CAD ?

D

C

? ? ，所以 ?ADB ? ?C ? ． 4 4 ? ? ? sin ?ADB ? sin(?C ? ) ? sin ?C ? cos ? cos ?C ? sin …………………5 分 4 4 4
? 4 2 3 2 7 2 ． ? ? ? ? 5 2 5 2 10

…………………7 分 …………………9 分

（Ⅱ）在 ?ACD 中，由

DC AD = ， sin 行 CAD sin C

5 4 ? DC ? sin ?C 2 5 ? ?2 2 ． 得 AD ? sin ?CAD 2 2
所以 S?ABD ?

…………………11 分

1 1 7 2 AD ? BD ? sin ?ADB ? ? 2 2 ? 5 ? ? 7 ……………13 分 2 2 10

16（共 13 分） （Ⅰ）从参加冬令营的 8 名学生中任选 4 名，有女生的概率为

1?

C54 4 13 ? 1? ? 4 8 ? 7 ? 6 ? 4 C8 14 4 ? 3 ? 2 ?1

…………………3 分

（Ⅱ）随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2,3 ，

…………………4 分
1 1 2 1 1 C3 C1 C2 + C32C2 C2 15 5 = = 2 2 C4 C4 36 12

P( X = 0) =

2 C32C2 3 1 = = 2 2 C4 C4 36 12

P( X = 1) =

P( X = 2) =

1 1 1 2 C3 C2C2 + C32C2 15 5 = = 2 2 C4 C4 36 12

P( X = 3) =

1 1 2 C3 C1 C 2 3 1 = = 2 2 C4 C4 36 12

…………………………………8 分 所以 X 的分布列为

X

0

1

2

3

P

1 12

5 12

5 12

1 12

…………………………………10 分

EX ? 0 ?

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 12 12 12 12 2

…………………13 分

17（共 14 分） （Ⅰ）取 AB 中点 G ，连结 CG ， 由已知可得 ADCG 是平行四边形，所以 CG = AD =

1 AB ， 所以 AC ^ BC 2

…………………1 分 又 平面 ACEF ? 平面 ABCD ，平面 ACEF ? 平面 ABCD = AC 所以 BC ? 平面 ACEF ， 又 AE ? 平面 ACEF ，所以 BC ^ AE …………………3 分 …………………4 分

（Ⅱ）因为 平面 ACEF ? 平面 ABCD ，平面 ACEF ? 平面 ABCD = AC

EC ? AC
所以 EC ^ 平面 ABCD ，由（Ⅰ）知 AC ^ BC 如图，以 C 为坐标原点，以 CA, CB, CE 为 x, y, z 轴
D A G F

z
E

C

x

B

y

建立空间直角坐标系，

…………………5 分

3 3 1 ,0,1), D( , - ,0) 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 3 3 3 EF = ( ,0,0), BE = (0, - 1,1), BD = ( , - ,0) 2 2 2 ? 设平面 BCE 的法向量为 n = ( x, y, z) ，则 C (0,0,0), B(0,1,0), E (0,0,1), F (

? ??? ? ? 3 ? ? n ? EF ? 0 x?0 ? 即 ? ??? ? ? ? 2 ? ?? y ? z ? 0 ? n ? BE ? 0 ?

所以 n = (0,1,1)

?

…………………7 分

设平面 BDE 的法向量为 m = ( x, y, z ) ，则

??

?? ??? ? ? 3 3 ? ?m ? BD ? 0 x? y?0 ? 即 ? 2 ? ? ?? ??? 2 ? ?? y ? z ? 0 ?m ? BE ? 0 ? ?? ? ?? ? m ×n 2 10 cos < m, n >= ?? ? = = 5 2 5 m n

所以 m = ( 3,1,1) …………………9 分

??

…………………11 分

所以 二面角 D - BE - F 的余弦值为 （Ⅲ）直线 DF 与平面 BCE 平行．

10 5
…………………12 分

???? ? 1 平面 BCE 的法向量为 t = (1,0,0) ， DF = (0, ,1) 2

? ???? 因为 t ? DF ? 0

? ???? 所以 t ? DF

所以 DF ? 平面 BCE ………………………………14 分

18（共 13 分） 解： （Ⅰ）当 a = 1 时， f ( x) ?

ex x2

f '( x) ?
令 f '( x) ? 0

x 2e x ? 2 xe x e x x( x ? 2) e x ( x ? 2) ? ? ( x ? 0) …………2 分 x4 x4 x3
得x ? 2

x, f ( x), f ' ( x) 变化情况 x ( - ? ,0) f ' ( x) f ( x)
+ 增

0

(0, 2)
减

2

(2, +? )
+ 增

所以 函数 f ( x) 增区间为 ( ??, 0) ， (2, ??) ，减区间为 (0, 2) ………………………………5 分 （Ⅱ）方法一： g ( x) ?

ae x 2 ? ? ln x x2 x

g '( x) ?

axe x ? 2ae x 2 1 (ae x ? x)( x ? 2) ………7 分 ? 2? ? x3 x x x3
3

当 x ? (0, 2) 时， x ? 2 ? 0, x ? 0 若 g ( x) 在 (0, 2) 上有两个极值点， g '( x ) 在 (0, 2) 上至少有两零点， 即方程 ae ? x ? 0 在 (0, 2) 上至少有两个不等实根，
x

即方程 a ?

x 在 (0, 2) 上至少有两个不等实根 ex

x e x ? xe x 1 ? x ? x ………8 分 设 F ( x) ? x ( x ? (0, 2)) ， F '( x) ? e e2 x e
解 F '( x) ? 0 的 x ? 1

F ( x) 在 (0,1) 上单增，在 (1, 2) 上单减
所以 F ( x ) 在 (0, 2) 上的最大值为 F (1) ? 又 F (0) ? 0, F (2) ? 所以 要使方程 a ?

1 e

2 e2

………………………………10 分

x 2 1 有两个不等实根， a 的取值范围为 ( 2 , ) x e e e
…………………………………11 分

设 h( x) ? ae ? x ， 解 h '( x) ? ae ? 1 ? 0 得 x ? ln
x x

1 a

2 1 1 , ) 时， x ? ln ? (0, 2) 2 e e a 1 1 2) 单调递增． 且 h( x) 在 (0, ln ) 单调递减；在 (ln ， a a
当a?( 设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 为方程 ae ? x ? 0 的两个不等实根，
x

则在 (0, x1) 上 h( x) ? 0 ，在 ( x1 , x2 ) 上 h( x) ? 0 ，在 ( x2 , 2) 上 h( x) ? 0

所以在 (0, x1 ) 上 g ( x) ? 0 ，在 ( x1 , x2 ) 上 g ( x) ? 0 ，在 ( x2 , 2) 上 g ( x) ? 0 即 x1 , x2 为 g ( x) 的两个极值点 综上所述， g ( x) 在 (0, 2) 内存在两个极值点时， a 的取值范围为 (

2 1 , ). e2 e

………………………………………13 分 方法二：

ae x 2 （Ⅱ） g ( x) ? 2 ? ? ln x ， x x g '( x) ? axe x ? 2ae x 2 1 (ae x ? x)( x ? 2) ? 2? ? x3 x x x3

因为 g ( x) 在 (0, 2) 上有两个极值点，所以 g '( x ) 在 (0, 2) 上至少有两零点， 所以方程 ae ? x ? 0 ，即方程
x

1 x ? e x 在 (0, 2) 上至少有两个不等实根， a

所以直线 y ?

1 x 与曲线 h( x) ? e x 在 (0, 2) 上有两个不同的交点 a

2 2 因为 h(2) ? e ，所以过点 P(2, e ) 和 O (0, 0) 的直线的斜率 k1 ?

e2 2

设过点 O (0, 0) 的直线 l 与曲线 h( x) ? e 相切于点 ( x0 , e 0 )
x

x

因为 h '( x) ? e ，所以直线 l 的斜率 k0 ? e
x

x0

所以直线 l 的方程为 y ? e 0 ? e 0 ( x ? x0 )
x x

因为直线 l 过点 O (0, 0) ，所以 x0 ? 1 ，所以 k0 ? e 因为直线 y ?

1 x 与曲线 h( x) ? e x 在 (0, 2) 上有两个不同的交点 a

所以 e ?

2 1 1 e2 ? ，即 2 ? a ? e e a 2
1 x 与曲线 h( x) ? e x 在 (0, 2) 上两个交点的横坐标，显然 a

设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 为直线 y ? 在 (0, x1 ) 上 e ?
x

1 1 1 x ? 0 ，在 ( x1 , x2 ) 上 e x ? x ? 0 ，在 ( x2 , 2) 上 e x ? x ? 0 a a a

所以在 (0, x1 ) 上 g ( x) ? 0 ，在 ( x1 , x2 ) 上 g ( x) ? 0 ，在 ( x2 , 2) 上 g ( x) ? 0 即 x1 , x2 为 g ( x) 的两个极值点 所以当 g ( x) 在 (0, 2) 内有两个极值点时， a 的取值范围为 ( 方法三： g ( x) ?

2 1 , ). e2 e

ae x 2 ? ? ln x x2 x

axe x ? 2ae x 2 1 (ae x ? x)( x ? 2) g '( x) ? ? 2? ? x3 x x x3
当 a ? 0 时，在区间 (0, 2) 上， ae ? x ? 0, x ? 2 ? 0, x ? 0
x 3

所以 g '( x) ? 0 从而 g ( x) 在区间 (0, 2) 上是增函数，故 g ( x) 在区间 (0, 2) 上无极值点；
x 当 a ? 0 时，设 h( x) ? ae ? x ， x ? (0, 2)

若 g ( x) 在 (0, 2) 上有两个极值点， g '( x ) 在 (0, 2) 上至少有两零点， 即 h( x) 在 (0, 2) 上至少有两零点

h '( x) ? ae x ?1
令 h '( x) ? 0 得 x ? ln 当 ln

1 a
x

1 ?0 a

即 a ? 1 时， x ? (0, 2) ， h '( x) ? ae ? 1 ? 0 ，

所以 h( x) 在 x ? (0, 2) 单调递增， h( x) ? h(0) ? a ? 0 故 g ( x) 在 (0, 2) 内不存在两个极值点． 当 ln

1 1 ? 2 即 0 ? a ? 2 时， a e

x ? (0, 2) ， h '( x) ? ae x ?1 ? 0 ，
所以 h( x) 在 x ? (0, 2) 单调递减， h(0) ? a ? 0, h(2) ? ae ? 2 ? 1 ? 2 ? 0
2

所以 h( x) 在 (0, 2) 上只有一个零点 x0

x ? (0, x0 ) ， g '( x) ? 0 ， x ? ( x0 , 2) ， g '( x) ? 0

所以 x ? (0, x0 ) ， g ( x) 单调增， x ? ( x0 , 2) ， g ( x) 单调减 所以 g ( x) 在 (0, 2) 上只有一个极值点（ g ( x) 在 (0, 2) 内不存在两个极值点） 当 0 ? ln

1 1 ? 2 即 2 ? a ? 1 时， a e 1 1 x ? (0, ln ) 时， h '( x) ? 0 ， x ? (ln ， 2) ， h '( x) ? 0 a a 1 所以 x ? (0, ln ) 时，函数 h( x) 单调递减； a 1 x ? (ln ， 2) ，函数 h( x) 单调递增． a
所以函数 h( x) 的最小值为 h(ln ) ? ae 函数 g ( x) 在 (0, 2) 内存在两个极值点

1 a

ln

1 a

? ln

1 ． a

?h(0) ? 0 ? 2 1 1 ? 当且仅当 ? h(ln ) ? 0 解得 2 ? a ? . e e a ? ? ?h(2) ? 0
综上所述，函数 g ( x) 在 (0, 2) 内存在两个极值点时， a 的取值范围为 ( 19（共 14 分） 解： （Ⅰ）因为长轴长是焦距的 2 倍，所以 2a ? 2 2c ，即 a ? 又因为椭圆过点 (0,1) ，所以 b ? 1 由 a 2 ? b2 ? c 2 ，得 a ?

2 1 , ). e2 e

2c

2, c ? 1
x2 ? y2 ? 1 2
…………………4 分

所以椭圆的标准方程为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 F (?1, 0) ， 当直线 AB 垂直于 x 轴时，直线 AB 的方程是 x ? ?1

? x ? ?1 2 ? 由 ? x2 得y?? 2 2 ? ? y ?1 ?2
所以 AB ? 2 y ? 2 ，又 OF ? c ? 1

因为

AB ? OF 2
…………………8 分

所以点 O 在以线段 AB 为直径的圆外

2 2 ), (- 1, ) 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 1 1 OA ? OB ? OA OB cos ?AOB ? (?1, ) ? (?1, ? ) ?1? ? ? 0 2 2 2 2 cos ? AOB ? 0 ? AOB 所以 ，即 为锐角.所以点 O 在以线段 AB 为直径的圆外
方法二：点 A, B 的坐标为 (- 1, （Ⅲ）设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ， A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
所以 x1 ? x2 ? ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

方法一：因为点 O 在以线段 AB 为直径的圆内， 所以 ?AOB 为钝角，所以 OA ? OB ? 0

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k ( x1 ? 1)k ( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 2(k 2 ? 1)( k 2 ? 1) ?4k 4 ? 2 ? k2 ? 0 2 2k ? 1 2k ? 1

整理得 k 2 ? 2 所以 ? 2 ? k ?

2

…………………………………………………14 分 方法二：线段 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) ，则

x0 ?

x1 ? x2 2k 2 2k 2 k ?? 2 ? 1) ? 2 ， y0 ? k (? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
2 2 2 ?? ? 4 k 8k 2 ? 8 ? ? 4 x1 x2 ? ? (1 ? k ) ?? ? 2 ? ? ? ? 2k ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? ? ? ? ? 2

AB ? (1 ? k ) ?? x1 ? x2 ? ?
2

?

8(k 2 ? 1)2 k 2 ?1 ? (2k 2 ? 1)2 2k 2 ? 1

OM ? x02 ? y02 ?

4k 4 ? k 2 (2k 2 ? 1)2

因为点 O 在以线段 AB 为直径的圆内，所以 AB ? 2 OM 所以 AB ? 4 OM
2 2

所以

8(k 2 ? 1) 2 4(4k 4 ? k 2 ) ? (2k 2 ? 1) 2 (2k 2 ? 1)2

2k 4 ? 3k 2 ? 2 ? 0 0 ? k2 ? 2
所以 ? 2 ? k ?

2

20（共 13 分） 解： （Ⅰ） a1 ? m ? ?1 ， a2 ? f ( a1 ) ?

1 1 ? 1?1 2

1 ( )2 1 a3 ? f (a2 ) ? 2 ? 1 2 1? 2
? ?1, n ? 1 ? 所以 数列 {an } 的通项公式为 an ? ? 1 , n?2 ? ?2
（Ⅱ）由已知 a1 ? m ， an?1 ? f (an ) ?
2 m2 a2 所以 a2 ? ， a3 ? ， 1? m 1 ? a2 2 an 1 ? an

…………………3 分

假设存在实数 m ，使数列 {an } 为等比数列，
2 则必有 a2 ? a1a3 ，且 an ? 0, an ? 1

所以 a2 ? a1
2

2 a2 m2 ?m ，即 1 ? a2 ? a1 ， 1 ? 1? m 1 ? a2

解得

m?

1 2

因为当 m ?

1 1 1 时， a1 ? ， an ?1 ? f (an ) ? ，数列 {an } 为等比数列， 2 2 2 1 ，使得数列 {an } 是等比数列 2
…………………6 分

所以存在 m ?

（注：只写出当 m ?

1 时，数列 {an } 是等比数列，没有说明理由，只给 1 分） 2
0?m?
2 1 an a ? f ( a ) ? n 2 ， n?1 1 ? an

（Ⅲ）因为 a1 ? m

，

2 2 所以 an ? 0 且 an?1 ? an an?1 ? an ，即 an?1 ? an ? an an?1 ? an ? an?1 ? an ?

所以 an ?1 ? an ?
n

an?1 an

…………………8 分

所以

? (a
i ?1

i ?1

? ai ) ?

a2 a3 a4 an?1 an?1 an?1 ? ? ? ? ? a1 a2 a3 an a1 m
? ? 1? 9 ? ? 4? 4
2

…………………9 分

设 y ? 2 x2 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 当0 ? x ?

1 2 时， y ? 0 ，所以 0 ? 2 x ? 1 ? x 2
1 x2 1 ? 时， 0 ? 2 1? x 2
…………………11 分

即当 0 ? x ?

所以当 0 ? m ?

1 1 时， 0 ? an ?1 ? 2 2

…………………12 分

? (a
i ?1

n

i ?1

? ai ) ?

an?1 1 ? m 2m
……………………………………13 分