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3 3.2 基本不等式与最大(小)值


3.2 基本不等式与最大(小)值

1.进一步掌握基本不等式 ; 2.会应用基本不等式求有关函数的最值,并能够解决一些 简单的实际问题.

你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩 形,怎样弯面积最大?

设矩形的长为 x cm,宽为 y cm,则 x ? y ? 8 .

x? y ? xy , 这时,由基本不等式得: 2
即 xy ? 16 ,当且仅当 x ? y ? 4 时,等号成立. 由此可知,边长为4cm的那个正方形的面积最 大.

设 x ? 0, y ? 0 ,则:
(1) 若 x ? y ? s (和为定值) ,

s2 则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 ; 4
(2)若 xy ? p (积为定值) , 则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

例 1.设 x, y 为正实数,且 2 x ? 5 y ? 20 , 求 u ? lg x ? lg y 的最大值.
解: 因为 x ? 0, y ? 0 ,所以由基本不等式,得

2x ? 5 y ? 2 x ? 5 y ? 10 xy . 2
由于 2 x ? 5 y ? 20 ,所以 10 xy ? 10 ,即 xy ? 10 .

当且仅当 2 x ? 5 y 时,等号成立,因此有

?2 x ? 5 y ? 20, ? ?2 x ? 5 y.
解得

x ? 5, y ? 2 .

当 x ? 5, y ? 2 时, xy 有最大值 10.
这样

u ? lg x ? lg y ? lg( xy ) ? lg10 ? 1 .

所以,当 x ? 5, y ? 2 时, u ? lg x ? lg y 有最大值1.

1 例 2 已知 y ? x ? ( x ? 0) ,证明: y ? 2 . x 1 证明: (1)当 x ? 0 时,由基本不等式,得 y ? x ? ? 2 , x 1 当且仅当 x ? ,即 x ? 1 时,等号成立.函数草图如图: x

(2)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , y ? x ?

1 1 ? ?[(? x) ? ]. x (? x)

1 ? 2, 由(1)可知 (? x ) ? (? x)
当且仅当 x ? ?1 时等号成立。

1 ] ? ?2 , 所以 ?[(? x) ? (? x) 1 即 y ? x ? ? ?2 x
综上可知, y ? 2

例 3 如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼 四间.一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围 36m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
2 m (2)若使每间虎笼面积为 24 ,则每间虎笼的长、

宽各设计为多少时, 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最 小?

解 (1)设每间虎笼长为 xm ,宽为 y m ,则由“有可围网长 36m 的材料” ,得 4 x ? 6 y ? 36 , 即

2 x ? 3 y ? 18 .

设面积 S ? xy . 由于

2 x ? 3 y ? 2 2 x ? 3 y ? 2 6 xy ,

27 27 所以 2 6 xy ? 18 ,得 xy ? ,即 S ? , 2 2

当且仅当 2 x ? 3 y 时,等号成立. 解方程组

?2 x ? 3 y ? 18, ? ? 2 x ? 3 y,


? x ? 4.5, 得? ? y ? 3.

每间虎笼设计长、宽分别为 4.5m 和 3m 时,

可使面积最大.

变式练习: (1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个 矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个 矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?

2

解: (1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy=100,篱笆的长为 2(x+y) m. 由

x? y ? xy ,可得 x ? y ? 2 100 ,即 2( x ? y ) ? 40 。 2

当且仅当 x=y 时等号成立,此时 x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为 10m 时,所用的篱笆最短, 最短的篱笆是 40m.

(2) 解法一:设矩形菜园的宽为 x

m,则长为(36-2x)m,其

1 中 0<x<18,其面积 S=x(36-2x)= 〃2x(36-2x) 2
1 2 x ? 36 ? 2 x 2 362 ≤ ( ) ? 2 2 8
当且仅当 2x=36-2x,即 x=9 时菜园面积最大, 即菜园长为 18m,宽为 9 m 时菜园面积最大为 162 m
2.

解法二:设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 x+2y=36,矩形菜园的面积为 xy


m 。

2

x ? 2 y 36 2 xy ? ? ? 18 , 可得 : xy ? 162 2 2

当且仅当 x=2y,即 x=18,y=9 时,等号成立。

因此,这个矩形的长、宽分别为 18m,9m 时,菜园的面积 最大,最大面积是 162m
2

例4

某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用的

保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费 第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元。问这 种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?

解:设使用x年平均费用最少.
由于“年维修第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2 万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项, 0.2万元为公差的等差数列.因此,汽车使用x年总的维 0.2 ? 0.2 x x 修费用为 万元
2

设汽车的年平均费用为 y 万元,则有

0.2 ? 0.2 x 10 ? 0.9 x ? x 2 y? x
10 ? x ? 0.1x 2 10 x ? ? 1? ? x x 10 10 x ? 1? 2 ? ?3 x 10 10 x ? ,即 x ? 10 时, y 取最小值. 当且仅当 x 10

答 汽车使用 10 年平均费用最少.

9 1. (1) 若 x>0,求 f ( x) ? 4 x ? 的最小值; x 9 (2) 若 x<0,求 f ( x) ? 4 x ? 的最大值. x
解 : (1) 因为 x>0 由基本不等式得:

9 9 f ( x) ? 4 x ? ? 2 4 x ? ? 2 36 ? 12 , x x
9 3 9 当且仅当 4 x ? 即 x= 时, f ( x ) ? 4 x ? 取最小值 12. x 2 x

(2)因为 x<0,

所以 -x>0, 由基本不等式得:

9 9 9 ? f ( x) ? ?(4 x ? ) ? (?4 x) ? (? ) ? 2 (?4 x) ? (? ) ? x x x 2 36 ? 12
所以 f ( x ) ? ?12 .

9 3 9 当且仅当 ?4 x ? ? 即 x=- 时, f ( x ) ? 4 x ? 取 x 2 x
得最大值-12.

x2+7x+10 2.求函数 y= (x>-1)的最小值. x+1
解:令 x+1=t>0,∴x=t-1,

?t-1?2+7?t-1?+10 t2+5t+4 ∴y= = t t

4 = t + + 5≥ 2 t

4 t·+5=9, t

4 当且仅当 t= t ,即 t=2,x=1 时等号成立.
x2+7x+10 ∴当 x=1 时,函数 y= (x>-1)取得最小值 9. x+1

3. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m3,深为3 m,如果池底每1 m2的造价为150元,池壁 每 1 m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池才能使总造价最 低,最低总造价是多少元?

解析:设水池底面一边的长度为 x m,水池的 总造价为 l 元.根据题意,得

l=240 000+720(x+
≥240 000+720×2 x ?

1 600 ) x

1 600 x ·

=240 000+720×2×40=297 600.
1 600 当且仅当 x= , 即 x=40 时, l 有最小值 297 x

600.

答:当水池的底面是边长为40 m的正方形时,水池的总造 价最低,最低总造价是297 600元.

a+ b 使用基本不等式 ab≤ 2 (a , b∈R + )求函数最值 时,必须注意有三个条件:

一是 a、b 均为正数; 二是 a+b 与 ab 有一个定值; 三是等号必须取到. 三者缺一不可.

用谅解、宽恕的目光和心理看人、待人,人就 会觉得葱茏的世界里,春意盎然,到处充满温 暖。 ——蔡文甫


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