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高一数学一次函数与二次函数复习

《一次函数与二次函数》学案(限时 120 分钟)

作者:高平

【知识梳理】
1.函数的定义:设 A 是 中的任意一个数 x,都有

,如果按照

,使对于集合 A

和它对应,那么就称 f : A ? B 为

,记



其中

数的两要素为

2.映射与函数的关系是

叫函数的定义域,





叫函数的值域。函

3.满足不等式 a ? x ? b ( a 、 b 为实数且 a ? b )的实数 x 的集合用区间表示为

4.表示函数的常用方法是







5.分段函数是几个函数?

6.一般地,设函数 y ? f (x) 的定义域为 A,区间 M ? A ,如果取区间 M 中的

两个值 x1、x2 。

当改变量 ?x ? x2 ? x1 ? 0 时,有

就称 y ? f (x) 在区间 M 上


7.设函数 y ? f (x) 的定义域为 D,如果对于 D 内的任意一个 x ,都有 ? x ? D ,且

则这个数叫奇函数(偶函数)。

8.奇函数的图象关于

对称,偶函数的图象关于

对称,反之成立

吗?

9.证明函数单调增(或减)的步骤是什么?判断函数奇偶性的前提是什么?

10.函数 ,图象是
的截距是

叫做一次函数,它的定义域是
,该图象在 y 轴的截距是


11.一次函数 y ? kx ? b (k ? 0) 中, k 叫

,k =

值域是
在x轴



,k ? 0

时,函数是

函数, k ? 0 时,函数是

函数

b ? 0 时该函数是奇函数且为正比例函数。

12.函数 u ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 叫做二次函数,它的定义域为

,当 b ?

时该函数的图象关于 y 轴对称。 a ? 0 时,抛物线开口向

,单增区间为

,单调减区间为

,值域为

13.用待定系数法求解析式时,应注意函数对解析式的要求:一次函数、正比例函数、

反比例函数的比例系数

二次函数的二次项系数



14.一般地,如果函数 y ? f (x) 在实数 x ? a 处的值



,则 a 叫该函

数的零点,求函数的零点即求

如果函数的图象是连续的,当它通过零点(不是二重零点)时,函数值

。相

邻两个零点之间的函数值



15.所谓二分法,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端

点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法。

【题型总结及错题再现】

1.

求定义域:(1)

y

?

2x 2x2 ?

?1 x ?1

(2)

y

?

? x2 ? 5x ? 6

2.

求值域:(1)

y

?

1

1 ? x2

(2)

y

?

? x2 ? 5x ? 6

3.求解析式:(1)已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点为 (?1,0),(3,0) , 其形状与抛物线 y ? ?2x 2 相同,则 y ? ax 2 ? bx ? c 的解析式为

(2)若 f ( x ?1) ? 3 ? x ,则 f (x) =

,其定义域为

(3).已知函数 f (x) 的图象如

图所示,则 f (x) 的解析式为

4.奇偶性的判断:(1) f (x) ? 4 ? x2 (2) f (x) ? (1? x) ? 1? x

x?3 ?3

1? x

y

1
-1 -1

1x

第 10 题图

(3)已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y),证明:f(x)是奇函 数

5.单调性的证明:(1)证明函数 y ? x3 ? 3x 在 (1,??) 上是增函数

6.求最值:(1)已知 2x2 ? 3x ? 0 ,求函数 f (x) ? x 2 ? x ? 1 的最值;

.
(2)已知 f (x) ? ?4x 2 ? 4ax ? 4a ? a 2 在区间[0,1]内有最大值-5,求 a 的值。

7.单调性与奇偶性的应用

(1).函数

f

(x)

?

??x2 (x ?1) ???? x2 (x ? 1)

x?0

x?0

函数(奇偶性)

(2).已知 f (x) 和 g(x) 都是奇函数,且 F(x) ? 3 f (x) ? 4g(x) ? 2 ,若 F(a) ? b ,则

F(?a) =

(3).若 f (x) 满足 f (?x) ? f (x) ,且在 (??,0) 内是增函数,又 f (?2) ? 0 ,则 xf (x) ? 0

的解集为
【试刀与挑战】 1. f (x) 是 (??,??) 上的偶函数,且 f (x ? 2) ? ? f (x) ,当 x ?[0,1] 时, f (x) ? x ,则

f (5.5) = 2..定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足:当 x ? 0 时, f (x) ? x ? 1 ?1 ,求 f (x) 的解析式。
x 3.若函数 y ? x 2 ? (a ? 2)x ? 3 , x ?[a, b]的图象关于直线 x ?1 对称,则 b =

4.已知函数 y ? x 2 ? 2(a ? 2)x ? 1在 (??,4) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是

5. 已 知 函 数 f (x) ? x 2 ? ax ? 5 满 足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 若 x ?[0, m] 时 , 函 数

f (x) ?[1,5] ,则实数 m ?



6.已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 (??,2) ? (3,??) ,则不等式 bx2 ? ax ? c ? 0 的解
集为
7.函数 y ? 2x 2 ? 7x ? 15 的零点为

8.函数 y ? ax 2 ? x ? 1在 ?0,1?上只有一个零点,则实数 a ?

9.如图,液体从一圆锥形漏斗注入圆柱形桶中,开始时漏斗盛满液体,经过 3 分钟注完,已

知圆柱中液面上升的速度是一常数,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下降时间 t

(分钟)的函数关系用图象表示只可能是



H

H

H

H

H

0

x 03 x 0

x 03 x

A

B

C

D

第 9 题图

10. 已 知 f (x) 是 (0,??) 上 的 增 函 数 , f (2) ? 1, f (xy) ? f (x) ? f ( y) , 求 不 等 式

f (x) ? f (x ? 3) ? 2 的解集。

11.定义在[-2,2]上的偶函数 f (x) 在区间[0,2]上单调递减,若 f (m) ? f (1 ? m) , 求实数 m 的取值范围。

12.方程 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,求实数 a 的取值范围

13.函数

f

(x)

?

ax x2

?b ?1

是奇函数,且

f

(1) 2

?

2 5



(1)求 f (x) 的解析式

(2)证明: f (x) 在(-1,1)上是增函数


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