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双曲线的定义及其标准方程教案


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圆锥曲线教案 双曲线的定义及其标准方程教案

教学目标 1.通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,理解双曲线的定义, 双曲线的标准方程的探索推导过程. 2.在与椭圆的类比中获得双曲线的知识,培养学生会合情猜想,进一步提 高分析、归纳、推理的能力. 3.培养学生浓厚的学习兴趣,独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学 态度. 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中的“差的 绝对值”,a 与 c 的关系的理解是难点. 教学过程 师:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么? (学生口述椭圆的两个定义,标准方程,教师利用投影仪把椭圆的定义、标 准方程和图象放出来.) 师: 椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的,但所采用的方法是不 同的. 定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来,在掌握了坐标法基础上利 用坐标方法建立轨迹方程.这是通过方程去认识轨迹曲线.定义中设定的常数 2a,|F1F2|=2c,它们之间的变化对椭圆有什么影响? 生:当 a=c 时,相应的轨迹是线段 F1F2.当 a<c 时,轨迹不存在.这是因 为 a、c 的关系违背了三角形中边与边之间的关系. 师: 如果把椭圆定义中的 “平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的和” 改写为 “平 面内与两个定点 F1、F2 的距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程又是怎样 的呢? (师生共同做一个简单的实验,请同学们把准备好的实验用具拿出来,一起 做实验.教师把教具挂在黑板上,同时板书:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之 差为常数的点的轨迹是什么曲线?边画、边操作、边说明.) 师:做法是:适当选取两定点 F1、F2,将拉锁拉开一段,其中一边的端点固 定在 F1 处, 在另一边上截取一段 AF2(<F1F2), 作为动点 M 到两定点 F1 和 F2 距离之

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差.而后把它固定在 F2 处.这时将铅笔(粉笔)置于 P 处,于是随着拉锁的逐渐打 开铅笔就徐徐画出一条曲线;同理可画出另一支.如图 2-36.

师:通过这个实验,你们发现了什么? 生:所画的曲线不是椭圆,是两条相同的曲线,只是位置不同.其原因都是 应用 “平面内与两个定点的距离之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常数的条 件画图的. 师:所画出图象与椭圆完全不同,能说出属于哪一类曲线吗? 生:属于双曲型曲线. 师:很好!我们把这类曲线就叫做双曲线.我们思考以下几个问题: 1.|MF1|和|MF2|哪个大? 生:不一定.当点 M 在双曲线右支时,有|MF1|>|MF2|,当点 M 在双曲线左 支时,|MF1|<|MF2|. 师:2.点 M 与点 F1、F2 距离之差是否就应是|MF1|-|MF2|? 生:未必是.也可以是|MF2|-|MF1|. 师:如何表示这两种情况? 生:若要同时表示这两种情况,正确的表示是应||MF1|-|MF2||.无论哪种情 况总是成立的. 师:3.点 M 与点 F1、F2 的距离之差的绝对值与|F1F2|的大小关系怎样? 生:由三角形的两边之差小于第三边可知,应是小于|F1F2|.否则作不出图 形. 在上述讨论的基础上,引导学生概括出双曲线的定义,教师板书课题.
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(学生试叙述,教师协助完成.) 一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值是常数 2a(a>0 且小于|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,这两个焦点间的距离叫 做焦距,记作 2c(c>0). 通过学生自己动手画图, 得到了双曲线定义,同时进一步让学生在实验中观 察定义中两个常数间大小关系对于动点 M 的轨迹的影响. 激发学生探求知识的兴 趣,调动学生的求知的渴望.师生共同归纳: 师:由定义知||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,并设动点为 M,请大家讨论以下 几个问题: (1)当 0<a<c 时,动点 M 的轨迹是什么? 学生略思考一下,回答出是双曲线. (2)当 a=c 时,动点 M 的轨迹是什么? 分析 若 a=c,也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c,如图 2-37 所示:

可以看出,动点 M 的轨迹是分别以点 F1、F2 为端点,方向指向 F1F2 外侧的两 条射线. (3)当 a>c>0 时,动点 M 的轨迹是什么? 由前面归纳已知动点 M 的轨迹不存在.这是因为 a、c 的关系违背了三角形 中两边之差小于第三边的性质. 二、双曲线的标准方程 师: 现在来研究双曲线的方程.我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲 线的方程.首先建立直角坐标系,即以两定点连线为 x 轴,两定点的垂直平分线 为 y 轴.然后,观察双曲线的特征,猜测双曲线方程的结构与椭圆方程的结构是 否有类似之处?(如图 2-38)

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当点 M 移动到 x 轴上点 A1、A2 时,如何求点 A1、A2 的坐标? 生:点 A1、A2 是关于原点对称的,所以 |A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a. 所以点 A1 和 A2 的坐标分别是(-a,0)和(a,0). 师:请同学们对照椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方 程. 生:1.建立直角坐标系. 2. 设双曲线上任意一点的坐标为 M(x、y),|F1F2|=2c,并设 F1(-c,0),F2(c, 0). 3.由两点间距离公式,得

4.由双曲线定义,得 |MF1|-|MF2|=±2a,即

5.化简方程

两边平方,得

化简得:
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两边再平方,整理得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). (为使方程简化,更为对称和谐起见.) 由 2c-2a>0,即 c>a,所以 c2-a2>0. 设 c2-a2=b2(b>0),代入上式,得 b2x2-a2y2=a2b2, 也就是

师: 利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程,它同样具有方 程简单、对称,具有和谐美的特点,便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一 简化的方程称为双曲线的标准方程. 结合图形再一次理解方程中 a>b>0 的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使 方程得到了简化、和谐,也有实际的几何意义.具有 c2=a2+b2 与椭圆中 a2=b2+c2 的不同之处. 师:与椭圆方程一样,如果双曲线的焦点在 y 轴上,这时双曲线的标准方程 形式又怎样呢?我们可以从所画的图形上观察, 对比来看一看互相间的转化. (图 2-39、图 2-40)

生:从图形的对称来看,只要交换一下 x 轴、y 轴的名称,然后逆时针翻转 90°使之 y 轴向上、下,x 轴水平放置即可得到焦点在 y 轴上的双曲线. 师:从方程上来分析,只要将方程(1)的 x、y 互换就可以得到它的方程
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此方程也是双曲线的标准方程. 师:如何记忆这两个标准方程? 生:双曲线的方程右边为 1,左边是两个完全平方项,符号一正一负,为正 的项相应的坐标轴为实轴,焦点在该轴上,且分母为 a2.负项相应的坐标轴为虚 轴,且分母为 b2. 师:用一句话概括“以正负定实虚”. 三、举例 例1 已知两点 F1(-4,0)和 F2(4,0),曲线上的点到两个焦点的距离之差 为 6,求曲线方程. 解 由焦点坐标可知 c=4,2a=6,

所以 a=3,而 b2=c2-a2=16-9=7. 所以,所求的双曲线方程为

例2

求满足下列条件的双曲线方程

1.若 a=4,b=3,焦点在 x 轴上;



(1)因为 a=4,b=3,并且焦点在 x 轴上,

所以所求的双曲线方程为

(2)由题意设双曲线的标准方程为:

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所以代入双曲线方程得

所以

b2=16,

所以所求的双曲线的标准方程为

例 1 和例 2 可由学生自行解答,黑板上板演,并对照检查对错. 四、小结(师生共同参与完成) 1.知识方面 双曲线的定义和双曲线的标准方程;方程中的 3 个常数 a、b、c 间的关系: c =a +b2.
2 2

理解“以正负定实虚”的意义,会确定实轴、虚轴、焦点所在位置,会求双 曲线的标准方程. 2.在教学中体会到数学知识的和谐美,几何图形的对称美. 五、作业:第 89 页习题七 1,2. 六、课后思考题

2.结合图形的演示,试讨论||MF1|-|MF2||=2a,在 2a 趋近于零的过程中双 曲线的变化趋势. 设计说明
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1.关于教学目标 (1)由于双曲线的定义及其标准方程是本章的重点之一,因而作为本节课的 教学目标之一. (2)MM 教育方式的基本要求,其课堂教学要师生共同参与.每个环节都应给 学生创设一种思维情境,一种动脑、动手、动口的机会.运用教具的演示,增强 了数学教学的直观性,有助于培养学生观察、比较、分析、抽象、归纳及数学语 言的运用能力.对全面提高学生素质起着十分重要作用,待此制定了教学目标 2 和 3. 2.关于教学重点 为实现教学目标,把充分展现双曲线的定义及其标准方程的探索、发现、推 理的思维过程和知识形成过程作为本节课的重点. 3.关于教学方法 按照 MM 教育方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”,在 教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.运用问题性,给学生创造一 种思维情境,一种动脑、动手、动口的机会,使学生在开放、民主、愉悦和谐的 教学氛围中获取新知识,提高能力,促进思维发展.因此,采用讨论式、启发式 的教学方法. 4.关于教学过程 (1)利用学生已清楚的知识,转换条件提出问题,通过自己动手和联想,为 类比地探索双曲线的定义奠定基础,最后推出双曲线的定义. (2)在双曲线的标准方程的推导过程中,揭示科学实验的规律,巧妙地把学 生从旧知识引向新知识,使知识过渡那么自然,学生学起来不感到困难.体现数 学发现的本质,培养学生合情推理能力、逻辑思维能力、科学思维方式、实事求 是的科学态度及勇于探索的精神. (3)例题比较简单,由学生自行解答,同时由学生板演,在解题过程中培养 学生合理地思考问题, 清楚地表达思想和有条不紊的学习习惯.同时随时注意纠 正学生在学习过程中的偏差. (4)以学生为主,教师协助的方式进行本节课的小结,充分发挥学生的主观 能动性,提高学生分析、概括、综合、抽象能力,注意把学生本节课所学到的新 知识纳入学生已有知识体系中, 使学生学习解析几何内容形成一个知识结构,对 学生掌握解析几何的学习是大

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