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2018_2019学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2圆与方程2.2.1第二课时圆的一般方程课时作业苏教版必修2

。 。 。 内部文件,版权追溯

2.2.1 第二课时 圆的一般方程

[学业水平训练] 1.已知圆 C:x2+y2-2x+2y-3=0,AB 为圆 C 的一条直径,点 A(0,1),则点 B 的坐标为

________. 解析:由 x2+y2-2x+2y-3=0 得,(x-1)2+(y+1)2=5,所以圆心 C(1,-1).设 B(x0,

y0),又 A(0,1),由中点坐标公式得?????xy00+ +01= =2-2

,解得?????xy00= =2-3

,所以点 B 的坐标为

(2,-3).

答案:(2,-3) 2.过点 P(1,2)的直线 l 平分圆 C:x2+y2+4x+6y+1=0 的周长,则直线 l 的斜率为________. 解析:过点 P(1,2)的直线 l 平分圆 C 的周长,则直线 l 过圆心(-2,-3),则直线 l 的斜

率为 k=--23--12=53.

5 答案:3 3.点 M,N 在圆 x2+y2+kx+2y-4=0 上,且点 M,N 关于直线 x-y+1=0 对称,则该圆的

面积是________. 解析:将 x2+y2+kx+2y-4=0 化为(x+k2)2+(y+1)2=5+k42,故圆心坐标是(-k2,-1),

由题意知,直线

x-y+1=0

k 过圆心,故-2+1+1=0,解得

k=4,此时圆的半径为

3,圆

的面积是 9π . 答案:9π 4.点 A(1,0)在圆 x2+y2-2ax+a2+3a-3=0 上,则 a 的值为________. 解析:∵点 A 在圆上,∴a 应满足的条件为

??12+02-2a+a2+3a-3=0

? ??

-2a

2-

a2+3a-

>0

,即???a2+a-2=0 ??3a-3<0



解得?????aa= <11或a=-2 ,∴a=-2.

答案:-2 5.如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心的坐标是________. 解析:将 x2+y2+kx+2y+k2=0 化为(x+k2)2+(y+1)2=1-34k2,可知当 k=0 时,圆的半

径最大,即圆面积最大,此时圆心坐标是(0,-1).

答案:(0,-1) 6.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD, 则四边形 ABCD 的面积为________. 解析:点(3,5)在圆内,最长弦 AC 即为该圆直径,

∴AC=10,最短弦 BD⊥AC,∴BD=4 6,

S 四边形 ABCD=12AC·BD=20 6.

1

答案:20 6 7.试判断 A(1,2),B(0,1),C(7,-6),D(4,3)四点是否在同一个圆上. 解:线段 AB,BC 的斜率分别是 kAB=1,kBC=-1,得 kAB≠kBC,则 A,B,C 三点不共线,设 过 A,B,C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.

?? D+2E+F+5=0 因为 A,B,C 三点在此圆上,所以?E+F+1=0

?? D=-8

,解得?E=4



??7D-6E+F+85=0

??F=-5

所以过 A,B,C 三点的圆的方程为 x2+y2-8x+4y-5=0,将 D 点坐标(4,3)代入方程,得 42+32-8×4+4×3-5=0,即点 D 在此圆上,故 A,B,C,D 四点在同一个圆上.

8.一圆经过 A(4,2)和 B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2,求该圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),令 y=0,得 x2+Dx+F=0, 所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1+x2=-D. 同理圆在 y 轴上的截距之和为 y1+y2=-E,由题意知-D-E=2. ① 又 A,B 在圆上,所以 16+4+4D+2E+F=0, ②

1+9-D+3E+F=0, ③ 由①②③联立方程组解得 D=-2,E=0,F=-12.所以,所求圆的方程为 x2+y2-2x-12

=0.

[高考水平训练] 1.设 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线且 PA=1,则 P 点的坐标(x,y)满足

的方程是________.

解析:由题意知,圆心(1,0)到 P 点的距离为 2,所以点 P 在以(1,0)为圆心,以 2为半径 的圆上,所以点 P 的坐标(x,y)满足的方程是(x-1)2+y2=2. 答案:(x-1)2+y2=2 2.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,点 A(0,-1),B(0,1),设 P 是圆 C 上的动点,令 d= PA2+PB2,则 d 的最大值及最小值分别为________、________.

解析:如图,设 P 点坐标为(x0,y0), ∴d=x20+(y0+1)2+x20+(y0-1)2 =2(x20+y20)+2 =2PO2+2.

问题转化为求 P 点到原点 O 距离的最值,

∵O 在圆外,∴OPmax=CO+1=5+1=6, POmin=CO-1=5-1=4. ∴dmax=2×62+2=74,dmin=2×42+2=34.
答案:74 34 3.已知曲线 C:(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0,

(1)当 a 取何值时,方程表示圆;

(2)求证:不论 a 为何值,曲线 C 必过两定点; (3)当曲线 C 表示圆时,求圆面积最小时 a 的值.

解:(1)当 a=-1 时,方程为 x+2y=0,表示一条直线;

当 a≠-1 时,???x-1+2 a???2+???y+14+aa???2=

4+16a2 +a 2表示圆.

(2)证明:方程变形为 x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0.

对于 a 取任何值,上式成立,则有?????xx22++yy22-+48xy==00,,

解得???x=0, ??y=0,

??x=156, 或???y=-85,

2

∴C 过定点 A(0,0),B???156,-85???. (3)由(2)曲线 C 过定点 A、B,在这些圆中,当以 AB 为直径时,圆的面积最小(其余不以 AB

为直径的圆,AB 为弦,直径大于 AB 的长,圆的面积也大),

从而得以 AB 为直径圆的方程:

???x-85???2+???y+45???2=156, 2 8 4a 4 4+16a2 16
∴1+a=5,1+a=5, +a 2= 5 ,

解得 a=14.

4.在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个

交点,经过这三个交点的圆记为 C.

(1)求实数 b 的取值范围;

(2)求圆 C 的方程;

(3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.

解:(1)令 x=0,得抛物线与 y 轴的交点是(0,b);

令 f(x)=x2+2x+b=0,由题意知 b≠0 且 Δ >0,

解得 b<1 且 b≠0.

(2)设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

令 y=0 得 x2+Dx+F=0,这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,

故 D=2,F=b.

令 x=0 得 y2+Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=-b-1.

所以圆 C 的方程为 x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

(3)圆 C 必过定点,证明如下:

假设圆 C 过定点(x0,y0)(x0,y0 与 b 无关),将该点代入圆 C 的方程,并变形为 x20+y20+2x0 -y0+b(1-y0)=0(*),为使(*)式对所有满足 b<1 且 b≠0 的 b 都成立,只需 1-y0=0,结 合(*)式得 x20+y20+2x0-y0=0,解得

??x0=0
?

或???x0=-2

.

??y0=1

??y0=1

经检验知,点(0,1),(-2,1)均在圆 C 上,因此圆 C 过定点.

3


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