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2016-2017学年河南省许昌市五校高二上学期第一次联考数学(理)试题

许昌市五校联考高二第一次考试

理科数学试卷
考试时间:120 分钟 一、选择题: (每题 5 分,计 60 分) 分值:150 分

1. 已知集合 A. 个 B. 个

,那么集合 C. 个

的子集个数为( D. 个



2. 设 A. C.

,则( B. D.



3. 如果一个几何体的三视图如图所示,主视图与左视图是边长 为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形, (单位:cm) ,则此 几何体的侧面积是( ) A. C. 8 B. D. 14

4. 已知函数 A. 5. 函数 ≤ <0 B. ≤

是 R 上的增函数,则 的取值范围是( C. 恒过定点为( ≤ ≤ )



D. < 0

A.

B.

C.

D.

6.下列命题中错误的是( ) A.如果 B.如果 C.如果平面 D.如果 ,那么 ,那么 内一定存在直线平行于平面 内所有直线都垂直于平面 ,那么 内一定不存在直线垂直于平面 ,那么 ,那么空白的判断框中应填入的条件是( )

不垂直平面 , ,

7. 阅读如下程序框图,如果输出



1第

A.

B.

C.

D.

8.一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方 体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行” ,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) 4π A. 81 B. 81-4π 81 1 C. 27 7 D. 16

9.函数

的单调减区间为(



A.

B.

C.

D.

10.已知

,则

的值为(



A.

B.

C.

D. 的最小值是( )

11.若 是三角形的最小内角,则函数 A. 12.已知 是圆 的最小值是( ) C. 的结果是 , ,且 .若 的部分图象如右图, B. C. 的直径,点 为直线

D. 上任意一点,则

A. B. 二、填空题: (每题 5 分,计 20 分) 13.化简 14.已知两条直线 15.已知函数

D. .

平行,则 等于_________.

且与

轴交点

,则

16.已知如图,在△

中,







2第

, 则

, 的值为______.





三、解答题: (共 6 题,计 70 分) 17.(本题满分 10 分) 已知平面向量 (1)若 ,求 ; .

(2)若 与 夹角为锐角,求 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)

已知函数 (1)求 在 上的单调区间;



(2)设



的值。

19.(本小题满分 12 分) 某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为整数) 分成六段 , ?, , ,然后画出如下部分频率分布直方图.

观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及 60 分以上为及格)和平均分; (3)把从 B 组, 分数段选取的最高分的两人组成 分数段的学生组成 C 组,现从 B,C 两组中选两人参加科

普知识竞赛,求 这两个学生都来自 C 组的概率.

20. (本小题满分 12 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 是 的中点, 与 交于点 ,将 中, 分别是 沿 边上的点, ,

折起,得到如图 5 所示的三棱锥

,其中

.



3第

(1) 证明:

//平面

;

(2) 证明:

平面

;

(3) 当

时,求三棱锥

的体积

.

21.(本题满分 12 分) 已知圆 (1)若 (2)若点 ,直线 ,求直线 的倾斜角; 满足 ,求此时直线 的方程. ,且直线 与圆 交于 两点.

22.(本小题满分 12 分)

已知函数 (1)用定义法证明

, 在 上是增函数; 的实数 构成的集合; ,都存在一个实数 ,使得 ,求实数 的取值范

(2)求出所有满足不等式 (3)对任意的实数 围。



4第

数学答案(理科)
1— 5 BACCB 14 6---10 或 BBCBB 15. ; (2) 11---12 AD 16. 13. 0 三.解答题

17.(本题满分 10 分) 解:(1) 或 18、 (本题满分 12 分)(1)因为

,当





上的单调增区间为:

,减区间

(2)因为



,所以



又因为



,因为

所以

,因为

,所以



所以 19.(本题满分 12 分)

=

(3)

分数段的学生人数为:

人,即 C 组只有 3 人;把从 B 组抽取

的 2 人记为 、 ; 组的 3 人记为 、 、 ,则从 B、C 两组的 5 人中抽选 2 人去参加 竞赛的基本事件有: (b1,b2) , (b1,c1) , (b1,c2) ,(b1,c3) ,(b2,c1) ,(b2,c2) ,(b2,c3) ,( c1,c2),
页 5第

( c1,c3), ( c2,c3)共 10 种.设选中的 2 人都来 C 组的事件为 ,则 包含的基本事件有( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共 3 种. 因此 20. (1) 也成立, 平面 , . 故选中的 2 人都来自 C 组的概率为 ??????12 分 ,在折叠后的三棱锥 , 平面 平面 , ; ………………… 6 分 中

(2)在等边三角形

中,



的中点,所以

①,

.

在三棱锥

中,

, ; ………………… 8 分



(3)由(1)可知

,结合(2)可得

.

……… 12 分 21、 (本题满分 12 分) (1)由圆 ,得圆的半径 ,又 ,

故弦心距

.再由点到直线的距离公式可得

,



,解得

.即直线 的斜率等于



故直线 的倾斜角等于 (2)设



.----6 分 ,由题意 ,∴ ,即 ,化简可得 可得 .①----8 分

再把直线方程

代入圆 ,

由根与系数关系可得


.②,
6第

由①②解得 把点

,故点

的坐标为 ,即 . ,

.

----10 分

的坐标代入圆 的方程可得 或

故直线 的方程为 22.证明: (1)

------12 分 是 上任意两个值,且 ,则

的定义域为 ,设 、

∵ ∴







∴ ??3 分

在 上是增函数;

解: (2)∵ ∴ ∵ 又∵ 解得 在 上是增函数 在 上是奇函数 ∴ ∴ ∴所求实数 构成的集合为 7分

(3)∵ 设 在

在 上是增函数

∴当

时,



上的值域为 ,则由题意可知

∵ ① 当 时,函数

∴ 在

,解得 上为减函数,





所以






解得
7第

② 当

时,函数



上为增函数,

所以





解得

综上可知,实数 的取值范围为





??12 分



8第


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