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椭圆及其标准方程第一课时公开课


椭圆及其标准方程
(第一课时)

利津一中张欢

一、椭圆的定义
动手试一试 1、取一条一定长的细绳。 2、把细绳的两端绑在两个图钉上,让图 钉固定在两点处(有一定距离)。 3、当绳长大于两钉之间的距离时,套上 笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是 什么曲线?

动画演示

结合实验及“圆的定义” 思考讨论一下,试着给 椭圆下个定义!

1、椭圆的定义 : 椭圆的定义 :
平面内到两个定点F1、F2的距离之和 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫 做椭圆。
MF ? MF ? 2a 1 2

F F ? 2c 1 2

2a ? 2c ? 0,
焦点 焦距

焦点

绳长= F1F2

绳长<

F1F2

1、椭圆的定义 : 椭圆的定义 :
平面内到两个定点F1、F2的距离之和 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫 做椭圆。
MF ? MF ? 2a 1 2

F F ? 2c 1 2

2a ? 2c ? 0,
焦点 焦距

焦点

典例分析

1.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,

则动点P的轨迹为( A ) A.椭圆 B.线段F1F2

变式:

C.直线F1F2

D.无轨迹

(1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是 8,则动点P的轨迹为( B ) (2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是

7,则 动点P的轨迹为(D )

求曲线方程的一般步骤? 建系 代坐标 设点 化简 列式

y

M

y
M

F1

O

F2

x

F1

F2

x

方案二
y
M
O F1 F2

方案一

x

方案三

椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1、F2的距离的和为2a

y
M ( x, y )
F1?- c,0?

O

F2 ?c,0?

x
思考??

MF 1 ? MF 2 ? 2a

如何由此列式

(三)方程推导
设M(x, y)是椭圆上任 意一点,F1、F2的坐标 分别是(?c,0)、(c,0) .
F1 y M
O

F2

x

代入坐标

| MF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | MF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2

?a

2

? c ? x ? a y ? a ?a ? c
2 2 2 2 2 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

2

?
2

令 b ? a ?c
2 2

2

x y ? ? 1 2 2 a b

2

方程的推导

y F2

焦点在y轴上:以直线F1F2 为y轴,线段F1F2的垂直平 分线为x轴,建立坐标系。

o F1

x

y x ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b

2

2

椭圆的标准方程
y P F1 O F2 x P

y F2 O F1 x

F1(-c,0)、F2(c,0)

F1(0 ,-c)、F2(0, c)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 2 2 a b

2 2 2 b ? a ?c
x 下的分母大
2

a、b、c中a最大
y 下的分母大
2

典例分析 例1 判断下列各椭圆的焦点位置, 并说出焦点坐标、焦距。

2 2 y x (1) ? ? 1 (1)y轴 (0,1) (0,-1) 9 25 2 2 y x (2) ? ?1(2)x轴 ( 2,0) (? 2, 0) 4 2

探究定义

P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a(2a>2c)
y M y F2 F1
O

不 同 点





M x

F2

x

O

F1

标准方程 焦点坐标
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b b a F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

(a>b>0 ) 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

a2-c2=b2

谢谢!


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