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七中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题解析


成都七中 2013—2014 学年度下期 高一数学期末考试试卷
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)
【试卷综析】注重对基本知识和基本技能的考察:试题利用选择、填空、解答三种题型,全 面考察了这一阶段学习的高中数学的基本知识和基本技能, 考查了数形结合的思想方法; 注 重能力考查,在知识中考能力,试题体现考虑基础的一面,但并没有降低对能力的要求,靠 单纯的记忆公式就能解决的问题不多,而是将数学思想、数学素质、能力融入解题过程中。 试题通过不同的数学载体全面考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力. 一、 选择题(共 50 分)

琪 1.已知 a = 1,sin a , b = 琪 cos a, 桫
A. 30
0

(

)



1 , 且 a / / b ,则锐角 a 等于( 2
C. 65
0

).

B. 45

0

D. 75

0

【知识点】向 量 共 线 定 理 的 坐 标 运 算 . 【答案解析】B 解析 :解:∵ a / / b , ∴ 1? ∵ a 是 锐 角 , ∴ 2a ?
0 0

1 2
0

sin a c oa s=
0

0 , 化 为 sin2α = 1 . ,

180 ) . ∴ 2a = 9 0 , 解 得 a = 45 . 故 选 : B. (0 ,

【思路点拨】利 用 向 量 共 线 定 理 的 坐 标 运 算 即 可 得 出 . 2.已知 A,B,C 是直线 l 上三点,M 是直线 l 外一点,若 MA = xMB + yMC, 则 x , y 满足的 关系是( A. x + y 0 ) B. x + y >1 C. x + y < 1 D. x + y = 1

【知识点】向量共线的基本定理. 【答案解析】D解析 :解:因为 A,B,C是直线 l 上三点,所以A,B,C三点共线,则有

AB = k BC ,又因为 AB = MB - MA, BC = MC - MB ,由以上三个式子联立可以得到:
MB - MA = k MC - MB ,整理可得 MA = (1 + k ) MB +( - k ) MC ,而已知条件当中有

(

)

MA = xMB + yMC, 由此可得 x = 1 + k , y = - k ,故 x + y = 1 ,故选D.
【思路点拨】先借助于A,B,C三点共线,则有 AB = k BC ,然后用 k 表示出 MA 进而比较 可得 x + y = 1 . 3.已知 a + 4b = 1 ,则 ab 的最大值是( A.
2 2



1 2

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 8

【知识点】基本不等式.

【答案解析】B解析 :解:因为 a + 4b = 1 ,所以
2 1 1 a +( 2b) 1 a 2 + 4b2 ab = a ( 2b) 4 = ? 2 2 2 2 2 2

2

2

1 ,故选B. 4
4

【思路点拨】利用基本不等式直接求最大值即可. 4.已知 a + b > 0 , c > 0 ,则 a + b + c 琪 琪 A.5 B.6

(

+ )桫 a +b c
C.8

骣1

的最小值是( D.9



【知识点】基本不等式. 【答案解析】D解析 :解:把原式变形 a + b + c 琪 琪

(

+ )桫 a +b c

骣1

4

骣1 4 =轾 + ) + c琪 ( a+ b 琪 臌 桫a+ b c

=5+

4 a + b) c + ( ,又因为 a + b > 0 , c > 0 ,所以利用基本不等式可得 a +b c

5+

4 a + b) c c 4 ( a + b) + ( ?5 2 ? a +b c a +b c

5 + 4 = 9 ,故选D.

【思路点拨】把原式变形后利用基本不等式直接求最大值即可.

ì x- y 0 ? ? 5.设变量 x , y 满足约束条件 í x + y 1 ,则目标函数 z = 2 x + y 的最小值是( ? ? ? x +2y 1
A.



3 2

B.1

C.

1 2

D.2

【知识点】简 单 的 线 性 规 划 . 【答案解析】B 解析 :解:先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域 ,

当 直 线 z = 2 x + y过 点 A 琪 琪,

骣 1 1 时 , z 最 小 值是 1 , 故 选 B . 3 3 桫

【思路点拨】先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域 , 再 利 用 几 何 意 义 求 最 值 , z = 2 x + y 表

示 直 线 在 y轴 上 的 截 距 , 只 需 求 出 可 行 域 直 线 在 y轴 上 的 截 距 最 小 值 即 可 . 6.平面上 A, B, C 三点不共线, O 是不同于 A, B, C 的任意一点,若

( OB - OC) ( AB + AC) = 0 ,则 DABC 的形状是(
A, B, C 的任意一点, OB - OC



A.等腰 D B.Rt D C.等腰直角 D D.等边 D 【知识点】向量的基本运算;中垂线定理. ABC ,设BC中点为E点, O 是不同于 【答案解析】A解析 :解: 根 据 题 意 画 出 图 形 为 D

(

) ( AB + AC) = 0 ,即 CB?2 AE

0 ,所以 AE 是 BC 的中

ABC 是等腰 D ,故选A. 垂线,所以 AB = AC ,故 D

A

B

E

C

【思路点拨】画出图形后利用已知条件得到 CB?2 AE

0 ,然后再利用中垂线的性质即可.

7.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位 cm )可得这个几何体的体积 是( )

A.

4 cm3 3

B.

8 cm3 3

C.3 cm

3

D.4 cm

3

【知识点】三 视 图 的 应 用 ; 空 间 几 何 体 的 体 积 . 【答案解析】B 解析 :解:由 三 视 图 可 知 , 该 几 何 体 为 四 棱 锥 , 底 面 ABCD 为 边 长 为 2cm 的 正 方 体 , OE ⊥ CD 且 E 是 CD 的 中 点 ,

所 以 棱 锥 的 高 OE=2cm . 所 以 四 棱 锥 的 体 积 为

1 2 8 创 2 2= cm3. 故选 B . 3 3

【思路点拨】由 三 视 图 可 知 , 该 几 何 体 为 四 棱 锥 , 分 别 确 定 底 面 积 和 高 , 利 用 锥 体的体积公式求解即可. 8.如果将 OA = 琪

骣3 1 0 琪2 , 2 , 绕原点 O 逆时针方向旋转 120 得到 OB ,则 OB 的坐标是( 桫
B. 琪



A. 琪

骣1 3 琪 2, 2 桫

骣3 1 琪2 , - 2 桫

C.

(

- 1, 3

)

D. 琪

骣 3 1 琪 2 ,2 桫

【知识点】向量间的关系;点的对称性. 【答案解析】D解析 :解: 因 为 OA = 琪

骣3 1 0 琪2 , 2 所在直线的倾斜角为 30 ,绕原点 O 逆时 桫
0

针方向旋转 120 得到 OB 所在直线的倾斜角为 150 ,所以 A, B 两点关于 y 轴对称,由此可

0

知 B 点坐标为 琪

骣 3 1 骣 3 1 , , ,故选D. ,故 OB 的坐标是 琪 琪 2 2 琪 桫 桫 2 2 骣3 1 0 琪2 , 2 , 绕原点 O 逆时针方向旋转120 得到 OB 后可得 A, B 两点关 桫

【思路点拨】将 OA = 琪

于 y 轴对称,据此可得结果. 9.设 a =

2 tan130 1 3 cos 60 sin 60 , b = ,则有( 1 + tan 2 130 2 2
B. a > b C. a ? b

) D. a , b 的大小关系不确定

A. a < b

【知识点】两角差的正弦公式;万能公式;正弦函数的单调性. 【答案解析】 A解析: 解: 因为 a =
0

2 tan130 1 3 = sin 260 , cos 60 sin 6 0 = sin 24 0, b = 1 + tan 2 130 2 2
0

由正弦函数的单调性可知 sin 24 < sin 26 ,故选A. 【思路点拨】先把两个三角式化简,再利用正弦函数的单调性即可. 10.如图,在直角梯形 ABCD 中, DA = AB = 1, BC = 2 点 P 在阴影区域(含边界)中运动,

则有 PA BD 的取值范围是(



A. 犏 - ,1

轾1 犏2 臌

B. 犏 - 1,

轾 1 犏 臌 2

C. - 1,1

[

]

D. - 1,0

[

]

【知识点】向量的坐标表示;简单的线性规划. 【答案解析】C解析:解: 以 BC 所 在 的 直 线 为 x 轴 , 以 BA 所 在 的 直 线 为 y 轴 建 立 坐 标 系,如下图:

可得 B 0,0 , C 2,0 , A 0,1 , D 1,1 ,设 P x, y ,所以 PA BD = - x - y +1 ,令

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

z = - x - y +1 ,由几何意义可知z表示y轴上的负截距,可知过 B ( 0,0) 时有最大值1,与DC
重合时有最小值 - 1 ,故答案为 - 1,1 . 【思路点拨】建立坐标系后用坐标表示出 PA BD 后再借助于线性规划求得最值. 二、填空题(共 25 分) 11.已知数列 {an } 为等差数列,前九项和 S9 =18,则 a5 =_________ . 【知识点】等差数列的前n项和;等差数列的性质. 【答案解析】2解析 :解:

[

]

S9 =

9 ( a1 + a9 ) = 9a5 = 18 ,\ a5 = 2 ,故答案为:2. 2

【思路点拨】利用等差数列的前n项和以及等差数列的性质找出 S9 与 a5 间的关系解之即可. 12.如果数列 {an } 满足

1 1 = 1 , a1 = 1 ,则 a2014 = _________ . an +1 an

【知识点】 等差数列的通项公式;等差数列的定义.

【答案解析】

禳 1 1 1 1 镲 解析 :解:因为 a1 = 1 , = 1 ,所以数列 睚 是以1为首项, 2014 an +1 an an 镲 铪
1 1 1 = +( n - 1) d = 1 +( n - 1) ? 1 n ,所以 = 2014 ,即 an a1 a2014

1为公差的等差数列,则有

a2014 =

1 1 ,故答案为 . 2014 2014

【思路点拨】由等差数列的定义可得数列 睚

禳 1 镲 是等差数列,然后求其通项公式再求结果即 a 镲 铪n

可. 13.圆柱形容器内盛有高度为 4cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径 相同)后水恰好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径是________ cm.

【知识点】组 合 几 何 体 的 面 积 、 体 积 问 题 . 【答案解析】2 解析 :解:设 球 半 径 为 r , 则 由 3V 可得 球+ V 水 = V 柱

3?

4 3 p r p r 2创4 = p r 2 6 r, 解 得 r = 2 . 故 答 案 为 : 2. 3

【思路点拨】设 出 球 的 半 径 , 三 个 球 的 体 积 和 水 的 体 积 之 和 , 等 于 柱 体 的 体 积 , 求解即可. 14. 在等比数列 {an } 中, a1 + a2 + a3 =1, a4 + a5 + a6 =3 ,则该数列的前 9 项的和等于 _____ . 【知识点】等比数列的性质. 【答案解析】13 解析 :解: 因为 a4 + a5 + a6 = q 以 q3 = 3 ,而 a7 + a8 + a9 = q
3 3

( a +a
1

2

+ a3 ) = 3 , a1 + a2 + a3 = 1, 所

(a

4

+ a5 + a6 ) = 3? 3 9 ,所以该数列的前 9 项的和

S9 = ( a1 + a2 + a3 ) +( a4 + a5 + a6 ) +( a7 + a8 + a9 ) = 1+3 +9 = 13 ,故答案为:13.
【思路点拨】利用已知条件先求得 a7 + a8 + a9 ,再求该数列的前 9 项的和即可. 15.化简:

cos100 cos 400 1 - sin100

= _____ .

【知识点】诱导公式;二倍角的余弦公式的逆用;辅助角公式.

【答案解析】 2 解析 :解:

cos100 cos 400 1 - sin100

=

cos 2 50 - sin 2 50 cos 400

( cos5

0

- sin 50

)

2

2 sin 450 cos50 + cos 450 sin 50 cos50 + sin 50 2 sin 500 = = = = 2 ,故答案为 2 . cos 400 cos 400 cos 400
【思路点拨】借助于三角公式进行化简即可. 三、解答题(共 75 分)

(

)

ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 b2 = ac, 且 a 2 + bc = ac + c 2 . 16. D
(1)求 ?A 的大小; (2)求

b sin B 的值. c

【知识点】正弦定理;余弦定理. 【答案解析】(1) A = 60 (2)

3 2
1 ? A 60 . 2

ì b2 = ac ? ? 2 2 ? cos A 解析 :解: (1) í a + bc = ac + c ? 2 2 2 ? ? a = b + c - 2bc cos A
(2)

6分

b sin B sin B ? sin B 2 2 ,又 b ? ac ,有 sin B ? sin A sin C ,则 ? c sin C

b sin B 3 . ? sin A ? c 2

12 分

【思路点拨】(1)利用已知条件结合余弦定理即可得到结果; (2)正弦定理结合已知条件

b 2 ? ac 的变形 sin 2 B ? sin A sin C 即可.
17.已知 cos a + b =

(

)

1 3 , cos ( a - b ) = . 5 5

(1)求 tan a tan b 的值; (2)若 a + b ? 0, p a

(

)

骣 3p b? 琪 琪 , 0 , 求 cos 2 b 的值. 桫 2

【知识点】两角和与差的余弦公式. 【答案解析】(1)

1 3- 8 6 (2) 2 25

1 ? cos(? ? ? ) ? ? ? 5 解析 :解: (1) ? ? cos(? ? ? ) ? 3cos(? ? ? ) ?cos(? ? ? ) ? 3 ? 5 ?

? 4sin ? sin ? ? 2cos ? cos ? ? tan ? tan ? ?
1 ? 2 6 ?cos(? ? ? ) ? (2) ? 5 ? sin(? ? ? ) ? 5 ? ?? ? ? ? (0, ? )

1 2

5分

6 分

3 ? cos(? ? ? ) ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? (? ,0) ? 2 ?? ? ? ? (? 3? ,0) ? 2 ?
sin(? ? ? ) ? ? 4 5

7分

8分
3?8 6 25

cos 2 ? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ?

12 分

【思路点拨】 (1) 把两个已知条件展开即可; (2) 用 a + b 与 a - b 表示出 2 b 即可求 cos 2 b . 18.已知 a > 0, 解关于 x 的不等式 ax - 2 a +1 x + 4 < 0 . 【知识点】含参数的一元二次不等式的解法. 【答案解析】不等式的解集为当 0 ? a ? 1 ,解为 2 ? x ? 当 a ? 1 ,无解 解析 :解:方程 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 的两根为 , 2 ,
2

(

)

2 2 ;当 a ? 1 ,解为 ? x ? 2 ; a a

2 a

1 当 0 ? a ? 1 ,即

2 2 ? 2 ,解为 2 ? x ? ; a a 2 2 2 当 a ? 1 ,即 ? 2 ,解为 ? x ? 2 ; a a 2 3 当 a ? 1 ,即 ? 2 ,无解; a

4分 8分 11 分

综上,不等式的解集为当 0 ? a ? 1 ,解为 2 ? x ? 当 a ? 1 ,无解 12 分 【思路点拨】对参数进行分类讨论即可.

2 2 ;当 a ? 1 ,解为 ? x ? 2 ; a a

19.已知向量 p1 = cos a ,sin a ,向量 p2 = cos b ,sin b . (1)求 p1 在 p2 方向上的投影; (2)求 p1 + 2 p2 的最大值; (3)若 a - b =

(

)

(

)

p , l ? R , an = 轾 l p 犏 臌 1 3

( )

p2 , Sn = a1 + a2 +... + an ,求 Sn .

n

【知识点】向量的数量积公式; 向量的坐标表示; 分类讨论的思想方法;等比数列求和.

ì n, l = 2 ? ? 【答案解析】(1) cos(a - b ) (2)3(3) S n = í l (1 - ( 1 l ) n ) ? 2 ,l ? 2 ? 2- l ?
解析 :解: (1) p1在 p2方向上的投影为

p1 ? p2 | p2 |

= cos(? ? ? )

3分

(2) | p1 +2 p2 |2 =5+4cos(? ? ? ) ? 9 ?| p1 +2 p2 | ? 3 , 当 cos(? ? ? ) ? 1 ,即当 ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 时, | p1 + 2 p2 |max ? 3 ,
?an ? (? p1 ? p2 ) n ? (? cos(? ? ? )) n 1 ? (3) ? ? an ? ( ? ) n , ? 2 ?? ? ? ? 3 ?

7分

9分

1 1 Sn ? ( ? )1 ? ( ? ) 2 ? 2 2

1 ? ( ? )n , 2

ì n, l = 2 ? ?1 1 l (1 - ( l ) n ) ? ? 2 2 Sn = í , l 构 2且l 1 ? 1- l ? 2 ? ? ? 0,l =0

ì n, l = 2 ? ? 0 = í l (1 - ( 1 l ) n ) 12 分 ? 2 ,l ? 2 ? 2- l ?

【思路点拨】 (1) 利用向量的数量积公式的变形公式即可; (2) 用向量的坐标表示出 p1 + 2 p2 再求最大值即可; (3)利用分类讨论的思想方法求等比数列的前 n 项和即可. 20.已知函数 f ( x) = cos2 x + 2 3sin x cos x - sin 2 x . (1)当时 x ? 犏 0,

轾p ,求 f ( x ) 的值域; 犏 臌2
6 p 2p , <q < ,求 cos 2q 的值; 5 6 3

(2)如果 f (q ) = (3)如果 f (q ) =

骣 6 2 p ,求 tan 琪 琪 - q 的值. 5 6 桫

【知识点】降次公式;辅助角公式;函数的值域;两角差的余弦公式. 【答案解析】(1) [?1, 2] (2)

1 3? 4 3 (3) 4 10

解析 :解: (1)解: f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

)…

2分

? ? ? 7? ? x ? [0, ] ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6 1 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6
? f ( x) 的值域为 [?1, 2]



3分 …4分

6 ? 3 ? sin(2? ? ) ? 5 6 5 ? 2? ? ? 3? 又 , ? ? 2? ? ? ?? ? 6 3 2 6 2 ? 4 ? cos(2? ? ) ? ? 6 5

(2)

f (? ) ?

…5 分 …7 分

? cos 2? ? cos[(2? ?

?

)? ] 6 6

?

4 3 3 1 ? ? ? ? = cos(2? ? ) cos ? sin(2? ? ) sin =? ? ? ? 5 2 5 2 6 6 6 6

=

3? 4 3 10
f (? ) ?

…8 分

6 ? 3 ? sin(2? ? ) ? 5 6 5 ? ? 3 ? cos( ? 2? ) ? sin(2? ? ) ? 3 6 5

(3)

…10 分

sin 2 ( ? ? ) 1 ? cos( ? 2? ) 2 ? 6 3 ? ? tan ( ? ? ) ? ? ? 6 cos 2 ( ? ? ) 1 ? cos( ? 2? ) 6 3 3 1? 1 = 5? … 13 分 3 4 1? 5

?

?

…12 分

【思路点拨】(1)先把函数化简,然后再借助于定义域可求; ( 2)利用已知条件可求出

p p ? ? sin(2q + ), cos(2q + ) ,然后代入 cos 2? ? cos[(2? ? ) ? ] 的展开式即可; (3)利 6 6 6 6
用正切式可求.
n 21.已知数列 {an } 的前项 n 和 S n = 2an - 3?2

4 n

(

N* .

)

(1)求证数列 睚 n 是等差数列; n (2)设 Tn 是数列 {Sn - 4} 的前项 n 和,求 Tn ;

禳 a 镲 镲 2 铪

(3)设 cn =

( 3n +5) 2
an an+1

n- 1

,数列 {cn } 的前项 n 和为 Qn ,求证

2 ? Qn 5

1 . 2

【知识点】构造新数列;错位相减法;数列的单调性. 【答案解析】(1)见解析(2) Tn ? 14 ? (14 ? 6n)2n (3)见解析 解析 :解: (1)证明:

S n ? 2an ? 3 ? 2n ? 4




当 n ? 2 时, S n ?1 ? 2an ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 4

①-②得: an ? 2an ? 2an ?1 ? 3 ? 2n ?1 即 an ? 2an ?1 ? 3 ? 2n ?1 ,等式两边同除 2 得:

n

an an ?1 3 a ? n ?1 ? ,? 数列 { n } 是等差数列 n 2 2 2 2n
S1 ? 2a 1 ?3 ? 21 ? 4 ,? a1 ? 2 ,由(1)

…4 分

(2)

? an ?

3n ? 1 n ? 2 ,? S n ? 4 ? (3n ? 4)2n 2

an a1 3 3n ? 1 ? 1 ? (n ? 1) = n 2 2 2 2
…6 分

Tn ? ( S1 ? 4) ? ( S 2 ? 4) ? ... ? ( S n ? 4) = (3 ?1 ? 4)21 ? (3 ? 2 ? 4)22 ? ... ? (3 ? n ? 4)2 n
错位相减易求 Tn ? 14 ? (14 ? 6n)2n (3) Cn ? …8 分

(3n ? 5)2n ?1 (3n ? 5) = 3n ? 1 n 3n ? 2 n ?1 (3n ? 1) ? (3n ? 2) ? 2n ?2 ? ?2 2 2

…9 分

=

2(3n ? 2) ? (3n ? 1) (3n ? 1) ? (3n ? 2) ? 2n 1 1 …12 分 ? n ?1 (3n ? 1)2 (3n ? 2)2n 1 1 ? 0 (3 ?1 ? 1)2 (3n ? 2)2n
…13 分

=

易求 Qn ?

=

1 1 ? 2 (3n ? 2)2n

显然 {Qn } 单增,又

1 1 2 1 >0,? Q1 ? Qn ? ,即 ? Qn ? …14 分 n 2 5 2 (3n ? 2)2

【思路点拨】(1)由已知得到 S n ?1 ? 2an ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 4 ,两式相减构造新数列即可证明; (2)利用错位相减法求和即可; (3)利用函数的单调性即可证明.


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