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海南省海南中学2011D2012学年高一上学期期中考试(数学)


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海南省海南中学 2011—2012 学年高一上学期期中考试(数学)
(1-20 班用)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合要求的. )

1.设集合 U ? {1,2,3,4}, A ? {1,2}, B ? {2,4}, 则 CU ( A ? B) ? A. {1,4} B. {1,2,4}
2 x

C. {2}

D. {3}

2. 函数 f ( x) ? ln x ? 的零点所在的大致区间是 A.(1,2) B.(2,3) C.(e,3) D. (e,?? )

3.若函数 f ( x) ? x3 , 则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是 A.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数
1 3

B.单调递减的偶函数 D.单调递增的奇函数
1

4.若实数 a ? log1 3, b ? ( )0.2 , c ? 2 3 , 则
2

A. b ? a ? c

B. c ? b ? a
1

C. c ? a ? b

D. a ? b ? c

5. 幂函数 y ? x? (? ? ?1, ,2) 在第一象限内的图像如图, 相应于曲线 C1 , C2 , C3 , C4 的 2 y ? 的值依次为 C1
1 2 1 C. 2,1, ,?1 2

A. ? 1, ,1,2

1 ,?1,2,1 2 1 D. ,1,2,?1 2

B.

C2

1
O

C3

1

C4x

6.设 0 ? a ? 1, 函数 y ? log 1 | x | 的图像形状大致是
a

y

y

y ?1

y

1
O

1
x
O

x

O 1 C

x ?1 O

1

x

A

B

D

7.方程 log2 ( x ? 4) ? 2 x 的根的情况是 A.仅有一根 C.有一正根和一个负根 B.有两个正根 D.有两个负根

8.给出下列三个等式: f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y), f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),

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x f ( ) ? f ( x) ? f ( y ). 下列函数中不满足其中任何一个等式的是 y

A. f ( x) ? 3x

B. f ( x) ? x?1

C. f ( x ) ? 3 x

D. f ( x) ? log2 x

? 1 x ?( ) ? 7 ( x ? 0) , 若 f (a) ? 1, 则实数 a 的取值范围是 9. 设函数 f ( x) ? ? 2 ? x ( x ? 0) ?

A. (??,?3)

B. (1,??)

C. (?? ,?3) ? (1,?? ) D. ( ?3,1)

10.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? ab ? a ? b (a, b 为非负实数) ,若
1 ? k ? 3, 则函数 f ( x) ? k ? x 的值域为

A. [0,?? ) 11.已知f ( x) ? ?

B. [ ,?? )

1 2

C. [1,??)

D. [3,??)

?1, x ? 0, 则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 ?? 1, x ? 0.

A. {x | ?2 ? x ? }

3 2

B. {x | x ? ?2}

C. {x | x ? }

3 2

D. ?

12.当 x ?[0,2] 时,函数 f ( x) ? ax2 ? 4(a ?1) x ? 3在x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值 范围是 A. [ ,?? )
2 3 1 2

B. [0,?? )

C. [1,??)

D. [? ,??)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 13.已知函数 f ( x), g ( x) 分别由下表给出:
x
f ( x)

1 2

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

则 f ( g (3)) ? ____, g ( f (3)) ? ____. 14. 函数 f ( x) ? a x ? 2011 ? 2010(a ? 0, 且a ? 1) 的图像恒过定点_____. (写出点的坐标)
且a ? b ? 0, 则 15. 已知 a, b是方程x 2 ? 6x ? 4 ? 0的两根,

a? b a? b

? ___ .

16. 函数 f (x)= loga (4 ? ax) 在 [0,3] 上是减函数, 则 a 的取值范围为__. (用区间表示)

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三、解答题:(本大题共 6 小题,共 52 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(8 分 ) 计算下列各式的值: (1) (?3 )
3 8
? 2 3 1

? 5 ? (0.2) 2 ? ( 5 ? 2) ?1 ? ( 2 ? 3 )0 ;

(2) (2 ? log3

32 ) ? log2 3 ? 2 ln e ? 21?log2 3. 9

18. (8 分) 已知函数 f ( x) ? 1? | x ? a | ? x 2 是偶函数, 当 x 为何值时,f ( x) 有最大值? 其最大值为多少?

19. (8 分) 已知函数 f ( x) ? log0.5 (4x ? 3) 的定义域为 A,函数 g ( x) ? 2 x (?1 ? x ? m) 的 值域为 B, (1)当 m ? 1 时,求 A? B ; (2)若 A? B ? A ,求实数 m 的取值范围.

20. (8 分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度 间的关系为指数型函数.若牛奶在 0? C 的冰箱中,保鲜时间约是 192 h ,而在 22? C 的厨房中则约是 42 h . (1)写出保鲜时间 y (单位为 h )关于储藏温度 x (单位为 ? C )的函数解析式; (参考数据 22
7 ? 0.93) 32

(2)如果把牛奶分别储藏在 10? C 和 5? C 的两台冰箱中,哪一台冰箱储藏牛奶保 鲜时间较长?为什么?

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21. (10 分)设 a ? 1, 函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 2x ? a), x ?[?3,3] , (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 的最大值为 5,求 f ( x) 的最小值.
e x ? e? x ( x ? R, e ? 2.71828...) 2

22. (10 分)已知函数 f ( x) ?

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性和单调性; (2)是否存在实数 k ,使不等式 f ( x ? k ) ? f ( x2 ? k 2 ) ? 0 对任意 x ? R 恒成立.若存 在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

海南中学 2011—2012 学年度上学期期中考试
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数学试题参考答案及评分标准
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) DBADC DCADC CA 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 13.2,3 14. (?2011,2011) 15.

5 5

16. (1, )

4 3

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 52 分) 17.解: (1)原式= (?

27 ? 3 1 1 ) ? 5? ( ) 2 ? ?1 8 5 5?2

2

1

?

4 4 5 ? 5 ? 5 ? 2 ? 1 ? ?1 ? ? ......... 4分 9 9 9

(2)原式 ? (2 ? log3 32 ? 2) ? log2 3 ? 1 ? 6

? 5 log3 2 ? log2 3 ? 7 ? 12.......... .......... .......... .8分
18.解:? f ( x) 的定义域为 R, 且 f ( x) 是偶函数,

? f (? x) ? f ( x)对任意x ? R都成立 ? 1? | ? x ? a | ? x 2 ? 1? | x ? a | ? x 2 ?| x ? a |?| x ? a | 对任意x ? R都成立, ? a ? 0......... .......... ...3 分
从而 f ( x) ? 1? | x | ? x 2 ,…….4 分

1 5 令t ?| x | ,? x ? R,? t ? 0, 且g (t ) ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? , t ? [0,?? ) 2 4 1 5 ?当t ? 时, g (t )有最大值为 , 2 4 1 5 ?当x ? ? 时, f ( x)有最大值, 且最大值为 .......... .......... ...... 8分 2 4
?4 x ? 3 ? 0 3 19.解: ? log0.5 (4 x ? 3) ? 0 ? ? ? ? x ?1 4 ?4 x ? 3 ? 1 3 ? A ? {x | ? x ? 1}......... ......... 2分 4
? g ( x) ? 2 x 在[?1, m]上是减函数, ? 1 1 ? g ( x) ? 2 m ,? B ? { y | ? y ? 2 m } 2 2

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(1)当m ? 1时, B ? { y |

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1 3 ? y ? 2} ? A,? A ? B ? {x | ? x ? 1}......... 5分 2 4

1 3 (2) ? A ? B ? A,? A ? B, 又B ? [ ,2 m ], A ? ( ,1] 2 4 m ? 2 ? 1, 解得m ? 0 又 ? m ? ?1, ? m ? 0, ? m的取值范围为 [0,?? )......... ..... 8分

20.解 : (1)设函数y ? ka x (k ? R, 且k ? 0; a ? 0, 且a ? 1), 则
0 ? ?ka ? 192 ? 22 ? ?ka ? 42

?k ? 192 ? 解得? 7 ? 0.93 ?a ? 22 32 ?

? 所求函数解析式为 y ? 192 ? 0.93x.......... ..... 5分
(2) ? f ( x) ? 192 ? 0.93x 是减函数, 且10 ? 5, ? f (10) ? f (5) ? 把牛奶储藏在5? C的冰箱中保鲜时间较长 .......... ......... 8分
21.解: (1)由 a ? 1, 知x 2 ? 2x ? a ? 0对任意x ?[?3,3]都成立, 令 u( x) ? x 2 ? 2x ? a,x ?[?3,3] ,则 y ? log2 u ,

且u ( x) ? ( x ? 1) 2 ? a ? 1, x ? [?3, 3], ? u ( x)在[?3, ? 1]上为减函数,在 [?1, 3]上为增函数 又y ? log2 u为增函数, ? f ( x) ? log2 ( x 2 ? 2 x ? a)的两个单调区间为 [?3, ? 1], [?1, 3], 且f ( x)在[?3,?1]上为减函数, 在[?1,3]上为增函数......... 5分
(2)由(1)的单调性知,f (x)在 x ? ?1 处达到最小值,在 x ? 3 处达到最大值。

? f ( x) max ? f (3) ? log2 (a ? 15), 依题意log2 (a ? 15) ? 5, 解得a ? 17, ? f ( x) min ? f (?1) ? log2 16 ? 4.......... .......... 10分

22.解 : (1) ? f ( x) ?

e x ? e?x ( x ? R), 2 e?x ? e x e x ? e?x ? f ( ? x) ? ?? ? ? f ( x), 2 2 ? f ( x)为奇函数.......... .......... ....2分

任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,

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则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

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1 x1 1 (e ? e ? x1 ) ? (e x2 ? e ? x2 ) 2 2 1 x1 1 ? (e ? e x2 )(1 ? x ? x ) 2 e1 2 1 ? e x1 ? x2 ? 0,?1 ? x ? x ? 0, 1 e 2 又 ? x1 ? x2 ,? e x1 ? e x2 ,? e x1 ? e x2 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在R上是增函数.(也可用函数性质判定 ).......... .5分
(2)由(1)知,f (x)是奇函数且在 R 上是增函数,

于是f ( x ? k ) ? f ( x 2 ? k 2 ) ? 0 ? f ( x 2 ? k 2 ) ? ? f ( x ? k ) ? f ( x 2 ? k 2 ) ? f (k ? x) ? x 2 ? k 2 ? k ? x ? x 2 ? x ? k 2 ? k ? 0对任意x ? R恒成立

? ? ? 1 ? 4(?k 2 ? k ) ? 1 ? 4k 2 ? 4k ? (2k ? 1) 2 ? 0,

1 ? 2k ? 1 ? 0,?k ? ? , 2 1 ?当k ? ? 时, 不等式f ( x ? k ) ? f ( x 2 ? k 2 ) ? 0对任意x ? R恒成立.......... ...10分 2

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