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2014届高三数学冲刺高考真题训练2(理)


2014 届 高 三 数 学 冲 刺 高 考 真 题 训 练 2( 理 )
一.真空题 (本大题满分 56 分) 1.若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位),则其共轭复数 z =__________________ . 2.已知集.合 A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | x ? a? ,且 A ? B ? R ,则实数 a 的 取值范围是___________ .

4 5 x
3.若行列式 1 x 3 中,元素 4 的代数余子式大于 0,

7 8 9
则 x 满足的条件是________________________ . 4.某算法的程序框如右图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是____________________________ . 5.如图, 若正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面连长为 2,高为 4, 则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是______________ (结果用反 三角函数表示). 6.函数 y ? 2cos x ? sin 2x 的最小值是____________________ .
2

7.某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若用随机变量 ? 表示 选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E? ____________(结果用最简分数表示). 8.已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的表面积 S1 , S 2 , S 3 ,满 足的等量关系是___________. 9. 已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a > b > 0 )的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 a2 b2

PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF
10. 在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ? ________

?
3

, ? cos? ? ? sin ? ? 1 围成图形的面积是

时 ,不等式 sin 11.当 0 ? x ? 1

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是_______________.

-1-

12.已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

? ? ?? , ? ,且公差 ? 2 2?

d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =____________是, f (ak ) ? 0 .
13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。若

2) , (3, 4) , (?2, 3) , 以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点 (?2, 1) , (3, (4, 5) , (6, 6) 为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站,使 6 个零
售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 14. 将 函 数 y ? 4 ? 6 x ? x 2 ? 2 ( x ? ?0, 6?) 的 图 像 绕 坐 标 原 点 逆 时 针 方 向 旋 转 角

? (0 ? ? ? ? ) ,得到曲线 C .若对于每一个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图像,则 ? 的
最大值为__________ 二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分。

“?2 ? a ? 2” 15. 是“实系数一元二次方程 x ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的
2

(A)必要不充分条件 (C)充要条件 16.若事件 E 与 F 相互独立,且 P ? E ? ? P ? F ? ? (A) 0 (B)

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

1 16

(C)

1 4

1 ,则 P ? E I F ? 的值等于 4 1 (D) 2

17.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染 的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地 新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 (A)甲地:总体均值为 3,中位数为 4 (C)丙地:中位数为 2,众数为 3
2 2

(B)乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 (D)丁地:总体均值为 2,总体方差为 3

18.过圆 C: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B, ?AOB 被圆分 成四部分 (如图) , 若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有 ( (A) 0 条 (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条 )

-2-

三.解答题(本大题满分 78 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定 区域内写出必要的步骤 19(本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC ? AB ? 2 ,

AB ? BC ,求二面角 B1 ? AC 1 ? C1 的大小。

20(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 有时可用函数

a ? 0.1 ? 15ln , ( x ? 6) ? ? a?x f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? ? x?4
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) , f ( x ) 表示
*

对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1) 证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; (2) 根据经验, 学科甲、 乙、 丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121] , (121,127] , (121,133] 。 当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科。

21. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分。 已知双曲线 c :

v x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 2

(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2

-3-

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分。 已知函数 y ? f ( x) 的反函数。定义:若对给定的实数 a(a ? 0) ,函数 y ? f ( x ? a) 与 ; 若 函 数 y ? f (ax) 与 y ? f ?1 ( x ? a) 互 为 反 函 数 , 则 称 y ? f ( x) 满 足 “ a 和 性 质 ” 。 y ? f ?1 (ax) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 积性质” (1) 判断函数 g ( x) ? x 2 ? 1( x ? 0) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由; (2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3) 设函数 y ? f ( x)( x ? 0) 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质” 。求 y ? f ( x) 的表达式。

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题 满分 8 分。 已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1) 若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
*

(2) 找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N ,
*

an ?1 ? bn ,并说明理由; an

(3) 若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的和是 数列 ?bn ? 中的一项,请证明。

-4-

2009 年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准
1.
5

i

2.

a ?1

8 3. x ? 3
7.

? 2x , x ? 1 4. y ? ? ? x ? 2, x ? 1
8.

arctan 5

6. 1-- 2

4 7
11. k ? 1

s1 ? 2 s2 ? 3 s3

9. 3

10.

3? 3 4
2 3

12.14

13. ? 3,3?

14. arctan

二. (第 15 题至第 18 题)

题号 代号

15 A

16 B

17 D

18 B

三. (第 19 题至第 23 题) 19.解 如图,建立空间直角坐标系。 则 A ? 2,0,0? ,C ? 0,2,0? ,A1 ? 2,0,2? , B1 ? 0,0,2? ,C1 ? 0,2,2? , 设 AC 的中点为 M, ?? 2 分

BM ? AC,BM ? CC1, 面 ??5

?


BM ? 平面 AC1C,即 BM = ?1,1,0 ? 是平

AC1C 的一个法向量。 设平面 A1B1C 的一个法向量是 n = ? x, y, z ? ,

AC 1 = ? ?2, 2, ?2 ? , A 1B 1 = ? ?2,0,0 ? ,


?? 7

z ? 1, ? n ? A1B1 = ?2 x =0,? n ? AC 解得 x ? 0, y ? 1 。 1 = ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ,

? n = ? 0,1,1? ,
10 分 设 法 向 量

??

n



BM









?









B1 ? AC 的大小为?,显然?为锐角 。 1 ? C1

-5-

cos ? ? cos ? ?

1 ? ? ,解的? = . 3 n ? BM 2

n ? BM

? 二面角B1 ? AC1 ? C1的大小为 。 3
?? 14 分

?

20.?证明( ? 1)当x ? 7时,f(x+1)-f(x)=

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 ? 7时,函数y=( x ? 3)( x ? 4)单调递增,且( x ? 3)( x ? 4) ? 0. 故f(x+1)-f(x)单调递减. ?当 ? 7,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降. a ? ? ?解( ? 2)由题意可知0.1 ? 15ln a ? 6 ? 0.85, a ? e0.05 , a?6 e0.05 解得a ? 0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? ?121,127 ?. e ?1 由此可知,该学科是乙学科。 整理得
21. ? ?解? ? (1)双曲线 C 的渐近

m:

x ? y ? 0 线即 x ? 2 y ? 0 2

?? 2 分 ?? 6 分

? 直线 l 的方程 x ?

2y ? 3 2 ? 0
3 2 ? 6 1? 2

? 直线 l 与 m 的距离 d ?

?? 8 分

(2) ? ?证法一? ? 设过原点且平行于 l 的直线 b : kx ? y ? 0, 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2k 1? k 2



当k ?

2 时, d ? 6 。 2

?? 12 分

又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0 ,

? 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方, ? 双曲线 C 的右支上的任意点到直线 l 的距离大于
6。
-6-

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ( x0 , y0 ) 到到直线 l 的距离为 6

?? 16 分

? ?证法二? ? 假设双曲线 C 右支上存在点 Q ( x0 , y0 ) 到到直线 l 的距离为 6 ,
则 , (1)





1



? kx ? y ? 3 2k 0 0 ? ? ? 6 ? 1? k 2 ? ( 2 得 ? x0 2 ? 2 y0 ? 2 ?
2)

y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ,

?? 11 分 设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ,

k?

2 2

当时, t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 0 :

t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k ? 6 ?
2

2k 2 ? 1 3k ? 1 ? k
2
2

?0

?? 13 分 将 y0 ? kx0 ? t

代入(2)得 (1 ? 2k 2 ) x02 ? 4tkx0 ? 2(t 2 ?1) ? 0 ,

k?

2 2

,t ? 0

? 1 ? 2k 2 ? 0, ?4kt ? 0, ?2(t 2 ?1) ? 0.
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ( x0 , y0 ) 到到直线 l 的距离为 6 22.解 (1)函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 的反函数是 g ?1 ( x) ?
2

?? 16 分

x ?1( x ? 1) ,

? g ?1 ( x? 1 )?

x ( x? 0, )
2

而 g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? ?1) ,其反函数为 故函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 不满足“1 和性质”
2

y?

x? 1 ? 1 (x ? 1 )
?? 4 分

-7-

(2)设函数 f ( x) ? kx ? b( x ? R) 满足“2 和性质” ,k ? 0。

x ?b f ( x) ? ( x ??R ? k
?1

f ?1 ( x ? 2) ?

x ? 2?b k

? ,?

?? 6

分 而 f ( x ? 2) ? k ( x ? 2) ? b( x ? R) ,得反函数 y ?

x ? b ? 2k ? 8分 k

由“2 和性质”定义可

k ? 2 ? b x ? b ? 2k ? k k

知对 ( x ? R) 恒成立。

? k ? ?1, b ? R? 即所求一次函数 f ( x) ? ? x ? b(b ? R) .

?10 分

(3)设 a ? 0, x0 ? 0, 且点 ( x0 , y0 )在y ? f (ax) 图像上,则 ( y0 , x0 ) 在函数

y ? f ?1 (ax) 图像上,

? f (ax0 ) ? y0 ? ? f ? 1(ay0 ) ? x0



可 , ( x
0



a

0

?y (

? 0f )

a )?? f 12 分a

x

x 令 ax0 ? x, 则a ? , x0
14 分

f ( x0 ) ?

x f ( x0 ) x f ( x),即f ( x) ? 0 x0 x

?.

??

综上所述, f ( x) ? (k ? 0), 此 是,
?1

k x

f ( ax ) ?

k k , 时其反 y ? ax ax





而f 23 解 分

(ax ) ?

k , 故 y ? f (ax)与y ? f ?1 (ax) 互为反函数。 ax

??16 分 ??2

(1)由 am ? am ?1 ? ak , 得6m ? 5 ? 3k ? 1 ,

整理后,可

k ? 2m ?

4 得, 3

m、k ? N * ,? k ? 2m 为整数,

? 不存在 m、k ? N * ,使等式成立。

??5
-8-



a (2)解法一 若 n ?1 ? bn , an

a1 ? nd ? b1q n ?1 a1 ? (n ? 1)d

即,

(*)

(i)若 d ? 0, 则 1 ? b1q n?1 ? bn , 当 ?an ? 为非零常数列, ?bn ? 为恒等于 1 的常数列,满足要求。??7 分
1 ? 1, (ii)若 d ? 0 , (*)式等号左边取极限 lim n ?? a ? (n ? 1)d 1 等号

a ? nd

得(*)式

右只边只有当 q ? 1 时,才可能等于 1,此时等号左边是常数, d ? 0 ,矛盾。 综上所述,只有当 ?an ? 为非零常数列, ?bn ? 为恒等于 1 的常数列,满足要求。 ??10 分 解法二 设 an ? nd ? c ,若

an ?1 ? bn ,对 n ? ?? 都成立,且 ?bn ? 为等比数 an

列,则

an ? 2 an ?1 2 / ? q ,对 n ? ?? 都成立,即 an an?2 ? qan ?1 , an ?1 an

? (d n?

c ) ( d? n 2 d ?

) c?

2 q ( d ?n ? d,对 ) c n ? ?? 都成立,? d 2 ? qd 2 ??7 分
?

(i)若 d ? 0, 则an ? c ? 0 ,? bn ? 1, n ? ? 。 (ii)若 d ? 0 ,则 q ? 1,? bn ? m(常数),即

dn ? d ? c ? m, 则d ? 0, 矛盾. dn ? c
?

综上所述, 有an ? c ? 0,bn ? 1 ,使对一切 n ? ? , 分 (3) an ? 4n ? 1, bn ? 3n , n ? N * , 设 am?1 ? am?2 ?

an ?1 ? bn 。 ??10 an

? am? p ? bk ? 3k , p、k ? N * , m ???

4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p ) ? 1 p ? 3k , 2

? 4m ? 2 p ? 3 ? 3


k

p



p、k ? N * ,? p ? 3s , s ? N

??13

-9-

2s+2 取 k ? 3s ? 2, 4m ? 32 s ?2 ? 2 ??s ? 3 ? (4-1) ? 2 ??? ???s ? 3 ? 0 ,??15


2s+2 由二项展开式可得整数 M1、M2 ,使得 (4-1) =4M1 +1, s 2? (4-1) ? 8M 2 ? (?1)S 2

? 4m ? 4(M1 ? 2M2 ) ? ((?1)S ?1)2, ? 存在整数 m 满足要求。
故当且仅当 p ? 3s , s ? N ,命题成立。 分 说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am?1 ? am?2 ? ??18

? am? p 为偶数,但 3k 为奇数。
??1

故此等式不成立,? p 一定为奇数。 分 当 p ?1 时,则 am?1 ? bk ,即4m ? 5 ? 3k , 而 3k ? (4 ?1)k
0 k ?1 ? ck ? 4k ? c1 ? (?1) ? k ?4

k ?1 k ? ck ? 4 ? (?1)k ?1 ? ck ? (?1)k ? 4M ? (?1)k , M ???
k

当 k 为偶数时,存在 m ,使 4m ? 5 ? 3 成立, 当 p ? 3时,则 am?1 ? am?2 ? am?3 ? bk ,即3am?2 ? bk , 也即 3(4m ? 9) ? 3 ,? 4m ? 9 ? 3
k k ?1

??1 分

, 4(m ? 1) ? 5 ? 3k ?1 ,
k

由已证可知,当 k ? 1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m , 4m ? 9 ? 3 成立,??2 分 当 p ? 5时,则 am?1 ? am?2 ?
k
k

? am?5 ? bk ,即5am?3 ? bk ,

也即 5(4m ? 13) ? 3 ,而 3 不是 5 的倍数,? 当 p ? 5时,所要求的 m 不存在, 故不是所有奇数都成立。

- 10 -


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