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2013年高三数学二轮复习课件 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线


第二讲

椭圆、双曲线、抛物线

1.定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). x2 y2 2.标准方程:焦点在 x 轴上: 2+ 2=1(a>b>0); a b y 2 x2 焦点在 y 轴上: 2+ 2=1(a>b>0); a b 焦点不确定:mx2+ny2=1(m>0,n>0). c 3.离心率:e= = a b 2 1-( ) <1. a

2b2 4.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 . a

[例 1] (2012 年高考安徽卷)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是 x2 y2 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 a b a2 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于点 Q. c (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

b2 [解析] 解法一 由条件知,P(-c, ),故直线 PF2 的斜率为 kPF2 a b2 -0 a b2 = =- . 2ac -c-c 因为 PF2⊥F2Q,所以直线 F2Q 的方程为 2ac 2ac2 y= 2 x- 2 , b b a2 故 Q( ,2a). c a2 由题设知, =4,2a=4,解得 a=2,c=1. c x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3

a2 b2 解法二 设直线 x= 与 x 轴交于点 M.由条件知,P(-c, ). c a |PF1| |F1F2| 因为△ PF1F2∽△F2MQ,所以 = , |F2M| |MQ| 即 b2 a a2 -c c 2c = ,解得|MQ|=2a. |MQ|

a2 ? =4, ?a=2, ?c 所以? 解得? ?c=1. ?2a=4, ? x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3

a2 x- y-2a c (2)证明:直线 PQ 的方程为 2 = , b a2 -2a -c- a c c 即 y= x+a. a x2 y2 将上式代入 2+ 2=1 得 x2+2cx+c2=0, a b b2 解得 x=-c,y= . a 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

x2 1.已知圆 M:x +y +2mx-3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 C: 2+ a
2 2

y2 =1 的左焦点为 F(-c,0),若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 3 相切,则 a 的值为( 3 A. 4 C.2 ) B.1 D.4

解析:圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3 =4,即m2=1(m<0),∴m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).由题意知 直线l的方程为x=-c,又∵直线l与圆M相切,∴c=1,∴a2-3=1, ∴a=2. 答案:C

x2 y 2 2.(2012 年山东师大附中一测)点 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、 25 16 F2 分别是椭圆的左、右焦点,且△ PF1F2 的内切圆半径为 1,当 P 点在 第一象限时,P 点的纵坐标为( A. 8 3 ) 5 B. 8 8 D. 5

3 C. 8

解析:由题意知,|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6,设点 P 的纵坐标为 1 1 yp,由题意易知 S△ PF1F2= (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)× 1= |F1F2|·p,所以 y 2 2 |PF1|+|PF2| 8 yp= +1= . |F1F2| 3
答案:A

1.定义式:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). 2.标准方程 x2 y 2 焦点在 x 轴上: 2- 2=1(a>0,b>0), a b y 2 x2 焦点在 y 轴上: 2- 2=1(a>0,b>0), a b 焦点不明确:mx2+ny2=1(mn<0).

3.离心率与渐近线问题 (1)焦点到渐近线的距离为 b; c (2)e= = a b 1+( )2>1, a

注意:若 a>b>0,则 1<e< 2, 若 a=b>0,则 e= 2, 若 b>a>0,则 e> 2.;

b (3)焦点在 x 轴上,渐近线的斜率 k=± , a a 焦点在 y 轴上,渐近线的斜率 k=± ; b x2 y2 (4)与 2- 2=1 共渐近线的双曲线方程可设为 a b x2 y 2 - =λ(λ≠0). a2 b2

x2 y2 [例 2] (1)(2012 年高考湖南卷)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 a b 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( x2 y2 A. - =1 20 5 x2 y2 C. - =1 80 20 x2 y 2 B. - =1 5 20 x2 y 2 D. - =1 20 80 )

x2 (2)(2012 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - m y2 =1 的离心率为 5,则 m 的值为________. m2+4

[解析] (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解. x2 y2 ∵双曲线 2- 2=1 的焦距为 10, a b ∴c=5= a2+b2.①

b 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在渐近线上, a ∴ 2b =1,即 a=2b.② a

由①②解得 a=2 5,b= 5,故应选 A. (2)建立关于 m 的方程.
2 c2 m+m +4 ∵c =m+m +4,∴e = 2= =5, a m 2 2 2

∴m2-4m+4=0,∴m=2.
[答案] (1)A (2)2

x2 y2 1.(2012 年合肥模拟)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F,作 a b 圆 x2+y2=a2 的切线 FM 交 y 轴于点 P,切圆于点 M, 则双曲线的离心率是( A. 2 C.2 ) B. 3 D. 5 ,

解析:由已知条件知,点 M 为直角三角形 OFP 斜边 PF 的中点, 故 OF= 2OM,即 c= 2a,所以双曲线的离心率为 2.
答案:A

x2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 作 a b π 与 x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P,且∠PF1F2= ,则双曲线的 6 渐近线方程为__________________.

b2 b2 解析:根据已知得点 P 的坐标为(c,± ),则|PF2|= ,又∠PF1F2 a a π 2b2 2b2 b2 b2 b = ,则|PF1|= ,故 - =2a,所以 2=2, = 2,所以该双曲线 6 a a a a a 的渐近线方程为 y=± 2x.
答案:y=± 2x

1.定义式:|PF|=d.
2.根据焦点及开口确定标准方程.注意p>0时才有几何意义,即 焦点到准线的距离.

3.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A、B两点,
则有: (1)通径的长为2p;

2p (2)焦点弦公式:|AB|=x1+x2+p= 2 ; sin θ p2 (3)x1x2= ,y1y2=-p2; 4 (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切; 1 1 2 (5) + = . |AF| |BF| p

[例 3]

(2012 年高考福建卷)如图, 等边三角形 OAB 的边长为 8 3,

且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上.

(1)求抛物线E的方程; (2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证

明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

[解析] (1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30° . 设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30° =4 3, y=|OB|cos 30° =12. 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上, 所以(4 3)2=2p× 12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y.

1 1 (2)证明:证法一 由(1)知 y= x2,y′= x. 4 2 1 2 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x0,且 l 的方程为 4 1 1 1 2 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x0. 2 2 4
2 ?y=1x0x-1x0, ?x=x0-4, ? ? 2 4 2x0 由? 得? 2

2 ?y=1x0x-1x0, ?x=x0-4, ? ? 2 4 2x0 由? 得? ?y=-1 ?y=-1. ? ? 2

x2-4 0 所以 Q 为( ,-1). 2x0 设 M(0, 1), y 令 由于 由 =(x0,y0-y1), 1 =0 对满足 y0= x2(x0≠0)的 x0, 0 恒成立. y 4 0 x2-4 0 =( ,-1-y1), 2x0

x2-4 0 =0,得 -y0-y0y1+y1+y2=0, 1 2 (*)

2 即(y1+y1-2)+(1-y1)y0=0.

1 2 由于(*)式对满足 y0= x0(x0≠0)的 y0 恒成立, 4
?1-y1=0, 所以? 2 ?y1+y1-2=0,

解得 y1=1. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 1 1 1 证法二 由(1)知 y= x2,y′= x.设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x2, 4 2 4 0 1 1 1 且 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x2. 2 2 4 0
2 ?x=x0-4, ?y=1x0x-1x0 ? ? 2 4 ,得? 2x0 由? ?y=-1 ?y=-1. ? ? 2

x2-4 0 所以 Q 为( ,-1). 2x0

取 x0=2,此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为(x-1)2 1 +y =2,交 y 轴于点 M1(0,1)、M2(0,-1);取 x0=1,此时 P(1, ), 4
2

3 12 3 2 125 Q(- ,-1),以 PQ 为直径的圆为(x+ ) +(y+ ) = ,交 y 轴于点 2 4 8 64 7 M3(0,1)、M4(0,- ). 4 故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1). 以下证明点 M(0,1)就是所要求的点.

因为 所以

x2-4 0 =(x0,y0-1), =( ,-2), 2x0 x2-4 0 = -2y0+2 2

=2y0-2-2y0+2=0. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1).

(2012年郑州模拟)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交 抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此 抛物线的方程为( )

A.y2=9x C.y2=3x

B.y2=6x D.y2= 3x

解析:过点 B 作准线的垂线,垂足为 B1,记准线与 x 轴的交点为 |BB1| |BC| 2 2 2p F1,则依题意得 = = ,所以|BB1|= |FF1|= ,由抛物线的定 |FF1| |CF| 3 3 3 2p p 义得|BF|=|BB1|= .令 A(x1,y1)、B(x2,y2),依题意知 F( ,0),可设 3 2 p 直线 l 的方程为 y=k(x- ). 2

?y =2px ? k2p2 2 2 2 联立方程? p ,消去 y 得 k x -p(k +2)x+ 4 =0,则 ?y=k(x-2) ?
2

p(k2+2) p2 p x1+x2= ,x1·2= .又由抛物线的定义知|AF|=x1+ ,|BF| x k2 4 2 p 1 1 2 1 3 2 =x2+ ,则可得 + = ,于是有 + = ,解得 2p=3,所以此 2 |AF| |BF| p 3 2p p 抛物线的方程是 y2=3x,选 C.
答案:C

x2 2 【真题】 (2012 年高考陕西卷)已知椭圆 C1: +y =1,椭圆 C2 4 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, 求直线 AB 的方程. ,

【解析】

(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为

y 2 x2 + =1(a>2), a2 4 a2-4 3 3 其离心率为 ,故 = ,解得 a=4. 2 a 2 y2 x2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)解法一 由 A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,

因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 2 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 所以 x2 = A 4 . 1+4k2

y2 x2 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k2)x2=16, 16 4 所以 x2 = B 又由 16 . 4+k2 16 16 ,得 x2 =4x2 ,即 = , B A 4+k2 1+4k2

解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 解法二 A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,

因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.

x2 2 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 所以 x2 = A 由 将 4 . 1+4k2 ,得 y 2 2 xB,yB代入
2

x2 = B

16 16k2 2 ,y = . 1+4k2 B 1+4k2

4+k2 x2 + =1 中,得 =1, 16 4 1+4k2

即 4+k2=1+4k2, 解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.
【名师点睛】 本题主要考查椭圆的简单性质及直线与椭圆的位 置关系的应用.考查化归思想及运算求解能力.难度中上.本题(2)中 =2的作用是:一是说明直线AB过原点可设出直线AB的方程.二是利 用向量知识可得A、B点之间横坐标的关系以便建立方程求斜率k.

高考对椭圆、双曲线、抛物线的考查,各种题型都有.选择、填 空中主要考查这三种圆锥曲线的定义及几何性质与应用.解答题中着 重考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系,涉及方程求法、范围、 最值、定点、定值的探索与证明问题等内容.难度中上.

【押题】 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,焦点为 F,圆 π M 的圆心在 x 轴的正半轴上,圆 M 与 y 轴相切,过原点 O 作倾斜角为 3 的直线 n,交直线 l 于点 A,交圆 M 于不同的两点 O、B,且|AO|=|BO| =2.

(1)求圆M和抛物线C的方程; (2)若P为抛物线C上的动点,求 的最小值;

(3)过直线l上的动点Q向圆M作切线,切点分别为S、T,求证:直 线ST恒过一个定点,并求该定点的坐标.

【解析】 (1)易得 B(1, 3),A(-1,- 3),设圆 M 的方程为(x -a)2+y2=a2(a>0), 将点 B(1, 3)代入圆 M 的方程得 a=2,所以圆 M 的方程为(x-2)2 p +y2=4,因为点 A(-1,- 3)在准线 l 上,所以 =1,p=2,所以抛物 2 线 C 的方程为 y2=4x.

(2)由(1)得,M(2,0),F(1,0),设点 P(x,y),则 =(1-x, -y), 又点 P 在抛物线 y2=4x 上, 所以

=(2-x,-y), =(2-x)(- ≥2,

x)+y2=x2-3x+2+4x=x2+x+2,因为 x≥0,所以 即 的最小值为 2.

(3)设点 Q(-1, m), 则|QS|=|QT|= m2+5, Q 为圆心, m2+5 以 为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-m)2=m2+5,即 x2+y2+2x-2my-4 =0① 又圆 M 的方程为(x-2)2+y2=4, 即 x2+y2-4x=0② 由①②两式相减即得直线 ST 的方程: 3x-my-2=0, 2 显然直线 ST 恒过定点( ,0). 3

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