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2019高中数学 第一章 常用逻辑用语章末综合检测 苏教版选修1-1

第一章 常用逻辑用语

(时间:120 分钟;满分:160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填在题中横线上) 1.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限.在它的

逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________.

解析:易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,而逆命题、否命题是假命题.故

它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题有一个.

答案:1

2.下列命题中,真命题是________.
①? x0∈R,ex0≤0; ②? x∈R,2x>x2; ③a+b=0 的充要条件是ab=-1;

④a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件. 解析:因为? x∈R,ex>0,故排除①;取 x=2,则 22=22,故排除②;a+b=0,取 a =b=0,则不能推出ab=-1,故排除③;应填④.

答案:④ 3.命题“若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1”的逆否命题是________. 解析:命题的条件为“x2≥1”,结论为“x≥1 或 x≤-1”,否定结论作条件,否定条

件作结论,即为其逆否命题. 答案:若-1<x<1,则 x2<1

4.下列命题:

①G= ab(G≠0)是 a,G,b 成等比数列的充分不必要条件;

②若角 α ,β 满足 cos α cos β =1,则 sin(α +β )=0; ③若不等式|x-4|<a 的解集非空,则必有 a>0; ④函数 y=sin x+sin |x|的值域是[-2,2].

其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上).

解析:当 G= ab(G≠0)时,有 G2=ab,所以 a,G,b 成等比数列,但当 a,G,b 成等

比数列时,还可以有 G=- ab,所以 G= ab(G≠0)是 a,G,b 成等比数列的充分不必要

条件,故①正确; 当 cos α cos β =1 时,有 cos α =cos β =-1 或 cos α =cos β =1,即 α =2k1π
+π (k1∈Z),β =2k2π +π (k2∈Z)或 α =2k3π (k3∈Z),β =2k4π (k4∈Z),这时 α +β =2(k1+k2)π +2π (k1,k2∈Z)或 α +β =2(k3+k4)π (k3,k4∈Z),必有 sin(α +β )=0, 故②正确;
由于|x-4|的最小值等于 0,所以当 a≤0 时,不等式|x-4|<a 的解集是空集,如果不 等式|x-4|<a 的解集非空,必有 a>0,故③正确;

函数

y=sin

x+sin

|x|=???2sin ??0,

x,x≥0 x<0

,所以该函数的值域为[-2,2],故④正

确.

答案:①②③④
5.给出命题:①? x∈(-∞,1),使 x3<1;②? x∈Q,使 x2=2;③? x∈N,有 x3>x2; ④? x∈R,有 x2+4>0.其中的真命题是________(填序号).

解析:方程 x2=2 的解只有无理数 x=± 2,所以不存在有理数 x 使得方程 x2=2 成立,

1

故②为假命题;比如存在 x=0,使得 03=02,故③为假命题,①④显然正确. 答案:①④ 6.若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则“x∈C”是“x∈A”的
________条件. 解析:x∈A? x∈C,但是 x∈C 不能推出 x∈A. 答案:必要不充分 7.“a=18”是“对任意的正数 x,2x+ax≥1”的________条件.

解析:a=18? 2x+ax=2x+81x≥2 2x×81x=1,另一方面对任意正数 x,2x+ax≥1 只要

2x+ax≥2 2x×ax=2 2a≥1? a≥18.
答案:充分不必要 8.已知命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对? x∈R 恒成立;命题 q:函数 y=- (4-2a)x 是 R 上的减函数.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数 a 的取值范围
是________. 解析:由 x2+2ax+4>0 对? x∈R 恒成立,得 Δ =(2a)2-4×4<0,解得-2<a<2. 所以 p:-2<a<2. 由 y=-(4-2a)x 是 R 上的减函数,
得 4-2a>1,解得 a<32.

所以 q:a<32. 由“p∨q”为真,“p∧q”为假知,p 与 q 中必有一真一假,即 p 真 q 假或 p 假 q 真.

??-2<a<2, 所以???a≥32

??a≤-2或a≥2, 或???a<32,

从而得32≤a<2 或 a≤-2.
3 答案:[2,2)∪(-∞,-2] 9.已知函数 f(x)、g(x)定义在 R 上,h(x)=f(x)·g(x),则“f(x)、g(x)均为奇函数” 是“h(x)为偶函数”的________条件. 解析:由 f(x)、g(x)均为奇函数可得 h(x)=f(x)·g(x)为偶函数,反之则不成立,如 h(x)=x2 是偶函数,而 f(x)=x-x2 1,g(x)=x-1 都不是奇函数.

答案:充分不必要 10.a,b 为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的________条件. 解析:若|a·b|=|a||b|, 若 a,b 中有零向量,显然 a∥b; 若 a,b 均不为零向量,则 |a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|, ∴|cos〈a,b〉|=1, ∴〈a,b〉=π 或 0, ∴a∥b,即|a·b|=|a||b|? a∥b. 若 a∥b,则〈a,b〉=0 或 π , ∴|a·b|=||a||b|cos〈a,b〉|=|a||b|, 其中,若 a,b 有零向量也成立,

2

即 a∥b? |a·b|=|a||b|. 综上知,“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.

答案:充分必要 11.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10

=0 无实根.则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是________. 解析:p:x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根,

??Δ =4m2-4>0,
?
??-2m>0,

即 m<-1.

q:x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根, Δ =[2(m-2)]2-4(-3m+10)=4(m2-m-6)<0, 即-2<m<3.

分两种情况:①p 真 q 假,m≤-2;②p 假 q 真,-1≤m<3.

综上可知使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).

答案:(-∞,-2]∪[-1,3)

12.给出下列四个命题:

①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题;

②“相似三角形的周长相等”的否命题;

③“若 b≤-1,则 x2-2bx+b2+b=0 有实数根”的逆否命题;

④若 sin α +cos α >1,则 α 必定是锐角.

其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).

解析:①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题为“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”,

是真命题;

②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似,则周长不相等”,显然

是假命题; ③∵b≤-1,∴Δ =4b2-4(b2+b)=-4b≥4>0,∴“若 b≤-1,则 x2-2bx+b2+b=0

有实数根”为真命题,∴其逆否命题也是真命题;

④∵当 α =73π 时,sin α +cos α >1 成立,∴此命题是假命题.

答案:①③ 13.已知命题 p:x2-x≥6,q:x∈Z,则使得 x∈M 时,“p 且 q”与“綈 q”同时为假

命题的 x 组成的集合 M=________. 解析:x∈M 时,“p 且 q”与“綈 q”同时为假命题,即 x∈M 时,p 假且 q 真.故令 x2

-x<6,x∈Z,解得 x=-1,0,1,2,从而所求的集合 M={-1,0,1,2}.

答案:{-1,0,1,2}

14.已知“关于

x

x2-ax+2 的不等式 x2-x+1 <3

对于?

x∈R

恒成立”的充要条件是“a∈(a1,

a2)”,则 a1+a2=________. 解析:∵x2-x+1>0,∴原不等式化为 x2-ax+2<3x2-3x+3,即 2x2+(a-3)x+1>0. ∵? x∈R 时,2x2+(a-3)x+1>0 恒成立, ∴Δ =(a-3)2-8<0.

∴3-2 2<a<3+2 2,

∴a1+a2=6. 答案:6

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分 14 分)将命题“ab=0,则 a,b 中至少有一个为 0”改写为“若 p 则 q”

的形式,写出其逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假.

解:原命题:若 ab=0,则 a,b 中至少有一个为 0.是真命题;

逆命题:若 a,b 中至少有一个为 0,则 ab=0.是真命题;

否命题:若 ab≠0,则 a,b 都不为 0.是真命题;

逆否命题:若 a,b 都不为 0,则 ab≠0.是真命题.

3

16.(本小题满分 14 分)写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:? x∈R,都有|x|=x; (2)p:? x∈R,x3>x2; (3)p:至少有一个二次函数没有零点; (4)p:存在一个角 α ∈R,使得 sin2α +cos2α ≠1. 解:(1)綈 p:? x∈R,有|x|≠x. 如 x=-1,|-1|=1≠-1,所以綈 p 是真命题. (2)綈 p:? x∈R,x3≤x2. 如 x0=-1 时,(-1)3=-1×(-1)2=-1, 即(-1)3≤(-1)2,所以綈 p 是真命题. (3)綈 p:所有二次函数都有零点. 如二次函数 y=x2+2x+3=(x+1)2+2>0.? x∈R, y=x2+2x+3≠0.因为 p 是真命题,所以綈 p 是假命题. (4)綈 p:? α ∈R,sin2α +cos2α =1. 设任意角 α 终边与单位圆的交点为 P(x,y). 则 sin α =y,cos α =x,显然有 sin2α +cos2α =y2+x2=1, 所以綈 p 是真命题. 17.(本小题满分 14 分)已知两个命题 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.如 果对? x∈R,r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题.求实数 m 的取值范围.
解:∵sin x+cos x= 2sin???x+π4 ???≥- 2,
∴当 r(x)是真命题时,m<- 2. 又∵对? x∈R,s(x)为真命题,即 x2+mx+1>0 恒成立, 有 Δ =m2-4<0,∴-2<m<2.
∴当 r(x)为真,s(x)为假时,m<- 2,同时 m≤-2 或 m≥2,即 m≤-2;
当 r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2且-2<m<2,
即- 2≤m<2.
综上,实数 m 的取值范围是 m≤-2 或- 2≤m<2.
18.(本小题满分 16 分)已知不等式|x-m|<1 成立的充分不必要条件是13<x<12,求实数 m
的取值范围. 解:由不等式|x-m|<1 得 m-1<x<m+1;

????? 因为不等式|x-m|<1 成立的充分不必要条件是13<x<12,所以

m-1≤13 m+1≥12

1 ? -2

≤m≤43;经检验知,等号可以取得;所以-12≤m≤43.
19.(本小题满分 16 分)已知 x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|的成立的充要条件是 xy≥0. 证明:充分性: 如果 xy=0,那么 x=0,y≠0 或 x≠0,y=0 或 x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|; 如果 xy>0,即 x>0,y>0 或 x<0,y<0, 当 x>0,y>0 时,|x+y|=x+y=|x|+|y|, 当 x<0,y<0 时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|, 总之,当 xy≥0 时,|x+y|=|x|+|y|. 必要性: 由|x+y|=|x|+|y|及 x,y∈R 得(x+y)2=(|x|+|y|)2, 即 x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以 xy≥0,故必要性成立; 综上,原命题成立.

4

20.(本小题满分 16 分)(1)设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M 或 x∈P”是“x ∈(M∩P)”的什么条件?
(2)求使不等式 4mx2-2mx-1<0 恒成立的充要条件. 但 (= 充2)0要当x∈ 时解条m(,:件≠M(∩不1是0)P等x时-)∈式?4,M<x4m不或∈m≤等Mxx20∈或式-. P2x4?m∈mxxxP-∈2.-故1R<,2“0xm,∈xx-∈对(M1M∩x<∈或0P)恒Rx?∈恒成xP成∈立”立(?是2.,?????“4Δ3故m)x=,<∈使因04,(不m为M2∩等+x∈式P1)6M”m4或m<的0xx, 2必∈-要P2?m不x-充-4分1<<mx条0∈<恒0件(.又成M.∩当立P的)m,
速练6 同位素、系物异形体分构的辨析判断

1.(208·浙江省选考科目试绍兴市适应性)下列说法不正确的是

A.乙醇和醚是同分异构体B.14C和6O含有相同的中子数

C.甲酸和硬脂互为同系物

D.“纳米泡沫”是由无数个微小碳管组成的网状结构,C60同素异形体

2.下列说法正确的是()A.1C、34互为同位素,其中子数之比12∶34

B.氧气和臭互为同素异形体,两者之间可以相转化

C.乙二醇和丙三互为同系物

D.C5H10O属于醛的同分异构体有3种

3.下列说法正确的是()A.168O表示质量数为、中子的核素B.CH3—2在光照下与氯气反应,生成的一代物有种

C.H3O2和互为同系物

D.某有机物的名称为3?乙基丁烷

4.(2018·浙江省名校新高考研究联盟三第二次)下列说法中不正确的是

A.金刚石和墨互为同素异形体,两者之间的转化是学变

B.C.5H1l的同分异构体有8种



互为同系物

D.

与CH3O互为同分异构体

5.(2018·嘉兴市高三二模)下列说法不正确的是

A.C?12原子是指质数和中都6的核素B.35Cl与7互为同位素,两者核外电子排布相

C.H3O与互为同系物D.N3与2互为同素异形体

6.(2018·绍兴市高三选考科目适应性试)下列说法不正确的是A.126C和4互为同位素

B.金刚石和墨互为同素异形体

C.H3O2和互为同分异构体

D.CH4和3l互为同系物7.(2018·浙江省十校联盟选考3月适应性试)下列说法正确的是A.1H2O和2表示氢元素的二种核

B.C60和金刚石互为同素异形体,它们都是分子晶

C.HO和3互为同系物

D.丙氨酸CH3(N2)O与互为同分异构体

8.(201·浙江教育绿色评价联盟3月适应性考试)下列说法正确的是A.氧气和臭互为同素异形体,它们之间的变属于物理化

B.3种氢核素与2氧,可组成6不同的水分子

C.乙醇和二互为同系物

D.组成为C9H12,在苯环上同时存3个—的异构体有种

9.(2018·杭州市余区高二上学期末)下列说法正确的是

A.B.红磷与白互为同素异形体



互为同分异构体

C.H32O与互为同系物D.35Cl与7为同一种核素

10.(28·嘉兴市第一中学高二下期末)列说法不正确的是A.32He的中子数是

B.白磷、红互为同素异形体C.18O和6互为同位素

D.正丁烷和异互为同分构体

1.(208·杭州市学军中3月高三选考模拟)下列关于有机化合物的说法正确是

A.H2与D互为同素异形体B.符合CnH2+且不同的烃一定属于系物

C.H2l有种同分异构体D.碳元素有多种核,其中13C可用于考古断代

12.(08·杭州市学军中高三选考前适应性练习)下列说法不正确的是

A.金刚石、墨与C60互为同素异形体

B.软脂酸(C15H3O)和硬7互为同系物

C.丙烷与氯气反应,可得到沸点不同的3种一代物

D.C(H3)4的名称是2,?二甲基丙烷

5

答案精析 1.A[项,乙醇和甲醚是同分异构体错误;B14C的中子数为8,6O所以含有相正确酸硬脂都符合通式nH2饱一元故互系物。] 2.B3.C45.C[A项,原子中质量数=+?12是指和都6的碳正确;B35l与7互为同位素二者核外电相所以排布H3O属于醇类醚官能团不系物错误D异形体一种元组成单N。] 6.D[A项,同位素:质子数相等中不的一元核互为正确;B异形体种成单金刚石和墨都是碳组结构C分式化合物两者均4H8O2前属于酯后羧酸含有官能团烷烃卤代错误。]7.D[1H和2表示氢元素的二种核,故A错误;金刚石是原子晶体BOC3不相差1个2团同系物丙氨酸(N)与分式、结构所以互为异正确。] 8.D[A项,氧气和臭互为同素异形体它们之间的变属于化学错误;B3种氢核与2可组成1不水分子C乙醇二官能团数目是系物9H在苯环上时存个—构有正确。]9.B10.A[项,32He的中子数是3-=错误;B白磷、红元素形成不同单质互为异体正确C18O和6相而位D丁烷分式结构。] 1.B2.C
6


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