koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

复变函数与积分变换复习提纲以及5套题

复变函数复习提纲 (一)复数的概念
z1 x1 ? i y 1

1.复数的概念: z ? x ? iy , x , y 是实数,
x ? R e ? z ? , y ? Im ? z ? . i ? ? 1 .
2

?

z2

x 2 ? i y2

?

? x1 ? x2 ? ?

i y? ? 1

x2? ? 2x

i? 2 y

?i ?2y

?

? i2 y

x ?2 x 1
2

y y2 1 ?i ? 2x y 2
2

?1 x2 y
2

y2 x 1 x
2 2

?

2

y

。 2)若 z1 ? z1 e i? , z 2 ? z 2 e i? , 则
1 2

注:两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1)模: z ?
x ? y
2 2

z1 z 2 ? z1 z 2 e

i ??1 ? ? 2 ?



z1 z2

?

z1 z2

e

i ??1 ? ? 2 ?

; 3.乘幂与方根

2)幅角:在 z ? 0 时,矢量与 x 轴正向的 1) 若 z ? z (co s ? ? i sin ? ) ? z e i? , 则 夹角,记为 A rg ? z ? (多值函数) ;主值
z ? z
n n

( c o ?s ? i n

ns i ? z ? n

n

e)

in?



arg ? z ? 是位于 ( ? ? , ? ] 中的幅角。

3) arg ? z ? 与 arctan

y x

2) 若 z ? z (co s ? ? i sin ? ) ? z e i? ,则 之间的关系如下:
1 n

当 x ? 0 , arg z ? arctan

y x



z ? z

n

? ? 2k? ? ? 2k? ? ? ? i sin ? co s ? n n ? ?

( k ? 0,1, 2 ?

y ? y ? 0, arg z ? arctan ? ? ? ? x 当 x ? 0, ? ? y ? 0, arg z ? arctan y ? ? ? x ?

(有 n 个相异的值) ; (三)复变函数 1.复变函数: w ? f ? z ? ,在几何上可以 看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面

4)三角表示: z ? z ? co s ? ? i sin ? ? ,其中
? ? arg z ;注:中间一定是“+”号。

上的一个点集 G 的映射. 5)指数表示: z ? z e ,其中 ? ? arg z 。 2.复初等函数 (二) 复数的运算 1)指数函数:e z ? e x ? co s y ? i sin y ? ,在 z 1.加减法:若 z1 ? x1 ? iy1 , z 2 ? x 2 ? iy2 ,则
z1 ? z 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? i ? y1 ? y 2 ?
i?

平面处处可导,处处解析;且 ? e z ? ? ? e z 。 注: e z 是以 2 ? i 为周期的周期函数。 (注

2.乘除法: 意与实函数不同) 1)若 z1 ? x1 ? iy1 , z 2 ? x 2 ? iy 2 ,则
z1 z 2 ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? i ? x 2 y1 ? x1 y 2 ? ;

3) 对









L n z ? ln z ? i (arg z ? 2 k ? )

( k ? 0, ? 1, ? 2 ? )

(多值函数) ;

面内解析,且 ? sh z ?? ? ch z , ? ch z ? ? ? sh z 。

主值: l n z ? l n z ? i a r g z 。 (单值函 数)
L nz

(四)解析函数的概念 的每一个主值分支 ln z 在除去原 1.复变函数的导数 1 )
f

点及负实轴的 z 平面内处处解析,且




? ?z ? ? f ?z





? ln z ? ?

?

1 z



f ? ? z 0 ? = lim

? z0

? z0 ?

?z ? 0



注:负复数也有对数存在。 (与实函数不 2)区域可导: f ? z ? 在区域内点点可导。 同) 2.解析函数的概念 3)乘幂与幂函数: a b ? e bL na
z ?e
b bLnz

( a ? 0)

; 1)点解析: f ? z ? 在 z 0 及其 z 0 的邻域内

( z ? 0)

可导,称 f ? z ? 在 z 0 点解析; 注: 在除去原点及负实轴的 z 平面内处处 解析,且 ? z 4
sin z ?
b

?

?

2) 区域解析: f ? z ? 在区域内每一点解析,
? bz
b ?1

。 函
? iz

称 f ? z ? 在区域内解析; 数
sin z cos z , ctgz ?


e ?e
iz ? iz


, cos z ?


e ?e
iz

: 3)若 f ( z ) 在 z 0 点不解析,称 z 0 为 f ? z ? 的
cos z sin z

, t gz ?

2i

2

奇点; 3.解析函数的运算法则:解析函数的和、

sin z , co s z

在 z 平面内解析,且
, c? ?o?s ? z zs i n

差、积、商(除分母为零的点)仍为解析 函数; 解析函数的复合函数仍为解析函数; (五)函数可导与解析的充要条件 1 . 函 数 可 导 的 充 要 条 件 :

?s

i n ?? ? z

c oz s ?

注:有界性 sin z ? 1, co s z ? 1 不再成立; (与实函数不同) 4) 双
sh z ? e ?e
z


?z z


e ?e 2
?z

数 ;

f

? z ? ? u ? x , y ? ? iv ? x , y ? 在

z ? x ? iy



, ch z ?


? u ? x, y ?

2
sh z

和 v ? x , y ? 在 ? x , y ? 可微,且在

ch sh 奇函数, z 是偶函数。 z , ch z 在 z 平
1

? x, y ?
?u ?x ? ?v ?y ,

处 满 足 C?D 条 件 :
?u ?y ? ? ?v ?x

章习题 2) 3)利用可导或解析函数的四则运算定理。

此时, 有 f ? ? z ? ?

?u ?x

?i

?v ?x

(函数 f ? z ? 是以 z 的形式给出, 如第二章 。 习题 3) (六)复变函数积分的概念与性质

2 . 函 数 解 析 的 充 要 条 件 :
f

? z ? ? u ? x , y ? ? iv ? x , y ? 在区域内解析
1. 复 变 函 数 积 分 的 概 念 : 内可微, 件 :

? u ? x, y ? 和 v ? x, y ? 在 ? x, y ? 在 D


?u ?x ?


?v , ?y



C ?D


?v ?x

?

f
c

? z ? dz

? lim

n? ?

? f ? ? ?? z ,c 是光滑
k k k ?1

n

?u ? ?y

? ;

曲线。 注:复变函数的积分实际是复平面上

此时 f ? ? z ? ?

?u ?x

?i

?v ?x

。 的线积分。 2. 复变函数积分的性质
?1

注: 若 u ? x , y ? , v ? x , y ? 在区域 D 具有一阶 连续偏导数,则 u ? x , y ? , v ? x , y ? 在区域
D

内是可微的。因此在使用充要条件

1) ? f ? z ? d z ? ? ? f ? z ? d z c c 的方向相反) ;

( c ?1 与 c

证明时,只要能说明 u , v 具有一阶连续 偏导且满足 C ?R 条件时,函数
f ( z ) ? u ? iv 一定是可导或解析的。

2) ? [? f ? z ? ? ? g ? z ? ] d z ? ? ? f ? z ? d z ? ? ? g ? z ? d z , ? , ? c c c 是常数; 3 ) 若 曲 线 c 由 c1 与 c 2 连 接 而 成 , 则

?
3.函数可导与解析的判别方法 1 1)利用定义 如第二章习题 1) 2)利用充要条件
f

f
c

? z ? dz

?

?

f
c1

? z ? d z ? ?c

f
2

? z ? dz 。

3.复变函数积分的一般计算法 )
f
c


?



线





: ; (常

(题目要求用定义,

?
(函数以

? z ? dz

?

c

u d x ? vd y ? i ? vd x ? u d y
c

用于理论证明) 2 ) 参 数 方 法 : 设 曲 线 c : 如第二 ? z ? ? u ? x , y ? ? i v ? x , y ? 形式给出,
2

z ? z ? t ? (? ? t ? ? ) ,其中 ?

对应曲线 c 的

4. 解析函数沿非闭曲线的积分: 设 f ? z ? 在单连域 B 内解析,G ? z ? 为 f ? z ? 在 B 内 的 一 个 原 函 数 , 则

起点, ? 对应曲线 c 的终点,则

?

f
c

? z ? dz

?

??

?

f [ z ? t ? ] z ?( t ) d t



(七)关于复变函数积分的重要定理与结 论 1.柯西—古萨基本定理:设 f ? z ? 在单连 域 B 内解析,c 为 B 内任一闭曲线,则

?

z2 z1

f

? z ?d z ? G ? z 2 ? ? G ? z 1 ?

( z1 , z 2 ? B )

说明:解析函数 f ? z ? 沿非闭曲线的积 分与积分路径无关,计算时只要求出原函 数即可。 5。 柯西积分公式:设 f ? z ? 在区域 D 内 解析,c 为 D 内任一正向简单闭曲线,c 的内部完全属于 D ,z 0 为 c 内任意一点, 则? ?
f

? f ? z ? dz ? 0 ?
c

2.复合闭路定理: 设 f ? z ? 在多连域 D 内解析, c 为 D 内任意一条简单闭曲 线,c1 , c 2 , ? c n 是 c 内的简单闭曲线, 它 们互不包含互不相交,并且以
c1 , c 2 , ? c n

?z?

c

为边界的区域全含于 D 内,

z ? z0

d z ? 2 ? if

? z0 ?

6.高阶导数公式:解析函数 f ? z ? 的导数 仍为解析函数,它的 n 阶导数为

则 ①

? f ? z ? dz ?
c

?

? ? f ? z ? dz, ?
k ?1 c k

n



中 c 与 c k 均取正向; ②
?1

? ?

f

?z?
n ?1

c

? f ? z ? dz ? 0 , 其 中 ? 由 c 及 ?
?

( z ? z0 )

dz ?

2? i n!

f

?n?

? z0 ?

( n ? 1, 2 ? )

c ( k ? 1, 2, ? n )

所组成的复合闭路。 其中 c 为 f ? z ? 的解析区域 D 内围绕 z 0 的

3.闭路变形原理 : 一个在区域 D 内的 任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部 解析函数 f ? z ? 沿闭曲线 c 的积分,不 完全属于 D 。 因 c 在 D 内作连续变形而改变它的值, 7.重要结论: 只要在变形过程中 c 解析的奇点。
3

不经过使

f

?z?



? (z ? a) ?
c

1

n ?1

? 2? i , dz ? ? ? 0,

n ?0 n ? 0



(留数基本定理) ? 若被积函数不能表示成
f

?z?
n ?1

( c 是包含 a 的任意正向简单闭曲线) 8.复变函数积分的计算方法 1)若 f ? z ? 在区域 D 内处处不解析,用一 般积分法 ? f ? z ? d z ? ? f [ z ? t ? ] z ? ? t ? d t c ? 2)设 f ? z ? 在区域 D 内解析, ?
c
?

( z ? zo )

,则

须改用第五章留数定理来计算。 (八)解析函数与调和函数的关系 1. 调和函数的概念: 若二元实函数 ? ( x , y ) 在 D 内有二阶连续偏导数且满足
? ?
2

是 D 内一条正向简单闭曲线,则由

柯西—古萨定理, ? f ? z ? d z ? 0 ?c ?
c

?x

2

?

? ?
2

?y

2

? 0



? ( x , y ) 为 D 内的调和函数。

是 D 内的一条非闭曲线, z1 , z 2 对应 2.解析函数与调和函数的关系

曲线 c 的起点和终点,则有 ?

?

f
c

? z ? dz ? ? z

z2
1

解析函数 f ? z ? ? u ? i v的实部 u 与虚 部 v 都是调和函数, 并称虚部 v 为实部
u

f

? z ? dz

? F ? z 2 ? ? F ? z1 ?

的共轭调和函数。

3)设 f ? z ? 在区域 D 内不解析 ? ? 曲 线 c 内 仅 有 一 个 奇 点 :
f ?z? ? ? ?c ? z ? z d z ? 2? i f ? z 0 ? ? 0 ? f ?z? 2? i ? n ? ? dz ? f ? z0 ? ? ? ?c ( z ? z ) n ? 1 n! 0 ?
f ( z ) ? u ? iv

两个调和函数 u 与 v 构成的函数 不一定是解析函数;但是

若 u , v 如果满足柯西— 黎曼方程,则 u ? iv 一定是解析函数。 3.已知解析函数 f ? z ? 的实部或虚部,求 解析函数 f ? z ? ? u ? iv 的方法。 1)偏微分法:若已知实部 u ? u ? x , y ? ,利 用 C ? R 条件,得
?v ?v , ?x ?y

( f ( z ) 在 c 内解析) ? 曲 线 c 内 有 多 于 一 个 奇 点 :

? ? z? ?
f
c

d ?z?

n

k ?1 c k

( ? f ? z? d z c 内只有一 ?
i

个奇点 z k ) 或:



? ? z? ?
f
c

d? z2 ?

? iR
k ?1

n

e

[ s (f k ) z ,

z]



?v ?y

?

?u ?x

两 边 积 分 , 得

4

v?

? ?x dy ? g ? x ?

?u

(*)

将此式右端表示成 z 的函数 U ? z ? ,由于
f ? ? z ? 仍为解析函数,故
f

再对(*)式两边对 x 求偏导,得
?v ?x ? ? ? ?u ? dy ? ? g ? ? x ? ?? ?x ? ?x ?

(**)
?u ?y ?v ?x

? z ? ? ? U ? z ?d z ? c

( c 为实常数) 由 C?R 条 件 ,
?u ?y

? ?

, 得

注:若已知虚部 v 也可用类似方法求出实 部u. (九)复数项级数

? ?

? ? ?u ? dy ? ? g ? ? x ? ?? ?x ? ?x ?

, 可 求 出

g ?x?;

1.复数列的极限 代入(*)式, 虚部 v ? 可求得 1)复数列 {? n } ? { a n ? ib n } ( n ? 1, 2 ? )收 。 敛于复数 ? ? a ? bi 的充要条件为
lim a n ? a ,
n? ?

? ?x dy ? g ? x ?

?u

2)线积分法:若已知实部 u ? u ? x , y ? ,利
lim b n ? b
n? ?


dv ? ?v ?x

C ?R


dy ? ? ?u ?y


dx ? ?u ?x


dy

得 (同时成立)

dx ?

?v ?y



2)复数列 {? n } 收敛 ? 实数列 { a n } ,{bn } 同 时收敛。 2.复数项级数

故虚部为 v ?

??

?x,y?
x0 , y 0 ?

?

?u ?y

dx ?

?u ?x

dy ? c



由于该积分与路径无关,可选取简单路径 (如折线)计算它,其中 ? x 0 , y 0 ? 与 ? x , y ? 是解析区域中的两点。 3)不定积分法:若已知实部 u ? u ? x , y ? , 根据解析函数的导数公式和 C ? R 条件得 注:复数项级数的敛散性可以归纳为两个 知, 实数项级数的敛散性问题的讨论。 (十)幂级数的敛散性
f ?? z ? ? ?u ?x ?i ?v ?y ? ?u ?x ?i ?u ?y
5

1)复数项级数 ? ? n (? n ? a n ? ib n ) 收敛的
n?0

?

充要条件是级数 ? a n 与 ? b n 同时收敛;
n?0 n?0

?

?

2)级数收敛的必要条件是 lim ? n ? 0 。
n? ?

1.幂级数的概念:表达式 ? c n ( z ? z 0 ) n 或
n?0

?

?c
n?0

?

n

z

n

为幂级数。

式求收敛半径。 (如 ? c n z 2 n )
n?0

?

2.幂级数的敛散性 1)幂级数的收敛定理—阿贝尔定理 (Abel): 如果幂级数 ? c n z n 在 z 0 ? 0 处
n?0 ?

3.幂级数的性质 1)代数性质:设 ? a n z n , ? b n z n 的收敛半
n?0 n?0 ? ?

收敛,那么对满足 z ? z 0 的一切 z , 该级数绝对收敛;如果在 z 0 处发散, 那么对满足 z ? z 0 的一切 z ,级数必 发散。 2)幂级数的收敛域—圆域 幂级数在收敛圆域内,绝对收敛;在圆 域外, 发散; 在收敛圆的圆周上可能收敛;

径分别为 R1 与 R 2 ,记 R ? m in ? R1 , R 2 ? , 则当 z ? R 时,有

? (? a
n?0

?

n

? ? bn ) z ? ? ? a n z ? ?
n n n?0

?

?b
n?0

?

n

z

n

(线性运算)
( ? a n z )( ? b n z ) ?
n n n?0 n?0 ? ?

? (a
n?0

?

n

b 0 ? a n ? 1b1 ? ? ? a 0 b n ) z

n

(乘积运算) 也可能发散。 2 ) 复 合 性 质 : 设 当 ? ?r 时 , 3)收敛半径的求法:收敛圆的半径称收 敛半径。 ? 比值法 敛半径 R ? ? 根值法 半径 R ? ?
1
f ??

?

?

?a
n?0

?

n

? ,当 z ? R 时, ? ? g ? z ? 解
n

如果 lim
1

c n ?1 cn

n? ?

? ? ? 0, 则收

析且 g ? z ? ? r , 则当 z ? R 时,f [ g ? z ? ] ?

?


li m
n? ?

?a
n?0 ?

?

n

[ g ? z ?]

n



c n ? ? ? 0 ,则收敛

3)分析运算性质:设幂级数 ? a n z n 的收
n?0

?

; 敛半径为 R ? 0 ,则 ? 其和函数 f ? z ? ? 的解析函数; ? 在收敛圆内可逐项求导,收敛半径不 变
6

如果 ? ? 0 ,则 R ? ? ;说明在整个复 平面上处处收敛; 如果 ? ? ? , R ? 0 ; 则 说明仅在 z ? z 0

?

?

an z

n

是收敛圆 内

n?0

或 z ? 0 点收敛; 注:若幂级数有缺项时,不能直接套用公





f ??

?

? ? z

?

n ?1 n

n

a

z

n?0

z ? R

3
sin z ?
z



?

在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不 变
z ? R

? (2 n ? 1)!z
n?0

?

( ? 1)

n

2 n ?1

? z?

z

3

?

z

5

?? ?

( ? 1)

n

3!

5!

(2 n ? 1)!

z

2 n ?1

??



?

z

f
0

? ?

?? z

?

n?0

d n ?1

an

n ?1

z ??

z

4
co s z ?



(十一)幂函数的泰勒展开 1. 泰 勒 展 开 : 设 函 数 f ? z ? 在 圆 域
z? z ? 0 R 内解析,则在此圆域内 f

?

?

( ? 1)

n

z

2n

?1?

z

2

?

z

4

?? ?

( ? 1)

n

z

2n

??

n?0

(2n)!

2!

4!

(2n)!

z ??

?z?

可 3.解析函数展开成泰勒级数的方法 数 1)直接法:直接求出 c n ?




?


f
?n?




z0 ?
n



1 n!

f

?n?

f

?z? ? ?

? z0 ?

? z 0 ? ,于

n?0

n!

?z ?

; 并且此展开式 是 f ?z? ?

? c ?z ? z ? 。
n n 0 n?0

?

是唯一的。 2) 间接法: 利用已知函数的泰勒展开式及 注:若 f ? z ? 在 z 0 解析,则 f ? z ? 在 z 0 的泰 幂级数的代数运算、复合运算和逐项求 勒展开式成立的圆域的收敛半径 导、逐项求积等方法将函数展开。
R ? z0 ? a

; (十二)幂函数的洛朗展开

其中 R 为从 z 0 到 f ? z ? 的距 z 0 最近一 个奇点 a 之间的距离。 2.常用函数在 z 0 ? 0 的泰勒展开式 1
e ?
z

1. 洛朗级数的概念: ? c n ? z ? z 0 ? ,含
n n ? ??

?

正幂项和负幂项。 ) 2. 洛朗展开定理: 设函数 f ? z ? 在圆环域
R1 ? z ? z 0 ? R 2
c 内处处解析, 为圆

?

?

1 n!

z ? 1? z ?
n

z

2

?

z

3

?? ?

z

n

??

n?0

2!

3!

n!

环域内绕 z 0 的任意一条正向简单
z ??

闭曲线,则在此在圆环域内,有 2 )
z ?1
1 1? z ?

?

?

z ? 1? z ? z ?? ? z ??
n 2 n

n?0

f

?z? ? ?

?

cn ? z ? z0 ?

n

,且展开式

n ? ??

唯一。
7

3.解析函数的洛朗展开法:洛朗级数一 般只能用间接法展开。 *4. 利用洛朗级数求围线积分: f ? z ? 在 设
r ? z ? z0 ? R

g ? z ? ? c? m ? c? (m ? ( z ? z ? ? ? c? z ? z

m ?1

?c z?z

m 1

?? )

在 z 0 解析, 且 g ? z 0 ? ? 0, m ? 1, c ? m ? 0 ; 3) 本性奇点: 展开式中含无穷多项 z ? z 0 的 负幂项;
f ?z? ?? ? c? m ( z ? z0 )
m

内解析, c 为 r ? z ? z 0 ? R

内的任何一条正向简单闭曲线,则

? f ? z ?d z ? 2 ? ic 。 其 中 ?
c ?1

c?1

为 f (z) 在
1 z ? z0

?? ?

c?1 ( z ? z0 )

? c 0 ? c1 ( z ? z 0 ) ? ? ? c m ( z ? z 0 ) ? ?
m

r ? z ? z0 ? R

内洛朗展开式中

的系 (十四)孤立奇点的判别方法 1.可去奇点: lim f ? z ? ? c 0 常数;
z ? z0

数。 说明:围线积分可转化为求被积函数的洛 朗展开式中 ( z ? z 0 ) ? 1 的系数。 (十三)孤立奇点的概念与分类 1。 孤立奇点的定义 : f ? z ? 在 z 0 点不解 析,但在 z 0 的 0 ? z ? z 0 ? ? 内解析。 2。孤立奇点的类型: 1)可去奇点:展开式中不含 z ? z 0 的负幂 项; f ? z ? ? c 0 ? c1 ? z ? z 0 ? ? c 2 ? z ? z 0 ? ? ?
2

2.极点: lim f ? z ? ? ?
z ? z0

3.本性奇点: lim f ? z ? 不存在且不为 ? 。
z ? z0

4.零点与极点的关系 1)零点的概念:不恒为零的解析函数
f f

?z?















? z ? ? ( z ? z0 )m ? ? z ? ,
其中 ? ? z ? 在 z 0 解析, ? ? z 0 ? ? 0, m 为正

2)极点:展开式中含有限项 z ? z 0 的负幂 项;
f ?z? ? c? m ( z ? z0 )
m

整数,称 z 0 为 f ? z ? 的 m 级零点; 2)零点级数判别的充要条件

?

c ? ( m ?1) ( z ? z0 )
m ?1

?? ?

c ?1 ( z ? z0 )

? c 0 ? c1 ( z ? z 0 ) ? c 2 ( z ? z 0 ) ? ?
2

z0


?n? ?m ?

f

?z?
0 0 ,



m




m 2


, 1 )

?

g ?z? ( z ? z0 )
m

,

?f ? ? ? ?f ?

? 0 ?z ? ? z0 ? ?

? (n ?

1? ,

3)零点与极点的关系: z 0 是 f ? z ? 的 m 级 中 零点 ? z 0 是
8



1 f

?z?

的 m 级极点;

4)重要结论 若 z ? a 分别是 ? ? z ? 与 ? ? z ? 的 m 级与
n

2.留数的计算方法 若 z0 是 f ? z ? 的 孤 立 奇 点 , 则
R e s[ f

级零点,则
z ? a

?z?, z

0

] ? c ? 1 ,其中 c ? 1 为 f

? z ? 在 z0

? ?

是 ? ? z ? ? ? ? z ? 的 m ? n 级零点;
? ?z? ?

的去心邻域内洛朗展开式中 ( z ? z 0 ) ? 1 的系 数。 1)可去奇点处的留数:若 z 0 是 f ? z ? 的可 去奇点,则 R e s [ f ? z ? , z ] ? 0
0

当 m ? n 时, z ? a 是 零点;

?z?

的m ? n 级

当 m ? n 时, z ? a 是 极点;

? ?z? ?

?z?

的n ? m 级

2) m 级极点处的留数 法则 I 若 z 0 是 f ? z ? 的 m 级极点,则

当 m ? n 时, z ? a 是 点;

? ?z? ?

?z?

的可去奇
R e s[ f
1

?z?, z
lim

]?
0

d

m ?1 m ?1

?

z 当 m ? n 时, ? a

是? ? z ? ? ? ? z ? 的 l 级

( m ? 1) !

z ? z0

dz

[( z ? z 0 )

m

f

? z ?]

零点, l ? m in( m , n ) 当 m ? n 时, z ? a 是 ? ? z ? ? ? ? z ? 的 l 级零点,其中 l ? m ( n ) (十五)留数的概念 1.留数的定义:设 z 0 为 f ? z ? 的孤立奇 点,f ? z ? 在 z 0 的去心邻域 0 ? z ? z 0 ? ? 内

特别地, z 0 是 f ? z ? 的一级极点, 若 则
R e s[ f

?z?, z

0

] ? lim ( z ? z 0 ) f
z ? z0

?z?

注:如果极点的实际级数比 m 低,上 述规则仍然有效。 法则 II 设 f ?z? ?
P ?z? Q ?z?

, P ? z?,Q ? z? 在

z0

解析, P ? z 0 ? ? 0,
Q ? z 0 ? ? 0, Q ? ? z 0 ? ? 0

解析, c 为该域内包含 z 0 的任一正向简单 闭曲线,则称积分
1 2? i

, 则

? f ? z ? dz 为 f ? z ? ?
c

R s e

P ? ?z ? P0 ? z [ z ? , ] Q ?z? 0 Q ? ? z0 ?

在 z 0 的 留 数 ( 或 残 留 ), 记 作 (十六)留数基本定理
R e s[ f

?z?, z

]?
0

1 2? i

? f ? z ? dz ?
c

9

设 f ? z ? 在区域 D 内除有限个孤立奇 点 z1 , z 2 ? , z n 外处处解析,c 为 D 内包围诸 奇点的一条正向简单闭曲线,则

三、傅里叶变换的性质 ? 位 移 性 (
? jw t 0


F [ f ( t )]



) :

F [ f ( t ? t 0 )] ? e

? ?

f

c

? z ? dz

? 2? i ? R e s[ f
n ?1

?

? z ? , zn ]

?


F [e


j w0 t






w ? w ? w0



) :

f ( t )] ? F ( w )

? F ( w ? w0 )

说明:留数定理把求沿简单闭曲线积分的 整体问题转化为求被积函数 f ? z ? 在 c 内 各孤立奇点处留数的局部问题。 ? 位 移 性
1 2j







F [sin w 0 t f ( t )] ?

[ F ( w ? w 0 ) ? F ( w ? w 0 )]

?






1 2







F [co s w 0 t f ( t )] ?

[ F ( w ? w 0 ) ? F ( w ? w 0 )]

?

微分性(时域) F [ f ?( t )] ? ( jw ) F ( w ) : ( t ? ? ? , f (t ) ? 0 ) ,

积分变换复习提纲 一、傅里叶变换的概念 ? ?
F [ f ( t )] ?

F[ f

(n)

( t )] ? ( jw ) F ( w )
n



t ? ?? , f
dt ? F (w)
j? t

( n ? 1)

(t ) ? 0

?

?? ??

f (t )e

? j wt

?












n

) :
(n)

F

?1

[ F ( ? )] ?

1 2?

?

?? ??

F (? ) e

d ? ? f (t )

F [( ? j t ) f ? t ? ] ? F ? ? w ? , F [( ? j t ) f ( t )] ? F

(w)

二、几个常用函数的傅里叶变换 ?
F [ e ( t )] ? 1

? ? j?
1 j? ? ?? (? )

?

相 似 性 :
(a ? 0 )

F [ f ( a t )] ?

1 a

F(

w a

)

? ? ?

F [ u ( t )] ?

四、拉普拉斯变换的概念
F [? ( t )] ? 1

?
F [1] ? 2 ?? (? )
10

L [ f ( t )] ?

?

??

f (t ) e
0

? st

dt ? F (s)

五、几个常用函数的拉普拉斯变换 ? ?
L[e ] ?
kt

L[e

at

f ? t ?] ? F ? s ? a ?

1

L[t ] ?
m

s?k ? ( m ? 1)


? m! s
m ?1

?
(m

位移性 (频域) L [ f ? t ? ? ? ] ? e ? s? F ? s ? : ( ? ? 0 , t ? 0, f ( t ) ? 0 )

s

m ?1

是自然数 ) ; ?


1 ? (1) ? 1, ? ( ) ? 2

相似性: L [ f ( a t )] ?

1

s F( ) a a

(a ? 0 )

? , ? ( m ? 1) ? m ? ( m ) )
1 s

七、卷积及卷积定理 ? ?
f1 ( t ) * f 2 ( t ) ?

? ? ?

L [ u ( t )] ? L [1] ?
L [? ( t )] ? 1



?

?? ??

f 1 (? ) f 2 ( t ? ? ) d ?

F [ f 1 ( t ) ? f 2 ( t )] ? F1 ( w ) ? F2 ( w )

L [sin kt ] ?

k s ?k
2 2

,

L [co s kt ] ?

s s ?k
2 2

? ?

F [ f 1 ( t ) ? f 2 ( t )] ?

1 2?

F1 ( w ) ? F 2 ( w )

L [ f 1 ( t ) ? f 2 ( t )] ? F1 ( s ) ? F 2 ( s )

?

L [s h kt ] ?

k s ?k
2 2

,

L [ ch kt ] ?

s s ?k
2 2

八、几个积分公式 ?

? ?
?
1

?? ?? ?? ??
??

f ( t ) ? ( t ) d t ? f (0 ) f ( t )? ( t ? t 0 ) d t ? f ( t 0 )
f (t ) t dt ?

?


L[ f t
T

f (t ? T ) ? f (t )





?
( ?

T 1 ? ( ) f t ]d t 。 f ( t ) 是以 ( ?Ts ? 0 1? e

)
0

?

? 0

L [ f ( t )] d s ?

?

?

F (s)ds
0

1

为周期的周期函数) ? 域
2

六、拉普拉斯变换的性质 ? 微 分 性 ( 时 ) :

?

??

f (t )e
0

? kt

d t ? L [ f ( t )]

s?k

L [ f ? ? t ? ] ? sF ? s ? ? f ? 0 ? , L [ f ??( t )] ? s F ( s ) ? sf (0) ? f ?(0)

模拟试卷一 一.填空题

?

微分性(频域) L([ )?f t ] ? F? s? : t
L [( ? t ) f ? t ? ] ? F
n (n)

??

?,

?s?
t

?1? 1. ? ?1 ?
2. I=

i? ? ? i?

7

.

?

积分性(时域) L [ ? f ? t ? d t ] ? : 0 积分性(频域) L [ : (收敛) 位 移 性
f ?t ? t ]?

F ?s? s

? ?z
c

? e sin z ?dz , 其中 c 为 z ? a ? 0的正向
z

?

?

? s

F ? s ?d s

,则 I=

.

?







) :
11

3.

tan

1 z

能否在 0 ? z ? R 内展成

Lraurent 级数? 4.其中 c 为

2. 设函数 f ? z ? 与分别以 z=a 为 m 级与 n

z ? 2

的正向:

级极点,那么函数

f ? z ? g ? z ? .在 z=a 处

?z
c

2

sin

1 z

dz =
sin ?

极点如何? 3.求下列函数在指定点 z0 处的 Taylor 级 数及其收敛半径。

5. 已知 F ?? ? ? 二.选择题 1.

?

,则

f ?t ? =

f ?z ? ?

1 z
2

, z0 ? ?1

f ? z ? ? z Re ? z ? 在何处解析
(B)1 (C)2

4.求拉氏变换 实数) 5. 求方程

f ?t ? ? sin 6 t (k 为
?t

(A) 0 (D)无

y ?? ? 4 y ? ? 3 y ? e



足条件 y ?0 ? ? y ? ?0 ? ? 1 的解.

2.沿正向圆周的积分.

z ?2

?

sin z z
2

?1

dz =

四.证明题 1.利用 ez 的 Taylor 展式,证明不等式

(A)2

? i sin 1
1.

e ?1 ? e
z

z

?1? z e

z

.

(B) 0. (D)以上都不对. 的收敛域为 2.若 F ??

(C) ? i sin 3.

? ? ? ? f ?t ??
1

(a 为非零常数)

n ? ??

?

??

4

? n

? z ? 1? n
1

证明:? ? f ? at ?? ?

?? ? F? ? a ? a ?

模拟试卷一答案

(A)

.

? z ?1 ? 4

4

.

一.填空题 1. i

2.

0

3.否

4. ? 1 / 6

(B) 1 ? z ? 2 ? e (C) 1 ? z ? 1 ? 2 . (D)无法确定 4. 设 z=a 是 f ? z ? 的 m 级极点,则 在点 z=a 的留数是 (A) m. (B) -2m. (D) 以上都不对. 三.计算题 1.

f ?? z ? f ?z ?
. (C) -m.

? 0 .5, t ?1 ? t ? 1 二.选择题 5. f ? t ? ? ? 0, ? ? 0 .2 5, t ? 1 1. (D) 2. (A) 3.(A) 4. (C) 三.计算题

1. u ? 3 x y ? y ? c
2 3

f ? z ? ? u ? iv 为 解 析 函 数 ,
3 2 2

2.函数 m+n 级 3
f

f ? z ? g ? z ? 在 z=a 处极点为


u ? v ? x ? 3 x y ? 3 xy
,求 u

? y

3

?z? ?

1 z
2

?

? n ? z ? 1?
n ?1

?

n ?1

R ?1

12

6
4. 5.

(A) (B) ? F ???

F ???

??

2 F ??

?

.

s ? 36
2

??

2 F ?? ? .

y ?t ? ? ?

3 4

e

?3t

?

7 4

e

?t

?

1 2

(C)

i F ???

??

2 F ?? ? .
dz

(D)

te

?t

.

以上都不对

. 3.C 为 z ? 3 的正向, ? 3 10 z ?z ? 2 ? c
(A) .1 (D) 以上都不对 (B)2 (C)0

模拟试卷二 一.填空题 1. C 为 2.

z ? 1 正向,则 ? z dz
c

=

4. 沿正向圆周的积分 ? z

sin z
?2

? ? ? ?z ? ? 2 ? ?

2

dz

f ? z ? ? my

3

? nx y ? i x ? lxy
2 3

?

2

?

= (A).0. (D). 以上都不对. 三.计算题 1. 求 sin(3+4i). (B).2 (C).2+i.

为 解 析 函 数 , 则 l, m, n 分 别 为 . 3. R e s

? sh z ? ,0 ? ? z2 ? ? ?
?

4. 级数 ?

?z

? 2? n
2

2.计算
n

? ? z ? a ?? z ? b ? , 其中
c

dz

a、b

.收敛半径为

n ?1

为不在简单闭曲线 c 上的复常数,a ? b. 3.求函数 f ? z ? ? , 则

5. ? -函数的筛选性质是 二.选择题 1 . ?? f ?

z ?1 z ?1

, z 0 ? 1 在指定

f ?t ? ? e u ?t ? 1 ?
?t

点 z0 处的 Taylor 级数及其收敛半径。 4. 求拉氏变换

?t ?? ?
e

?
? ? s ?1 ?

f ?t ? ? e
?

kt

(k 为实数)

e
(B)

? ? s ?1 ?

四.证明题

(A) .

s ?1
? ? s ?1 ?

s ?1

1.

?C
n?0
n

?

n

收敛,而

?

C n 发散,证明

n?0

e
(C)2

s ?1

(D) 以上都不对

2 . ? ?

? f ?t ?? ?

F ??

?

?C
n?0

?

z 收敛半径为 1

n

, 则 2.若 ?

??t ? 2 ? f ?t ?? ?
13

? f ?t ?? ? F ? s ? ,(a 为正常

s ? f ? at ?? ? F ? ? ? ? 数)证明:? a ?a? 1
模拟试卷二答案 一.填空题 1.

1.z=0 为 级零点,

f ?z ? ? z

2

?e

z

2

?1

?



2? i
3.1

1 ? ? Re s ? 2 ,0 ? 2. 3 ?z ? z ?
2. 4. 1 3. a,b,c 均为复数,问 ?a ?
b c

.

l ? n ? ? 3, m ? 1
5.

与a

bc



?

?? ??

? ?t ? f ?t ? dt ? f ? 0 ? 2 . (C) 3 . (C)

定相等吗? . 4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能 有奇点吗? 5.

二.选择题 1 . (B) 4. (A) 三.计算题

? cos
c

dz z
= .

e
1.

?4 ? 3i

?e 2i

4 ?3i

2.当 a、b 均在简单闭曲线 c 之内或 之外时

二.选择题 1. 设 u 和 v 都是调和函数,如果 v 是 u 的共 轭调和函数,那么 v 的共轭调和函 数 为 . (A) u. (B)-u. (C)2u (D)以上都不对。

? ?z ? a??z ? b? ?
c

dz

? 0,
2.级数

?

?

e

in

当 a 在 c 之内, b 在 c 之外时

n ?1

n

. (B) 条 件 收 敛 (D)无法确定

? ?z ? a??z ? b? ?
c

dz

?

2? i a?b
? 2? i a?b

,

(A) . 发 散 . (C)绝对收敛 3 . C
z

当 b 在 c 之内, a 在 c 之外时



z ? 2

的 正 向 ,



? ?z ? a??z ? b? ?
c

dz

?

,

3
f ?z? ? z ?1 z ?1 ?



?z ?
c

e dz
2

?z
.1
1 9

2

? 9?

?

. (B)2 (D) 以上都不对

? ? ? 1?
n?0

?

n

? z ?1? ? ? ? 2 ?

n ?1

(A)
R ?2

(C) 2 ? i 4 .

.

?

? f ?t ?? ?
? i?

F ??
. (B)

?





1
4.

s?k
模拟试卷三

? ? f ?1 ? t ?? ? (A)

F ?? ?e

F ? ? ? ?e

? i?

一.填空题

(C) F ?? ?e 三.计算题
14

i?

(D) 以上都不对

1.
f ?z ? ?





1
? ?
d? ? 0.

z ?1

?

dz z ? 2

, 从而 证明

?

?
0

1? 2c 5 ? 4c

4.

?s ? k o ?

2

s s

模拟试卷四 一.填空题

o

2.求在指定圆环域内的 Laurent 级数

1. 复 数 z ? 式 . 2. 设
?

1? i 1?i
三 角 表 示 形 .

f ?z ? ?
2?

z ?1 z
2

, z ?1 ? 1

u ? x

2

? y
n

2

? xy 为 调 和 函

3.利用留数计算定积分:

数,其共轭调和函数为 3.
kt

?

d? 2 ? cos ?


0

? c ?z ? i?
n n?0

能否在 z=-2i 处收敛而

4. 求拉氏变换 四.证明题 1.说明 Lnz 么? 2. 利 用
2

f ?t ? ? te (k 为实数) .
? 2 Lnz 是否正确,为什
卷 积 定 理 证 明

z=2+3i 发散. 4.

z ?0
3 3



f ? z ? ? 6 sin z ? z
的 5. 卷积定理为 二.选择题 级极点

?z

6

?6

?

t F ?s ? ? f ?t ?dt ? ? ? ??0 ? ? ? s

1. F ?? ? ? 2?? ?? ? 则 f ? t ? = (A) .7 (D) 以上都不对 不一定 4. 2. 若 ?1 ? (B)1
n

模拟试卷三答案 一.填空题 1. 4 2. 1 否 5. 0 二.选择题 1. (B) 2. (A) 三.计算题 3.

(C)2

3i

?

? 1?

?

3i

?

n

,n 为整

3. (C)

4. (D)

1. 2

f

?z? ? ? ?
z ?1 z
2 ?

dz z?2

数.n= (A) 6k (B)3 (C)3k (D)6 3. C 是直线 OA,O 为原点,A 为 2+i, 则

? 0,


z ?1

? Re ? z ?dz
c
? n ?1

= (B) ( 1+i ) /2. (D). 以上都不对.

f ?z? ?
.

?

? ? ? 1? ? n ? 1? ? z ? 1?
n?0

n ?1

(A).0. (C).2+i. 4 . 设 ?? ?

? ? ? f ?t ? ? s i? t n? ? , 则 3 ? ?

2
3.

3?

f ?t ?? ? ?

3
15

(A) .

2 ?1 ? s
? 2

1?

3s
2

?

(B)

2 ?1 ? s

s?

3
2

?

3. 否 4. 15 5. 略 二.选择题

1

?
3

s

(C)

1? s

e

(D) 以上都不对

1 . (B) 4.(C) 三.计算题 1. f ? z ? ?

2. (C)

3. (C)

三.计算题 1.求在指定圆环域内的 Laurent 级数

f ?z ? ?

sin z z

,0 ? z ? ? .

? ? ? 1? ? n ? 1?
n n?0

?

z

2n

? 2 n ? 1? !
的 m-n 级极

2.设函数 f ? z ? 与分别以 z=a 为 m 级与 n 级

2.当 m>n 时, z=a 为 点

f ?z ? g ?z ?

f ?z ?
极点, 那么函数

g ?z ?

.在 z=a 极点如何?

当 m≤n 时, z=a 为

f ?z ? g ?z ?

的可去奇点

? E ,0 ? t ? 5; f ?t ? ? ? 3.求 傅氏变换。 ? 0 , 其他

2E
3.

?

e

5 ? ? j 2

sin

5? 2

4.求拉氏变换 f ?t ? ? e ? 2 t sin 6 t . 四.证明题 1.若 ? ? 1, ? ? 1, 求证
? ? ?
1??? ?1

6

4.

?s ? 2?

2

? 36

.

四.证明题 1.略 2.略

2.若 F ?? ? ? ? ? f ?t ?? ,证明:. ?

? f ?t ? cos ? 0 t ? ? ?F ??
2

1

? ? 0 ? ? F ?? ? ? 0 ??

模拟试卷五 一.填空题 1. 为
z ? 4 iz ? ? 4 ? 9 i ? ? 0
2



,

模拟试卷四答案 一.填空题 1.
y ?x
2 2

co s

?
2

? i sin

?
2
2.

2.

?

z
z ?2

z

dz 和

?

z
z ?4

z

dz 是否相等

? 2 xy ? c
16

2

3. 叙述傅氏积分定理 4. 拉氏变换的主要性质 二.选择题 1 . 已



c 0 ? 1, c n ?
??

n! n
n

, c? n ? 1 ?

1 2

?? ?

1 n

正:
.



1

n ? ??

?

c n ? z ? 2 ? 的收敛圆环为
n

?

1
z ? 3 2

z ? z ? 1?

dz ?

?

z ?

3 2

z dz ? 2 ? i ? 1 ? ? ? z ?1 ?z?

z ?1

? 2? i.

1

(A).

4

? z ? 2 ? 4.

(B) 1 ? z ? 2 ? e 一.填空题 1.
3 2

模拟试卷五答案

(C) 1 ? z ? 1 ? 2 . (D)无法确定 2. w ?

1 z
2 2 将 z 平面上 x ? y ? 4 映射

2

? 3 2 ??2? ? 2 ?

? 3 2 ? 3 2 ??2? ? i和 ? ? 2 2 ? ?

? ?i ? ?

成 w 平面上的 (A) . 直 线 (C) u 2 ? v 2 ?
1 4

(B)u+v=1 (D)以上都不对
1

2. 相等 3. 略 4. 略 二.选择题 1. (B) 三.计算题

3.z=0 是 f ? z ? ? z e z 什么奇点
2

2. (C)

3. (B)

4. (B)

(A) . 可 去 (C)2 级极点

(B) 本 性 奇 点 (D) 以上都不对

4. ? ?t ? t 0 ? 的傅氏变换为 (A) 1 (C) (B)

? ? ? z ? ? ? ? 2k? ? i . 1. ? 2 ?

e

? i? t 0

?
2.

e

i? t 0

(D) 以上都不对

3e
?

3

三.计算题 1. 解方程 e
??

?? ??

sin x x
2

2

3.
z

dx ? ?

? i ? 0.
4. e

?t

2. 利 用 留 数 计 算 定 积 分 :

? t ?1
复变函数与积分变换试题

?

cos x x
2

??

?3

2

dx
(本科)

3.利用能量积分求 4.求 F ? s ? ?
1 s
2

?

??

sin x x
2

2

??

dx

一、填空题(每小题 2 分,共 12 分) 1 、 设 z ? 2 2 ? 2i , 则 其 三 角 表 示 式 为 ______________; 2 、 满 足 |z+3|-|z-1|=0 的 z 的 轨 迹 是 __________; 3、 Ln ( 3 ? i ) ? ___________________;
17

? s ? 1?

的拉氏逆变换.

四.证明题 1. 试证 argz 在原点与负实轴上不连续. 2. 下列推导是否正确?若不正确, 把它改

4、 5 e jat 的傅氏变换为__________; 5 、
1 s ?s
2

不能确定; 三 、 已
u ? x ? y
2 2











的 拉 氏 逆 变 换 为

? xy , f ( i ) ? ? 1 ? i ,求解析函数
'

_________________. 6、 f ( z ) ?
1 z ?1
5

f ( z ) ? u ? iv , ,并求 f ( z )

。 分) (8

在 z 0 ? 0 处展开成幂级数 四、设 f ( z ) ? x 2 ? ixy ,试确定 f ( z ) 在何 处可导,何处解析,并求可导点处的导数。 (6 分) 五、求下列函数的积分(每小题 6 分,共 24 分) 1、沿 y ? x 算出积分 ? ( x 2 ? iy )dz 的值;
0 1? i

为_________________________________。 二、选择题(每小题 2 分,共 10 分) 1、设 f ( z ) ? cos z ,则下列命题正确的是 ( ) A 、 | f (z) | 是 有 界 的 ; B、 f ( z ) 以 ? 为周期; C 、
f (z) ? e
iz

2、 ?
? iz

sin z
2?

| z |? 3?

?e 2

3、 ? ; 4、 ?

1 ? cos z 1

dz d?

; ; ,其中 | a |? 1, a ? 0

0

5 ? 3 cos ?
cos z z(z
2

| z | ?1

?a )
2

dz

D、 f ( z ) 在复平面上处处解析。 2、 z ? i , z 48 ? z 21 ? z 10 的值等于 设 则 (
i

) C、

六、 将下列函数展开为级数 (每小题 7 分, 共 14 分) 1、将函数 f ( z ) ?
z ?1 z ?1



A、1; B、-1; D、 ? i 。
z |z|
c

在 z0 ? 1 处

展开成幂级数,并指出其收敛 区间。
dz ?

3、设 C 是正向圆周 | z |? 2 , 则 ? ( ) A、4 ? i ; D、 4? 。 4、z=0 是
1 z sin z

2、将函数 f ( z ) ?

2 z ( z ? i)
2

以z ? i

B、2 ? i ;

C、2? ; 七、

为中心的圆环域内展开为洛朗 级数。 求 微 分 方 程
' ?t

的孤立奇点的类型为( ) B、 D、

y ? 4y ? 3y ? e
"

, y ( 0 ) ? y ?( 0 ) ? 1

的解。

A、 二阶极点; 简单极点; C、 可去奇点; 本性奇点。
? n

(6 分 八、 求下列函数的积分变换 (每小题 6 分,共 12 分) 1、 求 f ( t ) ? ? 变换。
? e ? t sin t , ?0 t ? 0 t ? 0

的傅氏

5、若幂级数 ? c n z 在 z 1 ? 1 ? i 处发散,
n?0

则该级数在 z=2 处的敛散性为( A、绝对收敛; 条件收敛; C、发散;

) B、 D、
18

2 求 f ( t ) ? te ? 2 t cos 7 t 的拉氏变换 九、证明题(每小题 4 分,共 8 分) 1 、 设 复 数 z 1 , z 2 , . z. n . 全 部 满 足

Rs ( z i ) ? 0 .i ? 1, 2 ,... n ,且 ? z n
n ?1 ?

?

和 ? z n2
n ?1

?

都收敛,证明 ? | z | 2 也收敛。
n ?1

2、已知 f ( z ) 在 0<|z|<1 内解析,且
lim zf ( z ) ? 1 ,证明
z? 0

z=0 是 f ( z ) 的一级

极点,并求其留数。

19


推荐相关:

复变函数与积分变换复习提纲以及5套题.doc

复变函数与积分变换复习提纲以及5套题 - 复变函数复习提 纲 (一)复数的概念


荆楚理工学院复变函数与积分变换复习提纲以及5套题 2.doc

荆楚理工学院复变函数与积分变换复习提纲以及5套题 2 - 复变函数复习提纲 (一


复变函数跟积分变换复习提纲以跟5套题新.doc

复变函数跟积分变换复习提纲以跟5套题新 - 复变函数复习提纲 (一)复数的概念


复变函数与积分变换复习提纲以及5套题.doc

复变函数与积分变换复习提纲以及5套题 - 实用标准文案 复变函数复习提 纲 (一


复变函数与积分变换复习提纲以及5套题.doc

复变函数与积分变换复习提纲以及5套题 - 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1


复变函数与积分变换复习重点及精选习题.pdf

复变函数与积分变换复习重点及精选习题 - 复变函数与积分变换期末考试复习知识点


复变函数与积分变换五套试题及答案.doc

复变函数与积分变换五套试题及答案 - 复变函数与积分变换试题( 复变函数与积分变换试题(一) 一、填空(3 分×10) 1. ln(?1 ? 3 i ) 的模 2.-8i ...


荆楚理工学院复变函数与积分变换复习提纲以及5套题 2.pdf

荆楚理工学院复变函数与积分变换复习提纲以及5套题 2 - 复变函数复习提纲 (一


复变函数与积分变换试题及答案5.doc

复变函数与积分变换试题及答案5 - 多校历年复变习题,建大内部题库... 复变函数与积分变换试题及答案5_工学_高等教育_教育专区。多校历年复变习题,建大内部题库...


复变函数与积分变换复习提纲.pdf

复变函数与积分变换复习提纲 - 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概


[超详细版]复变函数与积分变换复习提纲.pdf

[超详细版]复变函数与积分变换复习提纲 - 复变函数复习提纲 (一)复数的概念


复变函数与积分变换复习题.doc

复变函数与积分变换复习题 - 一、简答题(本题满分 24 分,共含 6 道小题,


复变函数与积分变换复习重点.doc

的复合函数仍为解析函数; ()函数可导与解析的充...2. 复变函数积分的性质 1) 2) n (题目要求用...积分变换复习提纲 一、傅里叶变换的概念 F [ f ...


【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲 (1).doc

【绝对有用】复变函数与积分变换复习提纲 (1) - 复变函数复习提纲 (一)复数


复变函数与积分变换复习题+答案.doc

复变函数与积分变换复习题+答案_工学_高等教育_教育专区。复变函数与积分变换...三、判断正误 1、×√ 2、× 10、× 3、× 11、× 4、√ 5、× 6、...


复变函数与积分变换试题及答案.doc

复变函数与积分变换试题及答案 - 第一套 第一套 一、选择题(每小题 3 分,共


复变函数与积分变换期末复习题.doc

复变函数与积分变换期末复习题 - 《复变函数与积分变换 A》总复习 复习要点:


复变函数与积分变换复习提纲(仅供参考)_图文.ppt

复变函数与积分变换复习提纲(仅供参考) - 复变函数与积分变换A(闭卷) 考试时


复变函数与积分变换试题及答案5.doc

复变函数与积分变换试题及答案5 - 复变函数与积分变换试题与答案 一 判断正确与


复变函数与积分变换试题及答案.doc

复变函数与积分变换试题及答案_理学_高等教育_教育专区。江汉大学文理学院考试..

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com