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2018版高中数学(人教B版)必修五学案:第二章 2.2.2 等差数列的前n项和(一) Word版含答案

2.2.2 等差数列的前 n 项和(一) [学习目标] 1.体会等差数列前 n 项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前 n 项和公式.3.熟练掌 握等差数列的五个量 a1,d,n,an,Sn 的关系,能够由其中三个求另外两个. [知识链接] 1.设梯形的上底、下底、高分别为 a,b,h,把两个相同的梯形一个倒置并成平行四边形, 则梯形的面积为________. 答案 ?a+b?h 2 2.把二次函数 y=-2x2+4x+3 化成 y=a(x+h)2+k 的形式是________,当 x=________时, y 有最________值________. 答案 y=-2(x-1)2+5 1 2 大 5 解析 y=-2x +4x+3=-2(x-1)2+5. ∴x=1 时,y 有最大值 5. [预习导引] 1.等差数列前 n 项和公式 n?a1+an? (1)若{an}是等差数列,则 Sn= . 2 1 (2) Sn 也可以表示为 Sn=na1+ n(n-1)d. 2 2.数列中 an 与 Sn 的关系 ? ?n=1?, ?S1 对任意数列{an},Sn 与 an 的关系可以表示为 an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?. 3.等差数列前 n 项和的最值 d d (1)因为等差数列前 n 项和可变为 Sn= n2+(a1- )n, 若 d≠0, 则从二次函数的角度看: 当 d>0 2 2 时,Sn 有最小值;当 d<0 时,Sn 有最大值;且 n 取最接近对称轴的自然数时,Sn 取到最值. ? ?an≥0, (2)在等差数列{an}中, 当 a1>0, d<0 时, Sn 有最大值, 使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组? ?an+1≤0 ? 确定; ?an≤0, ? 当 a1<0,d>0 时,Sn 有最小值,使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组? 确定. ? ?an+1≥0 要点一 等差数列 Sn 中基本量的计算 例 1 在等差数列{an}中, (1)已知 S8=48,S12=168,求 a1 和 d; (2)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8; (3)已知 a16=3,求 S31. ? ?8a1+28d=48, 1 解 (1)∵Sn=na1+ n(n-1)d,∴? 2 ?12a1+66d=168, ? 解方程组得 a1=-8,d=4. ?a1+5d=10, ? (2)∵a6=10,S5=5,∴? ? ?5a1+10d=5, 解方程组得 a1=-5,d=3, ∴a8=a6+2d=10+2×3=16, 8?a1+a8? S8= =44. 2 (3)S31= a1+a31 ×31=a16×31=3×31=93. 2 规律方法 a1,d,n 称为等差数列的三个基本量,an 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示,五 个量 a1,d,n,an,Sn 中可知三求二,注意利用等差数列的性质以简化计算过程,同时在具体 求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. 跟踪演练 1 在等差数列{an}中. 5 3 (1)a1= ,an=- ,Sn=-5,求 n 和 d. 6 2 (2)a1=4,S8=172,求 a8 和 d. (3)已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n. 5 3 n? - ? 6 2 n?a1+an? 解 (1)由题意,得 Sn= = =-5, 2 2 解得 n=15. 5 3 1 又 a15= +(15-1)d=- ,∴d=- . 6 2 6 8?a1+a8? 8?4+a8? (2)由已知,得 S8= = =172,解得 a8=39, 2 2 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. a =a +?n-1?d, ? ? n 1 (3)由? n?n-1? Sn=na1+ d, ? 2 ? a +2?n-1?=11, ? ? 1 得? n?n-1? na1+ ×2=35, ? 2 ? ? ? ?n=5, ?n=7, 解方程组得? 或? ?a1=3 ?a1=-1. ? ? 要点二 由数列的 Sn 求通项 an 例 2 (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2-3n,求证数列{an}是等差数列. (2)数列{an}的前 n 项和 Sn=35n-2n2,求使 Sn 最大的 n. (1)证明 a1=S1=1-3=-2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2-3n)-[(n-1)2-3(n-1)]=2n-4, 当 n=1 时,2n-4=-2=a1,∴an=2n-4. 又因为 an-an-1=(2n-4)-[2(n-1)-4]=2(n≥2),所以{an}是等差数列. 35 1225 (2)解 由 Sn=35n-2n2=-2(n- )2+ . 4 8 当且仅当 n=9 时,Sn 最大.故 n=9. ? ?n=1?, ?S1 规律方法 一般地,an 与 Sn 有如下关系:an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?. an=Sn-Sn-1 并非对所有的 n∈N+都成立, 而只对 n≥2 的正整数成立. 由 Sn 求通项公式 an 时, 要分 n=1 和 n≥2 两种情形,然后验证 n=1 时是否满足 n≥2 的解析式,若不满足,则用分 段函数的形式表示. 1 跟踪演练 2 已知正数数列{bn}的前 n 项和 Sn= (bn+1)2,求证{bn}为等差数列,并求其通项. 4 解 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1, 1 1 ∴bn= (bn+1)2- (bn-1+1)2 4 4 1 = (b2 -b2 n-1+2bn-2bn-1). 4 n 2 整理,得 b2 n-bn-1-2bn-2bn-1=0, ∴(bn+bn-1)(bn-bn-1-2)=0, ∵bn+bn-1>0,∴bn-bn-1=2(n≥2). 1 又∵b1= (b1+1)2,∴b1=1, 4 ∴{bn}为等差数列,∴bn=1+(n-1)· 2=2n-1. 要点三 等

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