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2.2.1 双曲线及其标准方程(第一课时)


复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题:

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?
双曲线图象 拉链画双曲线

思 考:
平面内与两 定点F1,F2 的距离的差 为非零常数 的点的轨迹 是什么?

定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于非零常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫双曲线。 这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的 焦距.

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考: (1)2a<2c ; (2)2a >0 ;
F
1

M

o

F

2

(1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

c ?a ?b
2

问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

例题讲解

例 1(参考课本 P47 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

x y 例2:如果方程 ? ? 1 表示双曲 2? m m ?1 线,求m的取值范围.

2

2

解: 由(2 ? m)(m ? 1) ? 0 得m ? ?2或m ? ?1 ∴ m 的取值范围为 (??, ?2) ? (?1, ??)
思考: 2 2 方程 x ? y ? 1 表示焦点在y轴双曲线时, 2? m m ?1

m ? ?2 则m的取值范围_____________.

例3.(课本第47页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆 炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处 测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方 程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

相关结论:
1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时, P点轨迹是双曲线

其中当|MF1|-|MF2||= 2a时,M点轨迹是与F2对 应的双曲线的一支; 当|MF2| - |MF1|= 2a时,M 点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时,M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。

3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在
4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时,M点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线 。

课堂练习

作 业

教材P36

2

结束

思 考:
平面内与两 定点F1,F2 的距离的差 为非零常数 的点的轨迹 是什么?

定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于非零常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫双曲线。 这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的 焦距.


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