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东北三省四市教研联合体2016届高三数学第一次模拟考试试题 文


2016 年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一) 文科数学
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x<一 1 或 x>4) ,B={x|-2≤x≤3) ,那么阴影部分表示的集合为 A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3 或 x≥4} C. {x|-2≤x≤一 1} D. {x|-1≤x≤3} 2.若复数 z 满足 iz= 2-4i,则三在复平面内对应的点的坐标是 A.(2,4) B. (2,-4) C. (-4,-2) D. (-4,2) 3.等比数列{an}中,an>0,al+a2=6,a3=8,则 a6= A.64 C.256 B.128 D.512

4.右图所示的程序运行后输出的结果是 A.-5 B.-3 C.0 D.1 5.在中秋节前,小雨的妈妈买来 5 种水果,4 种肉类食品做月饼.要求每种馅只能用两种食材,且 水果和肉类不能混合在一起做馅,则小雨妈妈做出水果馅月饼的概率是 A.

1 3

B.

5 8

C.

2 3

D.

7 9

6.已知函数 f(x)的定义域为(一∞,+∞) ,如果,f(x+2016)= ?

? 2 sin x, x ? 0 ? ,那么 ? ?lg(? x), x ? 0

f (2016 ? ) ? f (?7984) ? 4 1 A.2016 B. 4

?

C.4

D.

1 2016

7.如图所示的数阵中,每行、每列的三个数均成等差数列, 如果数阵中所有数之和等于 63,那么 a52= A. 2 B. 8 C. 7 D. 4 8.哈尔滨文化公同的摩天轮始建于 2003 年 1 月 15 日,2003 年 4 月 30 日 竣工,是当时中国第一高的巨型摩天轮.其旋转半径 50 米,最高点距地 面 110 米,运行一周大约 21 分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则 第 14 分钟时他距地面大约为( )米. A.75 B.85 C.100 D.110 9.原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”.当时
1

有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由 细到粗,满七进一,那么孩子已经出生多少天? A. 1326 B.510 C.429 D.336

10.已知椭圆 C1:

x2 y 2 x2 y 2 ? =1 的渐近线方程为 x ? 3 y=0,则 ? =1 ( a>0 , b>0 ) .双曲线 C 2: a 2 b2 a 2 b2

C1 与 C2 的离心率之积为 A.

15 4
6 5

B.

3 2

C.

D.

2 2 3

11.如图是某一几何体的三视图,则该几何体的体积是 A.

3 2

B. D.

5 4

C.1

3 4
B.2f(

12.已知函数 f(x+2)是偶函数,且当 x>2 时满足 xf '(x)>2f '(x)+f(x)) ,则 A.2f(1)<f(4)

3 )>f(3) 2

C.f(0)<4f(

5 ) 2

D.f(1)<f(3))

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上. 13.抛物线 y =4x 的焦点到准线的距离为 . 14.在某次数学考试中,甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀.当他们被问到谁得到了优 秀时,丙说: “甲没有得优秀” ;乙说: “我得了优秀” ;甲说: “丙说的是真话” ,事实证明:在这 三名同学中,只有一人说的是假话,那么得优秀的同学是____. 15.某高中准备租用甲、乙两种型号的客车安排 900 名学生去冰雪大世界游玩.甲、乙两种车辆 的载客量分别为 36 人/辆和 60 人/辆,租金分别为 400 元/辆和 600 元/辆,学校要求租车总 数不超过 21 辆,且乙型车不多于甲型车 7 辆,则学校所花租金最少为____元. 16.已知点 O 是△ABC 外心,AB=4,AO=3,则 AB ? AC 的取值范围是
2

uu u r uuu r



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置. 17. (本小题满分 1 2 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (I)求

cos B ? 2 cos A cos C ? 2a ? b c

a 的值; b

(Ⅱ)若角 A 是钝角,且 c=3,求 b 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 某企业每天由空气污染造成的经济损失 y(单位:元)与空气污染指数 API(记为 x)的数据
2

统计如下:

(I)求出 y 与 x 的线性回归方程 $ y ?$ bx ? $ a; (Ⅱ)若该地区某天的空气污染指数为 800,预测该企业当天由空气污染造成的经济损失.

附:回归方程中

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知多面体 4 BCDEF 中,ABCD 为菱形,∠ABC=60°, AE⊥平面 4BCD,AE∥CF,AB=AE=1,AF⊥BE. (I)求证:AF⊥平面 BDE; (Ⅱ)求多面体 ABCDEF 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 椭圆 C1:

1 x2 y 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的长轴长等于圆 C2:x2+y2=4 的直径,且 C1 的离心率等于 .直 2 2 a b

线 l1 和 l2 是过点 M(1,0)互相垂直的两条直线,l1 交 C1 于 A,B 两点,l2 交 C2 于 C,D 两点. (I)求 C1 的标准方程; (Ⅱ)当四边形 ABCD 的面积为 21. (本小题满分 1 2 分) 已知函数 f(x)=mx且 0∈[0,

12 14 时,求直线 l1 的斜率 k(k>0) . 7

? ) . 2

m ?1 1 -lnx,m∈R.函数 g(x)= +lnx 在[1,+∞)上为增函数, x x cos ?

(I)当 m=3 时,求 f(x)在点 P(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求 ? 的取值; (Ⅲ)若 h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上为单调函数,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图,已知线段 AC 为⊙O 的直径,P 为⊙O 的切线,切点为 A,B 为⊙O 上一点,且 BC∥PO. (I)求证:PB 为⊙O 的切线; (Ⅱ)若⊙O 的半径为 1,PA =3,求 BC 的长. 23. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分)
3

在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 的参数方程为



是参数) ,圆 C2 的参数

方程为



是参数) ,以 O 为极点,戈轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(I)求圆 C1,圆 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 ? = ? ( 0≤ ? <2 ? )同时与圆 C1 交于 O,M 两点,与圆 C2 交于 O,N 两点,求|OM|+|ON| 的最大值. 24. 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=|x-a|,函数 g(x)=|x+l|,其中 a 为实数. (I)A={x|f(x)≤2) ,B={x|g(x)+g(x-l)≤5},且 A 是 B 的子集,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若对任意的 x∈R,不等式 f(x)+g(x)>2a+1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2016 高三一模文科答案 一、选择题 题号 答案 题号 答案 二、填空题 13、2 14、丙 17. (1)由正弦定理 1 D 7 C 2 D 8 B 15、9200 3 A 9 B 4 B 10 D 16、[-4,20] 5 B 11 C 6 C 12 A

? sin C cos B ? 2 sin C cos A ? 2 sin A cos C ? sin B cos C ????????..1 分
? sin C cos B ? sin B cosC ? 2(sin C cos A ? sin A cosC )

? sin?B ? C ? ? 2 sin? A ? C ?
?A? B ?C ?? ? sin A ? 2 sin B
(2) 由余弦定理

????????????????..3 分 ?????????????????4 分

?

a ?2 b

????????????????.5 分

b 2 ? 9 ? a 2 b 2 ? 9 ? 4b 2 9 ? 3b 2 cos A ? ? ? ?0 2b ? 3 18b 18b
?b ? c ? a ? b ? 3 ? 2b ? b ? 3②
由①②得 b 的范围是 18. 答: (1)

?b ? 3 ① ?????8 分

????????????????.10 分

?

3,3

?

????????????12 分 ??..1 分

x?

1 ?150 ? 200 ? 250 ? 300 ? ? 225 4

4

y?
4

1 ?200 ? 350 ? 550 ? 800 ? ? 475 4
i

???..2 分

? ?x
i ?1 4

? x yi ? y ? ?? 75?? ?? 275? ? ?? 25?? ?? 125? ? 25? 75 ? 75? 325 ? 50000????..4 分 ? x ? ?? 75? ? ?? 25? ? 252 ? 752 ? 25 ? 25 ? 20=12500 ???????..6 分
2 2 2

??
?

?

? ?x
i ?1

i

b=4 a= y ? b x ? 475? 4 ? 225 ? ?425

???????..7 分 ?????? ..8 分 ???????..10 分 ???????..12 分

? ? 4 x ? 425 所以, y
(2) x ? 800 , y ? 2775(元)

19. (Ⅰ)证明:连 AC 交 BD 于 O ,则 BD ? AC ,?????????..?1 分 又 AE ? 面 ABCD , BD ? 面 ABCD ,则 BD ? AE ,?????????..?2 分 又 AC ? AE ? A 则 BD ? 面 EACF , AF ? 面 EACF ?????????..?3 分 则 BD ? AF . 又 AF ? BE , BD ? BE ? B ?????????..?4 分 所以 AF ? 面 BDE ?????????..?5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) AF ? 面 BDE , EO ? 面BDE 得 EO ? AF ?????????..?6 分 所以 ?AEO ? ?CAF 所以 tan ?AEO ? tan ?CAF ? 所以 FC ?

AO FC ?????????..?7 分 ? AE AC

1 ?????????..?8 分 2

设所求多面体的体积为 V 则 V ? VB ? ACFE ? VD? ACFE ?

3 ?????????..?12 分 4

20. 解:(1)由题意 2a ? 4,? a ? 2 -----------1 分

?

c 1 ? ,? c ? 1 -----------2 分 a 2

b ? 3 -----------3 分
所以 (2) ①设 AB : y ? k ( x ? 1) ,则 CD : y ? ?

x2 y 2 + =1 -----------4 分 4 3
1 ( x ? 1) k
5

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 得 (3 ? 4k ) x-8k x ? 4k ?12 ? 0 -----------5 分 ? 2 2 3 x ? 4 y ? 12 ?
? 8k 2 x ?x ? ? ? 1 2 3 ? 4k 2 ?? 2 ? x x ? 4k ? 12 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
2

------------------------6 分

12(k 2 ? 1) ? AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? -----------7 分 3 ? 4k 2
设圆心 (0, 0) 到直线 CD : x ? ky ? 1 ? 0 的距离 d ?
2

1 k 2 ?1

CD 4k 2 ? 3 2 -----------------------8 分 ? ? d ? 4 , 得 CD ? 2 k 2 ?1 4
? AB ? CD ? S ABCD ?
12 k 2 ? 1 4k ? 3
2

1 12 k 2 ? 1 -----------------------10 分 AB ? CD ? 2 4k 2 ? 3

?

12 14 7

解得 k ? 1 或 k ? ?1 -----------11 分 由k ? 0 所以 k ? 1 -----------12 分 21. 答案(1)当 m=3 时 f ( x ) ? 3 x ?

2 2 1 ? ln x , f ?( x) ? 3 ? 2 ? ???1 分 x x x 所求切线斜率 k ? f ?(1) ? 4, f (1) ? 1 ? y ? 1 ? 4( x ? 1) 即切线方程为 4 x ? y ? 3 ? 0 ???3 分 1 1 1 ? ? 0 在 x ??1, ??? 上恒成立, (2)? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数,? g ?( x) ? ? cos ? x 2 x 1 ? x 在 x ??1, ??? 上恒成立,???5 分 即 cos ?
? ?? ?? ? ?0, ? ,? cos ? ? 1, 又? cos ? ? 1? cos ? ? 1 ? 2?
?? ? 0
???7 分

?

1 ?1 cos ?

(3)由(2)知? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? mx ?

m ?1 1 m ? ln x ? ( ? ln x) ? mx ? ? 2 ln x x x x

? h?( x) ?

mx 2 ? 2 x ? m x2

???8 分

? h( x) 在 ? 0, ?? ? 上为单调函数,

6

? mx2 ? 2 x ? m ? 0或mx2 ? 2 x ? m ? 0 在 x ? ? 0, ??? 上恒成立,???9 分
即 x ? ? 0, ??? 时 m ?

2x 2x 或m ? 2 恒成立,???10 分 x ?1 x ?1 1 2x 2 ?x? ? 2 ( 当 且 仅 当 x ?1 时 “ 等 号 ” 成 立 ) 设 F ( x) ? 2 ? ( x ? 0) x x ?1 x ? 1 x
2

? 0 ? F ( x) ? 1 ???11 分

? m ? 1或m ? 0 , 即 m 取值范围为 ? ??,0? ??1, ???
1 ?AOB , 2 又? BC // PO ? ?POA ? ?BCA ,---------1 分
22. (1)连接 OB ,? ?BCA ?

???12 分

? ?AOP ? ?BOP, 又 ? OA ? OB, OP ? OP

? ?AOP ? ?BOP ---------2 分 ? ?OAP ? ?OBP ,---------3 分 ? ?OBP ? 90? .---------4 分
得证 (2)连接 AB , ?ABC 为直角三角形

? ?PAO ∽ ?ABC ---------6 分 BC AC ? ? ,---------8 分 OA OP
解得 BC ? 23. 解: (1)圆 C1 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 3 ,圆 C2 : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ---------2 分 圆 C1 : ? ? 2 3 cos? ,圆 C2 : ? ? 2sin ? ------4 分 (2) ? ? ? 时,极坐标 M (2 3 cos ? , ? ) N (2sin ? , ? )

10 ---------10 分 5

? OM ? ON ? 2 3 cos? ? 2sin ? ---------6 分
? OM ? ON ? 4sin(? ? ) ----------8 分 3 ? ? 7? ? ?? ? ? 3 3 3 ? ? ? 所以当 ? ? ? ,? ? , 时, | OM | ? | ON | 取得最大值为 4--------------10 分 3 2 6
24(1) A ? x a ? 2 ? x ? a ? 2 , ???1 分

?

?

?

7

B ? ? x ? 3 ? x ? 2? ???3 分
? A 是 B 的子集,? ?

?a ? 2 ? ?3 ? a?2?2

??1 ? a ? 0 ???5 分

(2)? f ( x) ? g ( x) ? x ? a ? x ?1 ? ( x ? a) ? ( x ?1) ? a ?1 ???7 分 当且仅当 ( x ? a)(x ? 1) ? 0 时等号成立 ???8 分 ???10 分

? a ? 1 ? 2a ? 1
.

解得a ? 0

8


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