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【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第二篇 函数、导数及其应用 检测试题 Word版含解析


第二篇 检测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分)

【选题明细表】 知识点、方法 函数的概念 函数的性质 函数的图象 基本初等函数 函数与方程、不等式 函数应用 导数的运算与几何意义 导数的应用 综合问题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.(2012 济南模拟)函数 y=ln(2-x-x2)的定义域是( (A)(-1,2) (B)(-∞,-2)∪(1,+∞) (C)(-2,1) (D)[-2,1) 解析:由题意得 2-x-x2>0, 即 x2+x-2<0,解得-2<x<1. 故选 C. 2.(2012 年高考陕西卷)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D ) C ) 题号 1 2、9、14 7、10 3、13、16、19 4、5 6、15、20 8 11、12、18、21、22 17

(A)y=x+1 (B)y=-x3 (C)y= (D)y=x|x| 解析:y=x+1 是非奇非偶函数但为增函数,y=-x3 是奇函数但为减函数,y= 是奇函数,定义域上不单调,y=x|x|为奇函数也为增函数.故选 D. 3.已知 f(x)= (A)0 (B)1 (C)2 ,则 f(f(1))等于( (D)3 D )

解析:因为 f(x)= 所以 f(1)=0,f(f(1))=3.故选 D. 4.(2012 西安一模)已知符号函数 sgn(x)= 的零点个数为( (A)1 (C)3 (B)2 (D)4 C ) 则函数 f(x)=sgn(ln x)-ln x

解析:依题意得 f(x)=sgn(ln x)-ln x=

令 f(x)=0 得 x=e,1, ,所以函数有 3 个零点, 故选 C. 5.(2012 吉林模拟)当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,则实数 a 的取 值范围为( C )

(A)(2,3] (C)(1,2]

(B)[4,+∞) (D)[2,4)

解析:令 y1=(x-1)2,y2=logax, ∵x∈(1,2)时,y1∈(0,1), 要使(x-1)2<logax 恒成立, 则 ∴1<a≤2,故选 C. 6.(2012 河北石家庄质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定 保鲜时间 y 与储藏温度 x 的关系为指数型函数 y=kax,若牛奶在 0 ℃的 冰箱中,保鲜时间约为 100 h,在 5 ℃的冰箱中,保鲜时间约是 80 h,那么在 10 ℃时的保鲜时间是( (A)49 h C )

(B)56 h(C)64 h(D)76 h

解析:由题意知, 所以 k=100,a5= , 则当 x=10 时,y=100×a10=100× 故选 C. 7.函数 y=e|ln x|-|x-1|的图象大致为( D ) =64.

解析:由 y=e|ln x|-|x-1|= 可以判断选项 D 符合. 8.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( (A)4x-y-3=0 (B)x+4y-5=0 A )

(C)4x-y+3=0 (D)x+4y+3=0 解析:切线 l 的斜率 k=4,设切点的坐标为(x0,y0), 则 k=4 =4,∴x0=1, ∴切点为(1,1),即 y-1=4(x-1), ∴4x-y-3=0.故选 A. 9.若 f(x)= ( B ) (B)[4,8) (D)(1,8) 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为

(A)[-4,8] (C)(4,8)

解析:由题意可知,4- >0 且 4- +2≤a1, 解得 4≤a<8.故选 B. 10.(2012 福州市高三第一学期期末质量检查 )已知 g(x)为三次函数 f(x)= x3+ x2-2ax(a≠0)的导函数,则它们的图象可能是( D )

解析:由已知得 g(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1), ∴g(x)的图象与 x 轴的交点坐标为(-2,0),(1,0),且-2 和 1 是函数 f(x)的极值 点,故选 D. 11.已知 f(x)=aln x+ x2(a>0),若对任意两个不等的正实数 x1 、x2 都有 ≥2 恒成立,则 a 的取值范围是( A ) (A)[1,+∞) (B)(1,+∞) (C)(0,1) 解析:由于 (D)(0,1] =k≥2 恒成立,所以 f'(x)≥2 恒成立.又 f'(x)= +x,故 +x≥2,

又 x>0,所以 a≥-x2+2x,而 g(x)=-x2+2x 在(0,+∞)上的最大值为 1,所以 a≥1. 故选 A. 12.(2012 年高考重庆卷)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f'(x),且函数 y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( D )

(A)函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) (B)函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) (C)函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) (D)函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)

解析:由图象可知,当 x<-2 时, y>0,1-x>0, 所以 f'(x)>0, 当-2<x<1 时,y<0,1-x>0, 所以 f'(x)<0, 当 1<x<2 时,y>0,1-x<0, 所以 f'(x)<0, 当 x>2 时,y<0,1-x<0, 所以 f'(x)>0. 所以函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2).故选 D. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.(2012 浙江嘉兴模拟)若 f(x)= 则 f(f(-2))= .

解析:∵f(-2)=|-2-1|=3, ∴f(3)=log33=1,即 f(f(-2))=1. 答案:1 14.设函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,又已知 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(1)=0,则不等式 <0 的解集为 .

解析:因为函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,所以该函数是偶函数,又 f(1)=0, 所以 f(-1)=0,又已知 f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以 f(x)在(-∞,0)上为增函 数, <0 可化为 xf(x)<0,所以当 x>0 时,解集为{x|x>1},当 x<0 时,解

集为{x|-1<x<0}.综上可知,不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 15. 若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 f(x)的图象 上;②P,Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数 f(x)的一个“友好点对”(点 对 (P,Q) 与 点 对 (Q,P) 为 同 一 个 “ 友 好 点 对 ” ). 已 知 函 数 f(x)= 解析:设 x<0, 则问题转化为关于 x 的方程(2x2+4x+1)+ =0, 即 ex=-x2-2x- 有几个负数解问题. 记 y1=ex,y2=-(x+1)2+ , 当 x=-1 时, < , 所以函数 y1 的图象与 y2 的图象有两个交点(如图),且横坐标均为负数,故 所求“友好点对”共有 2 个. 则 f(x)的“友好点对”有 个.

答案:2 16.(2012 山 东 日 照 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x)= h(x)= 则不等式 h(x)≥ 的解集为 ,g(x)=lo . x, 记 函 数

解析:记 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标为 x=x0, 而f = = <1=lo ,

f(1)= ∴x0∈

= >0=lo 1, ,

得 h(x)的图象如图所示, 而h =f = , .

∴不等式 h(x)≥ 的解集为 答案: 三、解答题(共 74 分) 17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)-f(x-1)>2x-1; (2)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由. 解:(1)当 a=2 时,f(x)=x2+ , f(x-1)=(x-1)2+ ,

由 x2+ -(x-1)2- >2x-1, 得 - >0,x(x-1)<0,0<x<1, 所以原不等式的解集为{x|0<x<1}. (2)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 当 a=0 时,f(x)=x2,f(-x)=x2=f(x), 所以 f(x)是偶函数. 当 a≠0 时,f(x)+f(-x)=2x2≠0(x≠0), f(x)-f(-x)= ≠0(x≠0), 所以 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 18.(本小题满分 12 分) (2012 浙江嘉兴模拟)已知函数 f(x)= - -ax(a∈R). (1)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a= 时,f(x)= - - x, f'(x)= [(ex)2-3ex+2] = (ex-1)(ex-2), 令 f'(x)=0,得 ex=1 或 ex=2, 即 x=0 或 x=ln 2,

令 f'(x)>0,则 x<0 或 x>ln 2, 令 f'(x)<0,则 0<x<ln 2, ∴f(x)在(-∞,0],[ln 2,+∞)上单调递增,在(0,ln 2)上单调递减. (2)f'(x)= + -a, 令 ex=t,由于 x∈[-1,1], ∴t∈ . , , 时 h'(t)<0,函数 h(t)为单调减函数;

令 h(t)= + h'(t)= - = ∴当 t∈

当 t∈( ,e]时 h'(t)>0,函数 h(t)为单调增函数, ∴ ≤h(t)≤e+ . ∵函数 f(x)在[-1,1]上为单调函数, ∴若函数在[-1,1]上单调递增,则 a≤ + 对 t∈[ ,e]恒成立, 所以 a≤ ; 若函数 f(x)在[-1,1]上单调递减,则 a≥ + 对 t∈ 综上可得 a≤ 或 a≥e+ . 19.(本小题满分 12 分) 恒成立,所以 a≥e+ ,

已知函数 f(x)=2x,g(x)= +2. (1)求函数 g(x)的值域; (2)求满足方程 f(x)-g(x)=0 的 x 的值. 解:(1)g(x)= +2= 因为|x|≥0,所以 0< +2, ≤1,

即 2<g(x)≤3,故 g(x)的值域是(2,3]. (2)由 f(x)-g(x)=0 得 2x- -2=0, 当 x≤0 时,显然不满足方程,即只有 x>0 时满足 2x- -2=0, 整理得(2x)2-2· x-1=0,(2x-1)2=2,故 2x=1± , 2 因为 2x>0,所以 2x=1+ ,即 x=log2(1+ ). 20.(本小题满分 12 分) (2012 宁化模拟)据预测,某旅游景区游客人数在 500 至 1300 人之间,游客 人 数 x( 人 ) 与 游 客 的 消 费 总 额 y( 元 ) 之 间 近 似 满 足 关 系 y=-x2+2400x-1000000. (1)若该景区游客消费总额不低于 400000 元时,求景区游客人数的范围; (2)当景区游客的人数为多少人时,游客的人均消费额最高?并求出游客 的人均最高消费额. 解:(1)由题意,得-x2+2400x-1000000≥400000, x2-2400x+1400000≤0,得 1000≤x≤1400,

又 500≤x≤1300, 所以景区游客人数的范围是 1000 至 1300 人. (2)设游客的人均消费额为 ,则 = =-(x+ )+2400≤400,

当且仅当 x=1000 时等号成立. 即当景区游客的人数为 1000 人时,游客的人均消费额最高,最高消费额 为 400 元. 21.(本小题满分 12 分) (2013 宜宾市高三考试)设 f(x)=aex+ +b(a>0). (1)求 f(x)在[0,+∞)上的最小值; (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 解:(1)设 t=ex(t≥1), 则 y=at+ +b? y'=a- = .

①当 a≥1 时,y'≥0? y=at+ +b 在 t≥1 上是增函数, 得当 t=1(x=0)时,f(x)的最小值为 a+ +b. ②当 0<a<1 时,y=at+ +b≥2+b, 当且仅当 at=1 时,f(x)的最小值为 b+2.

(2)f(x)=aex+ +b? f'(x)=aex- , 由题意得 ? ?

22.(本小题满分 14 分) (2012 洛阳统考)设函数 f(x)=ln(x-1)+ (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)如果当 x>1,且 x≠2 时, > 恒成立,求实数 a 的取值范围.

解:(1)由题易知函数 f(x)的定义域为(1,+∞). f'(x)= - = .

设 g(x)=x2-2ax+2a,Δ=4a2-8a=4a(a-2). ①当Δ≤0,即 0≤a≤2 时,g(x)≥0, 所以 f'(x)≥0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. ②当 a<0 时,g(x)的对称轴为 x=a, 当 x>1 时,g(x)>g(1)>0, 所以 f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. ③ 当 a>2 时 , 设 x1,x2(x1<x2) 是 方 程 x2-2ax+2a=0 的 两 个 根 , 则 x1=a>1,x2=a+ .

当 1<x<x1 或 x>x2 时, f'(x)>0,f(x)在(1,x1),(x2,+∞)上是增函数. 当 x1<x<x2 时,f'(x)<0,f(x)在(x1,x2)上是减函数.

综上,当 a≤2 时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),无单调递减区间; 当 a>2 时,f(x)的单调递增区间为(1,a为(a(2) ,a+ > 可化为 ). >0, ),(a+ ,+∞),单调递减区间

即 [f(x)-a]>0.(*) 令 h(x)=f(x)-a, 由(1)知, ①当 a≤2 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数, 所以 h(x)在(1,+∞)上是增函数. 因为当 1<x<2 时,h(x)<h(2)=0,(*)式成立; 当 x>2 时,h(x)>h(2)=0,(*)式成立, 所以,当 a≤2 时,(*)式成立. ②当 a>2 时,因为 f(x)在(x1,2)上是减函数, 所以 h(x)在(x1,2)上是减函数, 所以当 x1<x<2 时, h(x)>h(2)=0,(*)式不成立. 综上,a 的取值范围为(-∞,2].


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