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2011届上海市高三年级六校联考


六校联考数学学科试题(理科) (复兴中学、建平中学、南洋模范、向明中学、延安中学、上师大附中)
命题人: 范文豪 审题人:卢久红 满分 150 分 时间 14:00-16:00

一、填空题(本题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分)
1.函数 f ( x) = 1 ? lg x 的定义域为_____________ 2.过 P (1,2) ,以 n = (3,4) 为法向量的点法向式直线方程为_____________ 3.若复数 z 满足

z 1 = ?1 + 2i ,则 z 等于_____________ ?i i

4.设集合 A = {x | ?2 < x < 1},B = {x | x ? a < 0},若 A ? B ,则 a 的取值范围 ≠ 为_____________ 5.若函数 f ( x) = 2 + sin 2 ωx(ω > 0) 的最小正周期与函数 g ( x ) = tan 等,则正实数 ω 的值为_____________

x 的最小正周期相 2

6.现有 2010 年上海世博会各展览馆卡片 5 张,卡片正面分别是中国馆、台湾馆、沙特馆、 日本馆、韩国馆,每张卡片大小、质地和背面图案均相同,将卡片正面朝下反扣在桌 子上,从中一次性随机抽出两张,则抽到台湾馆的概率是_____________ 7.设 (2 x + 3 ) = a 0 + a1 x + a 2 x + a 3 x + a 4 x ,
4 2 3 4

则 ( a 0 + a 2 + a 4 ) -(a1 + a3 ) 的值为_____________
2 2

8.已知 xy > 0 ,且 xy-9 x-y = 0 ,则 x + y 的最小值为_____________ 9.已知| a |=| b |= 2 , a 与 b 的夹角为

π
3

,则 a + b 在 a 上的投影为_____________

10.在锐角△ABC 中, 角 B 所对的边长 b = 10 ,△ABC 的面积为 10 ,外接圆半径 R = 13 , 则△ABC 的周长为_____________

11.一离散型随机变量ξ的概率分布律为:

ξ P

0 0.1

1 a

2

3 0.1 B

且其数学期望

b

Eξ=1.5,则 a- b =____________ 12.如右图所示,已知 0 为矩形 ABCD 的边 CD 上一点, 以直线 CD 为旋转轴,旋转这个矩形所得的几何体 体积为 1 ,其中以 OA 为母线的圆锥体积为

C O

1 , 4

则以 OB 为母线的圆锥体积为____________ A D

13.在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色:先染 1,再染两个偶 数 2、4;再染 4 后面最邻近的三个连续奇数 5、7、9;再染 9 后面最邻近的四个连续 偶数 10、12、14、16;再染此后最邻近的五个连续奇数 17、19、21、23、25;按此 规则一直染下去,得到一红色子数列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,……. 则在这个红色子数列中,由 1 开始的第 2011 个数是_____________

14.我们把形如 y =

b (a > 0, b > 0) 的函数因其图像类似于汉字“囧”字,故生动 x ?a

,以“囧点” 地称为“囧函数” ,并把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点” 为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆” ,则当 a = 1 , b = 1 时, 所有的“囧圆”中,面积的最小值为____________

二、选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
15.“ α = 2kπ + β , k ∈ Z ”是“ sin α = sin β ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件
输入函数


开始

f ( x)


16.某流程图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是( ) A. f ( x) = x 2 B. f ( x ) =

f ( x) + f (? x) = 0 ?


| x| x

f (x) 存在零点?



e x ? e?x C. f ( x) = x e + e?x

D. f ( x) =

x

是 输出函数

f ( x)

17.已知函数 f ( x ) = sin πx 的图象的一部分如下方左图,则下方右图的函数图象所对 结束 应的函数解析式为(
y
1 1


y

-1 -1

0

1

x

-1

0 -1

0.5

1

x

A. y = f (2 x ? ) C. y = f (

1 2

B. y = f ( 2 x ? 1) D. y = f (

x ? 1) 2

x 1 ? ) 2 2

18. 数列 {a n } 满足 a1 = 1 , a n +1 ? 若 S 2 n +1 ? S n ≤ A. 10

1 2 2 + 4 = 1 ( n ∈ N ? ) S n = a12 + a 2 + ? + a n , ,记 2 an


m ? 对 n ∈ N 恒成立,则正整数 m 的最小值为( 30
B. 9 C. 8 D. 7

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题 纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个 小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小题满分 6 分。 如右图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB=2, C1 B1 ∠BCA=90°,AA1=4 ,E 是 A1B1 的中点。 E ⑴ 求 CE 与平面 ACB 所成的角; A1 ⑵ 求异面直线 BA1 与 CB1 所成的角。

C

B

A

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分。 设 f ( x ) = 2 sin(

π

x x π x x ? ) sin(π + ) + cos 2 ( ? ) ? cos 2 (π + ) 。 2 2 2 2 2 2

⑴ 若 x ∈ (0,

π
2

) ,求 f (x) 的最小值;

⑵ 设 g (x ) = f ( 2 x ?

π

π 7π ) + 2m, x ∈ [ , ] ,若 g (x) 有两个零点, 4 4 8

求实数 m 的取值范围。 21.(本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 6 分。 在平面直角坐标系中, 直线 L: y = mx + 3 ? 4m, m ∈ R 恒过一定点,且与以原点为 圆心的圆 C 恒有公共点。 ⑴ 求出直线 L 恒过的定点坐标; ⑵ 当圆 C 的面积最小时,求圆 C 的方程; ⑶ 已知定点 Q

( ? 4 ,3 )

,直线 L 与⑵中的圆 C 交于 M、N 两点,试问

QM ? QN ? tan ∠MQN 是否存在最大值,若存在则求出该最大值,并求出此时直线
L 的方程,若不存在请说明理由。 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分。 已知点 Pn ( a n , bn ) 满足 a n +1 = a n bn +1 , bn +1 =

bn 1 2 ,且 P0 ( , )( n ∈ N ) 。 2 3 3 1 ? an

⑴ 求点 P1 坐标,并写出过点 P0 , P1 的直线 L 的方程; ⑵ 猜测点 Pn ( n ≥ 2) 与直线 L 的位置关系,并加以证明; ⑶ 求数列 {a n }与{bn } 的通项公式,并求 OPn ? OPn +1 的最小值 (其中 O 为坐标原点 ,n ∈ N ) 。 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f 1 ( x ) = e | x ? 2 a +1| , f 2 ( x) = e | x ? a|+1 , x ∈ R 。 ⑴ 若 a = 2 ,求 f (x ) = f1 ( x) + f 2 ( x) 在 x ∈ [2,3]上的最小值; ⑵ 若 f 1 ( x) ? f 2 ( x) = f 2 ( x) ? f1 ( x) 对于任意的实数 x ∈ R 恒成立,求 a 的取值范围;
?

⑶ 当 1 ≤ a ≤ 6 时,求函数 g (x ) = 最小值。

f 1 ( x) + f 2 ( x ) | f 1 ( x ) ? f 2 ( x ) | ? 在 x ∈ [1,6]上的 2 2

高三数学六校联考参考答案(理科) 高三数学六校联考参考答案(理科)
一、填空题(4 分×14=56 分) 填空题 1.(0,10]; 5. 2. 3( x ? 1) + 4( y ? 2) = 0 ; 6. 3. 1 + i ; 7.1; 11.0; 4. a ≥ 1 ; 8.16; 12.

1 ; 2

2 ; 5

9.3;

10. 10 + 10 3 ;

1 ; 12

13.3959; 14.3 π ; 选择题(5 分×4=20 分) 二、选择题 15.A; 16.C; 17.B; 18.A;
B1 E

三、解答题(12 分+12 分+14 分+18 分+18 分=74 分) 解答题 C1 (1)过点 E 作 EH 垂直于 AB 于 H,连接 CH, 19.解: 则∠ECH 就是所求的 CE 与平面 ACB 所成的角………2' A 1
∵EH=4,CH=

2 2 ……………………………………5'
C B

∴∠ECH =arctan 2

即 CE 与平面 ACB 所成的角为 arctan 2 2 ;……………6'
A

(2)在直三棱柱的下方补上一个全等的直三棱柱 ∵CB1∥C2B ∴∠A1BC2 或其补角就是异面直线 BA1 与 CB1 所成的角……8' ∵BA1=
C2 B2

2 6 ,C2B= 2 5 ,A1C2= 2 17
A2

30 ∴在△A1BC2 中,由余弦定理可得∠A1BC2= arccos(- )…………11' 10

∴异面直线 BA1 与 CB1 所成的角为 arccos

30 . 10

…………………12'

20. 解:⑴ f ( x ) = ? sin x ? cos x = ? 2 sin( x + ∵

π
4

) ………………3'

3π π ∴ x = , f min = ? 2 ………………5' 4 4 4 4 π 7π ⑵设 g ( x )= ? 2 sin 2 x + 2m, x ∈ [ , ] …………………………7' 4 8 ∵函数 g ( x )有两个零点 π 7π ∴方程 ? 2 sin 2 x + 2m = 0当x ∈ [ , ] 时有两个解……………9' 4 8 π 7π ∴y= 2m 与 y= 2 sin 2 x,x ∈ [ , ] 图象有两个交点 4 8 < x+ <
由图象得 ? 2 < 2m ≤ ?1 ∴ ?

π

π

2 1 < m ≤ ? ……………………12' 2 2

21. 解:⑴直线 L:y=mx+3-4m 可化简为 y=m(x-4)+3………………2' 所以直线恒过定点 T(4,3)……………………………4' ⑵由题意,要使圆 C 的面积最小,定点 T(4,3)在圆上, 所以圆 C 的方程为 x
2

+ y 2 = 25 。 ……………………………8'

⑶ QM ? QN ? tan ∠MQN = | QM || QN | ? cos ∠MQN ? tan ∠MQN = | QM | ? | QN | ? sin ∠MQN

= 2 S ?MQN ……………………………………………………………10'
由题意得直线 L 与圆 C 的一个交点为 M(4,3) ,又知定点 Q(–4,3) , 直线 LMQ:y=3,|MQ|=8,则当 N(0,–5)时 SMQN 有最大值 32. 即 QM ? QN × tan ∠MQN 有最大值为 64,………………………13' 此时直线 L 的方程为 2x–y–5=0。 …………………………………14' 22. 解:⑴由 a0 =

1 3 1 2 1 3 , b0 = 得 a1 = , b1 = ,得 P 坐标为( , )……2' 1 3 3 4 4 4 4

显然直线 L 的方程为 x+y=1 …………………………………………………4' ⑵由 a1 =

1 3 1 4 , b1 = 得 a2 = , b2 = ,∴点 P2 ∈ L , 4 4 5 5

猜想点 Pn(n ≥ 2, n ∈ 以下用数学归纳法证明: 当 n=2 时,点 P2 ∈

N )在直线 L 上,…………………………………6'

L L ,即 ak + bk =1,

当 n=k(k ≥ 2)时,点 P k ∈ 则当 n=k+1 时,

a k +1 + bk +1 = a k bk +1 + bk +1 = (1 + a k ) ?
∴点 Pk +1 ∈ L

bk b = k = 1, 2 1 ? ak 1 ? ak

∴点 Pn ∈ L( n ≥ 2) ………………………………………10'

⑶由 a n+1 = a n bn +1 , bn +1 =

bn , a n + bn = 1 , 2 1 ? an

得 an +1 = an

bn 1 ? an an = an = ( a n ≠ 0) 2 2 1 ? an 1 ? an 1 + an



1 a n +1

=

1 + 1 ……………………………………………………………12' an

∴?

?1? 1 1 1 n+2 ……14' + n = n + 3,∴ an = , bn = ? 是等差数列,∴ = a n a0 n+3 n+3 ? an ?
2

2n + 5 …………………………16' n + 7 n + 12 4t 4 t ?5 = 1? ,上式可化简化 1 ? 2 令 2n+5=t 则 n= 3 2 t + 4t + 3 t+ +4 t 13 由单调性可得当 t=7,n=1 时,上式有最小值为 20 13 2n + 5 ﹡ 所以 1 ? 2 (n∈N )的最小值为 。 …………………………18' n + 7 n + 12 20 OPn ? OPn +1 = a n a n +1 + bn bn +1 = 1 ?

23. 解⑴对于 a =2,x∈[2,3],f (x)=e|x–3|+e|x–2|+1=e3–x+ex–1 ……………………2' ≥2 e
3? x

? e x?1 =2e,

当且仅当 e3–x=ex–1,即 x=2 时等号成立,∴f (x)min=2e。……………4' ⑵ | f1 ( x) ? f 2 ( x) | = f 2 ( x) ? f1 ( x) 对于任意的实数 x 恒成立, f1 ( x) ≤ f 2 ( x) 对于任意 即 的实数 x 恒成立,亦即 e |x–2a+1|≤e|x–a|+1 对于任意的实数 x 恒成立,∴|x–2 a +1|≤|x– a |+1, 即|x–2 a +1|–|x– a |≤1 对于任意的实数 x 恒成立。………………………………………7' 又|x–2 a +1|–|x– a |≤|(x–2 a +1)–(x– a )|=| – a +1|对于任意的实数 x 恒成立,故只需 | – a +1|≤1,解得 0≤ a ≤2,∴ a 的取值范围为 0≤ a ≤2。…………………………10' ⑶g (x)=

f1 ( x) + f 2 ( x) | f1 ( x) ? f 2 ( x) | ? f1 ( x), f1 ( x) ≤ f 2 ( x) ? =? ………………11' 2 2 ? f 2 ( x), f1 ( x) > f 2 ( x)

∵ f 1 ( x)与f 2 ( x) 的底数都同为 e ,外函数都单调递增 ∴比较 f 1 ( x)与f 2 ( x) 的大小关系,只须比较|x–2 a +1|与|x– a |+1 的大小关系 令 F1 ( x) = |x–2 a +1|, F2 ( x) = |x– a |+1, G (x) = ?

? F1 ( x), F1 ( x) ≤ F2 ( x) ? F2 ( x), F1 ( x) > F2 ( x)

其中 1 ≤ a ≤ 6 , x ∈ [1,6] ………………12'

∵ 1 ≤ a ≤ 6 ∴2 a -1≥ a ≥1 令 2 a -1-x=1,得 x=2 a -2, 由题意可以如下图象:

F2 ( x ) F2 ( x )
1

F1 ( x)

…………14' 0 1 a 2a-2 2a-1 当 a ≤6≤2 a –2,即 4≤ a ≤6 时,G (x)min=F2( a )=1,g (x)min = e 1= e ; 当 2 a –2<6≤2 a –1,即

7 ≤ a <4 时,G (x)min=F1(6)= 2 a –1–6= 2 a –7,g (x)min = e 2a–7 ; 2 7 当 2 a –1<6,即 1≤ a < 时,G (x)min=F1(2 a –1)= 0,g (x)min = e 0=1 ;…………17' 2

7 ? ? 1, (1 ≤ a < 2 ), ? 7 ? 综上所述,g (x)min= ? e 2 a ? 7 , ( ≤ a < 4 ) 2 ? e, (4 ≤ a ≤ 6) ? ? ?

……………………………………18'


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