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【阳光学习网精选】高考数学一轮复习必备04课时:第一章 一元二次不等式的解法


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第 04 课时:第一章 集合与简易逻辑——一元二次不等式的解法 一.课题:{ TC "§1.4 一元二次不等式的解法" }一元二次不等式的解法 二.教学目标:掌握一元二次不等式的解法,能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之 间的关系解决综合问题,会解简单的分式不等式及高次不等式. 三.教学重点:利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法. 按住 ctrl 键 点击查看更多高考复习资源 四.教学过程: (一)主要知识: 1.一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系; 2.分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中,分母要不为零; 3.高次不等式要注重对重因式的处理. (二)主要方法: 1.解一元二次不等式通常先将不等式化为 ax2 ? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的形式,然 后求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于 0 时两根之外,小于 0 时两根 之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)例题分析: 例 1.解下列不等式: (1) x2 ? x ? 6 ? 0 ;(2) ? x2 ? 3x ? 10 ? 0 ;(3) 解:(1) ?2 ? x ? 3 ;(2) x ? 5 or x ? ?2 ; (3)原不等式可化为
x( x ? 1)( x ? 2) ? 0. ( x ? 2)( x ? 1)

? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? ?2 ? x ? ?1 or 0 ? x ? 1 or x ? 2 . ? ?( x ? 2)( x ? 1) ? 0
例 2.已知 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0} , (1)若 A ? ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 B ? A ,求 a 的取值范围. 解: A ? {x |1 ? x ? 2} , 当 a ? 1 时, B ? {x |1 ? x ? a} ;当 a ? 1 时, B ? {1} ;当 a ? 1 时, B ? {x | a ? x ? 1} .

?a ? 1 (1)若 A ? ? B ,则 ?a ? 2 ? a ? 2 ; ?
(2)若 B ? A , 当 a ? 1 时,满足题意;当 a ? 1 时, a ? 2 ,此时 1 ? a ? 2 ;当 a ? 1 时,不合题意.

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所以, a 的取值范围为 [1, 2) .

例 3.已知 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 , (1)如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ?[?3,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1) ? ? 4(a ? 2)2 ?16 ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;

??(a ? 2) ? ?3 ??3 ? ?(a ? 2) ? 1 ??(a ? 2) ? 1 (2) ? 或? 或? , ? f (?3) ? 0 ?? ? 0 ? f (1) ? 0
解得 a ? ? 或 1 ? a ? 4 或 ?
1 1 ? a ? 1 ,∴ a 的取值范围为 (? , 4) . 2 2

例 4. 已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} , 则不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 解法一:∵ ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 即 ? x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | x ?
1 1 or x ? } , 2 4



∴不妨假设 a ? ?1, b ? 6, c ? ?8 ,则 cx 2 ? bx ? a ? 0 即为 ?8x2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,解得 {x |

1 1 ? x ? }. 4 2

? ? ?a ? 0 ?c ? 0 ? ? ? b ? b 3 解法二:由题意: ?? ? 6 ? ?? ? , ? a ? c 4 ?c ?a 1 ?8 ? ? ? ?a ?c 8
∴ cx 2 ? bx ? a ? 0 可化为 x 2 ? 解得 {x | x ?
1 1 或 x ? }. 2 4

b a 3 1 x ? ? 0 即 x2 ? x ? ? 0 , c c 4 8

例 5.(《高考 A 计划》考点 4“智能训练第 16 题”)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象
1 过点 (?1, 0) ,问是否存在常数 a, b, c ,使不等式 x ? f ( x) ? (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立? 2

解:假设存在常数 a, b, c 满足题意, ∵ f ( x) 的图象过点 (?1, 0) ,∴ f (?1) ? a ? b ? c ? 0
1 又∵不等式 x ? f ( x) ? (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立, 2



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1 ∴当 x ? 1 时, 1 ? f (1) ? (1 ? 12 ) ,即 1 ? a ? b ? c ? 1 ,∴ a ? b ? c ? 1 ② 2 1 1 1 1 由①②可得: a ? c ? , b ? ,∴ f ( x) ? ax 2 ? x ? ( ? a) , 2 2 2 2 1 1 1 1 由 x ? f ( x) ? (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立得: x ? ax 2 ? x ? ( ? a ) ? (1 ? x 2 ) 恒成立, 2 2 2 2

1 ? 2 1 ?ax ? x ? ( ? a) ? 0 ∴? 的解集为 R , 2 2 2 ?(2a ? 1) x ? x ? 2a ? 0 ? 1 ? ?a ? 0 ?a ? 0 ?2a ? 1 ? 0 ? ?a ? ∴ ?1 且? ,即 ? 且? , 2 1 ? 4a( ? a) ? 0 ?1 ? 8a(2a ? 1) ? 0 (1 ? 4a) 2 ? 0 ? 2 ? ? ?4 2 ?(1 ? 4a) ? 0
1 1 ,∴ c ? , 4 4 1 1 1 1 ∴存在常数 a ? , b ? , c ? 使不等式 x ? f ( x) ? (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立. 4 2 4 2

∴a ?

(四)巩固练习: 1.若不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a 的取值范围是 (?2, 2] . 2.若关于 x 的方程 x2 ? ax ? a 2 ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则 a ? (?1,1) .
3 3. 关于 x 的方程 m( x ? 3) ? 3 ? m2 x 的解为不大于 2 的实数, 则 m 的取值范围为 (??, ? ] (0,1) (1, ??) . 2

4.不等式

( x ? 1)2 (2 ? x) ? 0 的解集为 (??, ?4) (0, 2] or x ? ?1. x(4 ? x)

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