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湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试 数学理

湖南省长沙市长郡中学 2017 届高三入学考试 理科数学
一、选择题 1.已知集合 A ? {x | y ? 若 A? B ? A , 则实数 a 的取值范围为 ( 4 ? x 2 } ,B ? {x | a ? x ? a ? 1} , B. [?1, 2] C. [?2,1] D. [2, ??) )

A. (??, ?3] ? [2, ??)

2.设复数 z ? ( A. ?

1 2

a?i 2 ) ,其中 a 为实数,若 z 的实部为 2,则 z 的虚部为( 1? i 1 3 3 B. ? i C. ? D. ? i 2 2 2



3.“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ?| x(ax ? 1) | 在区间 (??, 0) 内单调递减”的( A.充分不必要条件
x



B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

4.设函数 f ( x) ? e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值 范围为( A. [? )

3 ,1) 2e

B. [?

3 3 , ) 2e 4

C. [

3 3 , ) 2e 4

D. [

3 ,1) 2e

5.将函数 y ? sin( x ? 取值不可能是( A. ?

?

得到一个偶函数的图象, 则? 的 ) cos( x ? ) 的图象沿 x 轴向右平移 个单位后, 2 2 8

?

?

) B. ?

5? 4

?
4

C.

?
4

D.

3? 4

6.已知点 M (1, 0) , A, B 是椭圆

???? ???? ???? ??? ? x2 ? y 2 ? 1 上的动点,且 MA ? MB ? 0 ,则 MA ? BA 的取值范围是 4
C. [ ,9]

A. [ ,1]

2 3

B. [1,9]

2 3

D. [

6 ,3] 3

7.如图所示程序框图中,输出 S ? ( A.45 B.-55 C.-66

) D.66

8.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域, E 是 D 内位于函数 y ? (阴影部分) ,从 D 内随机取一个点 M ,则点 M 取自 E 内的概率为( A.

1 ( x ? 0) 图象下方的区域 x



ln 2 2

B.

1 ? ln 2 2

C.

1 ? ln 2 2

D.

2 ? ln 2 2

9.在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 在线段 BD1 上,且 点,则三棱锥 M ? PBC 的体积为( A.1 B. )

BP 1 ? , M 为线段 B1C1 上的动 PD1 2

3 2

C.

9 2

D.与 M 点的位置有关

10.已知点 A 是抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 上一点, O 为坐标原点,若 A, B 是以点 M (0,10) 为圆心,
2

| OA | 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点,且 ?ABO 为等边三角形,则 P 的值是(
A.



5 2

B.

5 3

C.

5 6

D.

5 9

? y ? x ?1 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1 ,则目标函数 z ? abx ? y (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 11,则 a ? b 的 ? x ? 0, y ? 0 ?
最小值为( A.2 ) B.4 C.6 D.8

1 6 ? ?( x ? ) , x ? 0 x 12.设函数 f ( x) ? ? ,则当 x ? 0 时, f [ f ( x)] 表达式的展开式中常数项为( ?? x , x ? 0 ?
A.-20 B.20 C.-15 D.15



二、填空题 13.若 (1 ? 2 x) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 | a1 | ? | a1 | ? | a3 | 等于 14.给定双曲线 C : x ?
2

.

2 y2 ? 1 ,若直线 l 过 C 的中心,且与 C 交于 M , N 两点, P 为曲线 C 上任意 5 ?1
.

一点,若直线 PM , PN 的斜率均存在且分别记为 k PM , k PN ,则 k PM ? k PN ?

? 3x ? y ? 0 ? 3x ? y ? 15.已知点 P ( x, y ) 的坐标满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 的取值范围为 2 2 x ? y ?y ? 0 ? ?
16.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , 3n ?1 an ? 3n ? 2 an ?1 ? 2 ? 3n ? 2 ? 2( n ? 2) , S n 是数列 { 不等式

.

an ? 1 } 的前 n 项和,当 n
.

(3m ? 1)( S n ? m) ? 1(m ? N * ) 恒成立时, mn 的所有可能取值为 m 3 ( S n ?1 ? m)

三、解答题 17. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? 2sin 2 (1)求函数 f ( x) 在区间 [ ?

?x
2

(? ? 0) 的最小正周期为 3? .

3? , ? ] 上的最大值和最小值; 4

(2)已知 a, b, c 分别为锐角三角形 ABC 中角 A, B, C 的对边,且满足 b ? 2, f ( A) ? 3 ? 1 ,

3a ? 2b sin A ,求 ?ABC 的面积.

18. 某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升, 下表是 2011 年至 2015 年的统计数据: 年份 居民生活用水量(万吨) 2011 236 2012 246 2013 257 2014 276 2015 286

(1)利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程 y ? bx ? a ; (2)根据改革方案,预计在 2020 年底城镇改革结束,到时候居民的生活用水量将趋于稳定,预测该城 市 2023 年的居民生活用水量.

参考公式: b ?

^

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 n i i 2 i

n

, a ? y? b x .

^

^

^

? n( x ) 2

19. 如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? DC ? CB ? 1 , ?ABC ? 60? ,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 . (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 二面角的平面角为 ? (? ? 90? ) ,试求 cos ? 的 取值范围.

20. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) ,以椭圆短轴为直 a 2 b2

径的圆经过点 M (1, 0) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,设直线 AN , BN 的斜率分别为 k1 , k2 ,问 k1 ? k2 是否 为定值?并证明你的结论.

1? ax 21. 设 f ( x) ? ( a ? 0 且 a ? 1) , g ( x) 是 f ( x) 的反函数. 1? ax
(1)设关于 x 的方程 log a

t ? g ( x) 在区间 [2, 6] 上有实数解,求 t 的取值范围; ( x ? 1)(7 ? x)
2
n

2 ? n ? n2 (2)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,证明: ? g (k ) ? ; 2n(n ? 1) k ?2
(3)当 0 ? a ?
n 1 时,试比较 | ? f ( k ) ? n | 与 4 的大小,并说明理由. 2 k ?1

22.选修 4-1:几何证明选讲 已知 AD 是 ?ABC 的外角 ?EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D ,延长 DA 交 ?ABC 的外接圆于点

F ,连接 FB, FC .
(1)求证: FB ? FC ; (2)若 AB 是 ?ABC 外接圆的直径, ?EAC ? 120? , BC ? 3 3 ,求 AD 的长.

23. 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 ? 10 cos ? ? ? y ? 1 ? 10 sin ?

( ? 为参数) ,以直角坐标系原点为极点, x 轴正半轴为极

轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹; (2)若直线的极坐标方程为 sin ? ? cos ? ?

1

?

,求直线被曲线 C 截得的弦长.

24. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ?

1 | (a ? 0) . a

(1)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)证明: f (m) ? f ( ?

1 )?4. m

答案 一、选择题 CCADC BBCBC 二、填空题 13. 41 14. BA

5 ?1 2

15.

[? 3, 3)

16.1 或 2 或 4

三、解答题 17.(1)∵ f ( x) ? 3 sin ? x ? 2 ? ∴ f ( x) ? 2sin( x ? 所以当 x ? ?

1 ? cos ? x ? 2? 2 ? 2sin(? x ? ) ? 1 ,∴ ? 3? ,∴ ? ? , 2 6 ? 3

2 3

?
6

) ? 1 ,∵ ?

3 2 ? 3? ? 2 ? 5? ,∴ ? ? sin( x ? ) ? 1 , ? x ? ? ,∴ ? ? x ? ? 2 3 6 4 3 3 6 6

3? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 3 ? 1 ;当 x ? 时, f ( x) 取最大值 1. 4 2

由正弦定理得: a ? 18.(1)解法一:

2 6 1 1 2 6 6 ? 2 3? 3 ,∴ S ?ABC ? ab sin C ? ? . ? 2? ? 3 2 2 3 4 3

容易算得: x ? 2013, y ? 260.2 ,

b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? 13 , a ? y ? bx ? 260.2 ? 13 ? 2013 ,

2

故所求的回归直线方程为 y ? 13 x ? 260.2 ? 13 ? 2013 ? 13( x ? 2013) ? 260.2 解法二:由所给数据可以看出,年需求量与年份之间的是近似值直线上升,为此时数据预处理如下表:

对预处理后的数据,容易算得: x ?
n

1 n 1 n , x ? 0 y ? ?i ? yi ? 3.2 , n i ?1 n i ?1

b?

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 n i i 2 i

?

? n( x ) 2

130 ? 13 , a ? y ? bx ? 3.2 10

所求的回归直线方程为 y ? 257 ? b( x ? 2013) ? a ? 13( x ? 2013) ? 3.2 , 即 y ? 13( x ? 2013) ? 260.2 . (2)根据题意,该城市 2023 年的居民生活用水量与该城市 2020 年的居民生活用水量相当, 当 x ? 2020 时,满足(1)中所求的回归直线方程,此时 y ? 13( x ? 2013) ? 260.2 ? 351.2 (万吨) 19.(1)证明:在梯形 ABCD 中, ∵ AB / / CD , AD ? DC ? CB ? 1 , ?ABC ? 60? ,∴ AB ? 2 , ∴ AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos 60? ? 3 , ∴ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,∴ BC ? AC , ∴平面 ACFE ? 平面 ABCD ,平面 ACFE ? 平面 ABCD ? AC , BC ? 平面 ABCD , ∴ BC ? 平面 ACFE . (2)由(1)可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x 轴, y 轴, z 轴的如图所示空间直角坐标系,

令 FM ? ? (0 ? ? ? 3) ,则 C (0, 0, 0), A( 3, 0, 0), B(0,1, 0), M (? , 0,1) , ∴ AB ? (? 3,1, 0), BM ? (? , ?1,1) . 设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 MAB 的一个法向量,

??? ?

???? ?

??

?? ??? ? ? ?? 3x ? y ? 0 ?n1 ? AB ? 0 ? 由 ? ?? ???? ,得 ? , ? ? x ? y ? z ? 0 ? n ? BM ? 0 ? ? ? 1 ?? 取 x ? 1 ,则 n1 ? (1, 3, 3 ? ? ) ,
∵ n2 ? (1, 0, 0) 是平面 FCB 的一个法向量,

?? ?

?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 1 ? ? ? ∴ cos ? ? ?? ?? . | n1 || n2 | 1 ? 3 ? ( 3 ? ? ) 2 ?1 (? ? 3) 2 ? 4

∵ 0 ? ? ? 3 ,∴当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值 当 ? ? 3 时, cos ? 有最大值 ∴ cos ? ? [

7 , 7

1 , 2

7 1 , ]. 7 2
2, a 2 ? b 2 ? 2 ,由已知易得 b ?| OM |? 1 ,解得 a ? 3 ,则椭圆 C 的方程为

20.(1)由已知得: c ?

x2 ? y 2 ? 1. 3
?x ? 1 6 6 6 ? (2)①当直线 l 的斜率不存在时,由 ? x 2 ,解得 x ? 1, y ? ? ,设 A(1, ), B(1, ? ), 2 3 3 3 ? ? y ?1 ?3

k1 ? k2 ?

2?

6 6 2? 3 ? 3 ? 2. 2 2

x2 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,将 y ? k ( x ? 1) 代入 ? y 2 ? 1 整理化简,得 3

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 ,
依题意,直线 l 与椭圆 C 必相交于两点,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 又 y1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? k ( x2 ? 1) , 所以 k1 ? k2 ?

6k 2 3k 2 ? 3 , , x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

2 ? y1 2 ? y2 (2 ? y1 )(3 ? x2 ) ? (2 ? y2 )(3 ? x1 ) ? ? 3 ? x1 3 ? x2 (3 ? x1 )(3 ? x2 )

?

[2 ? k ( x1 ? 1)](3 ? x2 ) ? [2 ? k ( x2 ? 1)](3 ? x1 ) 9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 12 ? 2( x1 ? x2 ) ? k[2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 6] 9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2

?

?

12 ? 2( x1 ? x2 ) ? k[2 ?

3k 2 ? 3 6k 2 ? 4 ? ? 6] 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 6k 2 3k 2 ? 3 9 ? 3? 2 ? 2 3k ? 1 3k ? 1

?

12(2k 2 ? 1) ?2 6(2k 2 ? 1)

综上得: k1 ? k2 为定值 2. (说明:若假设直线 l 为 x ? my ? 1 ,按相应步骤给分) 21.(1)由题意,得 a x ? 故 g ( x) ? log a 由 log a
'

y ?1 ? 0, y ?1

x ?1 , x ? (??, ?1) ? (1, ??) , x ?1

t x ?1 2 ,得 t ? ( x ? 1) (7 ? x) , x ? [2, 6] . ? log a ( x ? 1)(7 ? x) x ?1
2

则 t ? ?3 x ? 18 x ? 15 ? ?3( x ? 1)( x ? 5) ,
2 2 令 t ' ? 0 ,得 2 ? x ? 5 ,知 t ? ( x ? 1) (7 ? x) 在区间 [2,5) 上递增; 2 令 t ' ? 0 ,得 5 ? x ? 6 ,知 t ? ( x ? 1) (7 ? x) 在区间 (5, 6] 上递减,

所以当 t ? 5 时, t最大值 ? 32 ,有当 x ? 2 时, t ? 5 ; x ? 6 时, t ? 25 ,所以 t最小值 ? 5 , 所以 t 的取值范围为 [5,32] .

(2)

? g (k ) ? ln 3 ? ln 4 ? ln 5 ? ? ? ln n ? 1 ? ln( 3 ? 4 ? 5 ? ?? n ? 1) ? ? ln
k ?2

n

1

2

3

n ?1

1 2 3

n ?1

n( n ? 1) 2

令 u ( z ) ? ? ln z ?
2

1? z2 1 ? ?2 ln z ? z ? , z ? 0 z z

则 u ' ( z) ? ?

2 1 1 ? 1 ? 2 ? (1 ? ) 2 ? 0 ,所以 u ( z ) 在 (0, ??) 上是增函数, z z z

又因为当 n ? 2 时,

n(n ? 1) n(n ? 1) ? 1 ? 0 ,所以 u ( ) ? u (1) ? 0 2 2

2 ? 即 ln n(n ? 1)

1?

n(n ? 1) n 2 ? n ? n2 2 ? 0 ,即 ? g (k ) ? 2n(n ? 1) n(n ? 1) k ?2 2

(3)设 a ?

1 1? a 2 ,则 p ? 1 , 1 ? f (1) ? ? 1? ? 3 1? p 1? a p

当 n ? 1 时, | f (1) ? 1|?

2 ? 2 ? 4 ,当 n ? 2 时, p
(1 ? p) k ? 1 2 2 , ? 1? ? 1? 1 k k 2 2 (1 ? p) ? 1 (1 ? p) ? 1 Ck p ? Ck p ? ? ? Ckk p k

设 k ? 2, k ? N * 时,则 f (k ) ?

所以 1 ? f ( k ) ? 1 ?

2 4 4 4 ?1? ? 1? ? 2 C ? Ck k (k ? 1) k k ?1
1 k

从而 n ? 1 ?
n

? f (k ) ? n ? 1 ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ? n ? 1 ? n ? 1
k ?2

n

4

4

4

所以 n ?

? f (k ) ? f (1) ? n ? 1 ? n ? 4 ,
k ?1

综上所述,总有 |

? f (k ) ? n |? 4 .
k ?1

n

22.(1)证明:∵ AD 平分 ?EAC ,∴ ?EAD ? ?DAC ,因为四边形 AFBC 内接于圆,∴ ?DAC ? ?FBC , 又∵ ?EAD ? ?FAB ? ?FCB ,∴ ?FBC ? ?FCB ,∴ FB ? FC . (2)∵ AB 是圆的直径,∴ ?ACD ? ?ACB ? 90? ,∵ ?EAC ? 120? ,∴ ?DAC ? ?BAC ? 60? ,∴

?D ? 30? ,在 Rt ?ACB 中,∵ BC ? 3 3 ,?BAC ? 60? ,∴ AC ? 3 ,又在 Rt ?ACD 中,?D ? 30? ,

AC ? 3 ,∴ AD ? 6 .
23.(1)∵曲线 C 的参数方程为 ?
2

? ? x ? 3 ? 10 cos ? ? ? y ? 1 ? 10 sin ?
2

( ? 为参数).

∴曲线 C 的普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 10 . 曲线 C 表示以 (3,1) 为圆心, 10 为半径为圆,将 ? 即曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? ? 2sin ? . (2)∵直线的直角坐标方程为 y ? x ? 1 ∴圆心 C 到直线的距离为 d ?

? x ? ? cos ? 代入并化简得: ? ? 6 cos ? ? 2sin ? , ? y ? ? sin ?

9 3 2 ,∴弦长为 2 10 ? ? 22 . 2 2
1 | ,原不等式等价于 2

24.(1)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ?

1 1 ? ? ? 2 ? x ? ? x ? ? ? x ? ?2 ? ? ? ? ? 2 2 或? 或? ? 1 1 1 ?x ? 2 ? x ? ? 3 ? ? x ? 2 ? x ? ? 3 ?x ? 2 ? x ? ? 3 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
11 1 或? 或 x ? . 4 4 11 1 不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? } . 4 4 1 1 1 1 1 (2) f (m) ? f (? ) ?| m ? a | ? | m ? | ? | ? ? a | ? | ? ? | m a m m a 1 1 1 1 1 ?| m ? a | ? | ? ? a | ? | m ? | ? | ? ? |? 2 | m ? | m a m a m
解得: x ? ?

? 2(| m | ?

1 )?4 |m|

当且仅当 ?

?m ? ?1 时等号成立. ?a ? 1
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