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河南省许昌市五校高二数学上期期末联考试题 理 新人教A版

许昌市五校联考高二期末考试 数学试卷(理科)
注意事项: 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 2.答题前,务必将自己的学校 班级 姓名 考号 座号填写在答题卡规定的位置上 3.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 下列命题中的假命题是 ( ) A. C.

?x ? R,2 x?1 ? 0
?x ? R, lg x ? 1

B. D.

?x ? R, tan x ? 2

?x ? N ? , ?x ?1? ? 0
2

2. 不等式 3x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域在直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 的( A.右上方
2

) D.左下方 )

B.右下方

C.左上方

3.若不等式 ax ? 8ax ? 21 ? 0 的解集是 {x ? 7 ? x ? ?1},那么 a 的值是 ( A. 1 B. 2 ) C. C. 3 D. 4

4. 不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集是 ( A. 5.“m=

? ??, ?2? ?7, ???

B. ?1, 4?

??2,1? ?4,7?

D.

? ?2,1? ?4,7?

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 ( ) 2
B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 6. 设 F 1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 a 2 b2

在点 P ,满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双 1F 2 ,且 F2 到直线 PF 曲线的渐近线方程为 ( A. 3x ? 4 y ? 0 ) C. 4 x ? 3 y ? 0 D. 5x ? 4 y ? 0 B. 3x ? 5 y ? 0

7. 数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,并且 a5 , a8 , a13 是等比数列 ?bn ? 的相邻三项,若

b2 ? 5 ,则 bn 等于(



A. 5 ? ( ) n ?1

5 3

B. 3 ? ( ) n ?1

5 3

C. 3 ? ( ) n ?1

3 5

D. 5 ? ( ) n ?1

3 5

8. 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴 上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是 A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D.8
o

9. 已知 ?ABC 中 ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则

b ?(
A. 2

) B.4+ 2 3 C.4— 2 3 D. 6 ? 2

10.已知抛物线 y ? ? x 2 ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于 A. 3 B. 4 C. 3 2 D. 4 2

b2 ? 1 x2 y2 11.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,则 的最小值为 ( 3a a b
A.



3 3

B.

2 3 3

C. 2

D. 1

12.已知椭圆

x2 x2 ? y 2 ? 1? m ? 1? 和双曲线 ? y 2 ? 1? n ? 0 ? 有相同的焦点 F1 , F2 , P 是 m n
( C. 钝角三角形 共 90 分) ) D. 随 m, n 的变化而变化

它们的一个交点,则 ?F1 PF2 的形状是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 第 II 卷(非选择题 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)

?x ? y ?1 ? 0 y ?1 ? 13.如果实数 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,则 的最小值为___________; x ?1 ?x ? y ?1 ? 0 ?
14.两个正数 a、b 的等差中项是

5 2

,一个等比中项是

6 ,且 a ? b , 则双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的离子心率 e 等于___________;

2 2 15.若实数 x , y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值___________;

x2 y 2 ? ? 1 上运动,Q、R 分别在两圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1和 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 16.点 P 在椭圆 4 3
上运动,则

PQ ? PR 的最小值为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分) 2 2 已知命题 p:方程 x + mx + 1=0 有两个不相等的实根;q:不等式 4x +4(m –2)x+1>0 的解集为 R;若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围。

18.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 (?2 2 ,0) 和 F2 (2 2 ,0) , 长轴长为 6, 设直线 y ? x ? 2 交 椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

19.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

20.(本题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,AB ? AD,CD ? AD,PA ? 底面 ABCD,PA=AD=CD=2AB=2, M 为 PC 的中点。 (1)求证:BM∥平面 PAD; (2)在侧面 PAD 内找一点 N,使 MN ? 平面 PBD; (3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。

21.(本小题满分 12 分) 数列 {an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记

bn ?

1 1 an ? 2

(n ? 1).

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值;

(Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n .

22.(本题满分 12 分) 如图,梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上,原点 O 为 AB 的中点,

| AB |?

4 2 4 2 ,| CD |? 2 ? , AC ? BD, M 为 CD 的中点. 3 3 (Ⅰ)求点 M 的轨迹方程;
(Ⅱ)过 M 作 AB 的垂线,垂足为 N,若存在正常数 ?0 ,使 MP ? ?0 PN , 且 P 点到 A、B 的距离和为定值,求点 P 的轨迹 E 的 方程; (Ⅲ)过 (0, ) 的直线与轨迹 E 交于 P、Q 两点, 求 ?OPQ 面积的最大值.
y D M C O B x

1 2

A

2013—2014 学年期末数学(理)答案 一.选择题 DBCD BCBC ACBB 二.填空题 (13)

1 2

(14)

13 3

( 15)

2 3 3

(16) 2

三.解答题 17.解:因为方程 x 2 + mx + 1=0 有两个不相等的实根, 所以Δ 1=m 2 – 4>0, ∴m>2 或 m < – 2 又因为不等式 4x 2 +4(m – 2)x + 1>0 的解集为 R, 所以Δ 2=16(m – 2) 2– 16<0, ∴1< m <3 ……………………….5 分 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 为一真一假,

?m ? 2或m ? ?2 ? m ? ?2或m ? 3 ?m ? 1或m ? 3 ?? 2 ? m ? 2 (2)当 p 为假 q 为真时, ? ?1? m ? 2 1 ? m ? 3 ?
(1)当 p 为真 q 为假时, ? 综上所述得:m 的取值范围是 m ? ?2或m ? 3 或 1 ? m ? 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 18 [解]设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2

…(2 分)

由题意 a ? 3 , c ? 2 2 ,于是 b ? 1 。

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 9

…(4 分)

? y ? x?2 ? 2 由 ? x2 得 10x ? 36x ? 27 ? 0 2 ? y ?1 ? ?9
因为该二次方程的判别 ? ? 0 ,所以直线与椭圆有两个不同交点。 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? ? …(8 分)

18 , 5 9 1 5 5
…………………….(12 分)

故线段 AB 的中点坐标为 ( ? , )

19.解(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
3 3? 4 3 ,sin C ? , 5 10

6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50

12 分

20 (1)? M 是 PC 的中点,取 PD 的中点 E ,则

1 1 CD ,又 AB CD 2 2 ? 四边形 ABME 为平行四边形 ? BM ∥ EA , BM ? 平面PAD EA ? 平面PAD ………………………………………………..(4 分) ? BM ∥ 平面PAD (2)以 A 为原点,以 AB 、 AD 、 AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐 标系,如图,则 B?1,0,0) ? , C ?2,2,0? , D?0,2,0? , P?0,0,2? , M ?1,1,1? , E?0,1,1?
ME
在 平 面 PAD 内 设 N ?0, y, z ? , MN ? ?? 1, y ? 1, z ? 1? , PB ? ?1,0,?2? ,
?? ? ?? ?

DB ? ?1,?2,0? 由 MN ? PB
由 MN ? DB
?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

? MN ? PB ? ?1 ? 2 z ? 2 ? 0
?? ? ?? ?

?? ? ?? ?

?z ?
1 2

1 2

? MN ? DB ? ?1 ? 2 y ? 2 ? 0

?y?

? 1 1? ? N ? 0, , ? ? N 是 AE 的中点,此时 MN ? 平面PBD ? 2 2? (3)设直线 PC 与平面 PBD 所成的角为 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1 1? ? PC ? ?2,2,?2 ? , MN ? ? ? 1,? ,? ? ,设 PC, MN 为 ? 2 2? ?
cos? ? PC? MN
??? ??? ?? ? ?? ?

(8 分)

?

?2 2 3? 6 2

??

PC MN

2 3

sin ? ? ?c o ? s ?

2 3

故直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦为 21 (Ⅰ) 由 bn ?

2 3

(12 分)

1 an ? 1 2

得an ?

1 1 ? , 代入递推关系 8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0, bn 2

整理得

4 6 3 4 ? ? ? 0,即bn?1 ? 2bn ? , bn?1bn bn?1 bn 3

8 20 由a1 ? 1, 有b1 ? 2, 所以 b2 ? , b3 ? 4, b4 ? . ………………………6 分 3 3 4 4 4 4 2 (Ⅱ)由 bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ), b1 ? ? ? 0, 3 3 3 3 3 4 2 所以 {bn ? }是首项为 , 公比 q ? 2的等比数列 , 故 3 3

bn ?

4 1 n 1 4 ? ? 2 , 即bn ? ? 2n ? (n ? 1). 3 3 3 3
1 得anbn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2
1 ? anbn ? (b1 ? b2 ? 2 ? bn ) ? n

由bn ?

1

故Sn ? a1b1 ? a2b2 ?

1 (1 ? 2n ) 1 5 3 ? ? n ? (2 n ? 5n ? 1). …………………………………..12 分 3 1? 2 3
其它解法酌情给分。 22 、 解 : ( Ⅰ ) 设 点 M 的 坐 标 为 M(x, y)(x ≠ 0) , 则
C ( x, y ?1? 2 2 2), D ( x, y ?1? 2). 3 3

Y
P Q H

又 A(0,

2 2 2 ), B (0,? 2). 由 AC ⊥BD 有 AC BD ? 0 ,即 3 3

( x, y ? 1) (x , y ? 1) ? 0,

O
M

X

(Ⅱ)设 P(x, y) ,则 M ? (1 ? ?0 ) x, y ? ,代入 M 的轨迹方程有 (1 ? ?0 )2 x2 ? y 2 ? 1( x ? 0). 即
x2 2 ? y ? 1( x ? 0) ,∴P 1 2 ( ) 1? ?0

∴x2+y2=1(x≠0).

(4 分)

的轨迹为椭圆(除去长轴的两个端点).
1 (1??0 )2 ?( 2 2)2 . 3

要 P 到 A、B 的距离之和为定值,则以 A、B 为焦点,故 1? ∴ ?0 ? 2.

从而所求 P 的轨迹方程为 9x2+y2=1(x≠0). ………………………9 分

(Ⅲ) 易知 l 的斜率存在, 设方程为 y ? kx ? 设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则 x1 ? x2 ? ?
? x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?
? S ?OPQ ?

1 3 . 联立 9x2+y2=1, 有 (9 ? k 2 ) x2 ? kx ? ? 0. 4 2

k ?3 , x1 x2 ? . 2 9?k 4(9 ? k 2 )
4t ? 9 且 t ? 9. t2

4k 2 ? 27 2 . 令 t ? k ? 9 ,则 x2 ? x1 ? (9 ? k 2 )2

1 1 1 1 1 1 1 2 4 ? x2 ? x1 ? ?9 ? 2 ? 4 ? ? ?9( ? ) 2 ? , 2 2 4 t 4 t 9 9 t

1 1 t ? 9,? 0 ? ? . t 9

所以当 ?

1 t

1 3 ,即 t ? 9, 也即 k ? 0 时, ?OPQ 面积取最大值,最大值为 .…… 12 分 12 9


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