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河南省淮阳中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题


淮阳中学 2015 届高三上期第一次月考 理科数学试卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分。每小题所给四个选项中,只有一个选项符 合题目要求。 ) 1.已知集合 A ? x | y ? 2x , B ? y | A. ?x | x ? 0? C. x | x ? 2或x ? 4

?

?

?

x2 ? 6x ? 8 ,则 A

?

B ? (B)

B ?x | x ? 0?

?

?

D.

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?
?
2 ), f ( x) ? 0 ,则( D )

2.已知 f ( x) ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? (0, A. p 是假命题; ?p : ?x ? (0,

?
2

), f ( x) ? 0 ), f ( x0 ) ? 0

B. p 是假命题; ?p : ?x0 ? (0, C. p 是真命题; ?p : ?x ? (0, D. p 是真命题; ?p : ?x0 ? (0,

?
2

?

2

), f ( x) ? 0

?
2

), f ( x0 ) ? 0

3.已知 f(x)是 R 上的偶函数,将 f(x)的图象向右平移一个单位,得到一个奇函数的图象,若

f (2) ? ?1, 则f (1) ? f (2) ? f (3) ?

? f (2013) ? ( B )

A.1 B.0 C.—1 D.—1005.5 4 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足
f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是(
2

C ) D. (0, 2]

A. [1, 2]

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

5.设 f ( x) 、 g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时,

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 .且 g (3) ? 0 .则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是 ( D
A. (-3,0)∪ (3,+∞) C.(-∞ ,- 3)∪ (3,+∞) B.(-3,0)∪ (0, 3) D.(-∞,- 3)∪ (0, 3)
x



1 ?1? 6.设函数 f (x ) ? log4 x ? ( ) x , g (x ) ? log 1 x ? ? ? 的零点分别为 x 1、x 2 ,则(B ) 4 ?4? 4
·1 ·

A. x1 x2 ? 1

B. 0< x 1 x 2 <1
x x

C.1< x 1 x 2 <2

D. x 1 x 2 ? 2

7. 已知函数 f(x)=9 -m· 3 +m+1 对 x∈(0, +∞)的图像恒在 x 轴上方, 则 m 的取值范围是( C ) A.2-2 2<m<2+2 2 B.m<2
x

C.m<2+2 2

D.m≥2+2 2

8. 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ; ② 函 数 F ( x ) 是 奇 函 数 ; ③ 当 a ? 0 时 , 若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总 有

F ( m)? F ( n? ) 成立 0 ,其中所有正确命题的序号是( D)
A.② B.①② C.③ D.②③

9 已知函数 y ? loga ( x ?1) ? 3(a ? 0且a ? 1) 的图像恒过定点 P,若角 a 的顶点与原点重合,
2 始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P。则 sin a ? sin 2 a 的值为

A.

5 13

B. ?

5 13

C.

3 13

D. ?

3 13

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 10. 已知函数 f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是 ? ln( x ? 1), x ? 0
( ) A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2, 0] D

11. 函数 y ? f ( x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0) 对称, x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1, 2), N ( x, y) , O 为坐标原点,则当
1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围为 (

D ) C. ?3,12? D. ?0,12?

A. ?12,?? ?

B. ?0,3?

2x 12 己知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? ln x ?

1 ,对 ?a ? R, ?b ? (0, ??) ,使得 f (a) ? g (b) , 2
2 D. e ?

则 b-a 的最小值为(B) . A 1?

1 ln 2 2

B. 1 ?

1 ln 2 2

C. 2 e ? 1

1 2

二、填空题:本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卷的相应位置。 13. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 3x 对 任 意 的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒 成 立 , 则 x ?
3

·2 ·

2 (?2, ) 3

.

14.已知函数 f ? x ? ? ln

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ? 2?

?

---2-15 . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 边 长 分 别 为 a , b, c , 若 a 2 ? b 2 ? 2 c 2, 则 c o sC 的 最 小 值 为

1 2
16. 已知函数 y ? f ( x) x ? R 有下列 4 个命题: ①若 f (1 ? 2 x) ? f (1 ? 2 x) ,则 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ② y ? f ( x ? 2) 与 y ? f (2 ? x) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ③若 f ( x) 为偶函数,且 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称; ④若 f ( x) 为奇函数,且 f ( x) ? f (? x ? 2) ,则 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称. 其中正确的命题为___① ② ③ ④ 三、解答题:17 题 10 分,其它每题 12 分,共 70 分 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ?2cos x ? x ? R ? .
2

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)当 x ? ?0, ? 时,求函数 f ? x ? 的取值范围. 2 17.解:(1)因为 f ? x ? ? sin 2x ? cos2x ?1

? π? ? ?

π? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , 4? ?
所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ?

2π ? π. 2

·3 ·

(2) f ? x ? ?

π? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 . 4? ? π ? π 3π ?

当 x ? ?0, ? 时, 2 x ? ? ? ? , ? , 4 ? 4 4? ? 2? 所以当 2 x ? 当 2x ?

? π?

π π 3π ? ,即 x ? 时, f ? x ?max ? 2 ?1 ; 8 4 2

π π ? ? ,即 x ? 0 时, f ? x ?min ? ?2 ; 4 4

故函数 f ? x ? 的取值范围是 ? ?2, 2 ? 1? .

?

?

18. (本小题 12 分) 函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且对任意实数 x, 都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 成立. 已 知当 x ? [1,2] 时, f ( x) ? loga x . (1)求 x ? [ ?1,1] 时,函数 f ( x) 的表达式;

1 1 ,在区间 [ ?1,3] 上,解关于 x 的不等式 f ( x) ? . 2 4 18 解:(1)∵ f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且 f ( x) 是 R 上的偶函数,∴ f ( x ? 2) ? f ( x) ,
(2)若函数 f ( x) 的最大值为

?log a (2 ? x), x ?[?1,0] f ( x) ? ? . ?log a (2 ? x), x ? (0,1]
(2)由于函数是以 2 为周期,故只需考查区间 [ ?1,1] .

1 1 知 f (0) ? f ( x)max ? loga 2 ? ,即 a ? 4 , 2 2 1 当 0 ? a ? 1 时,则当 x ? 1或x ? ?1 时, f ( x) 有最大值,即 loga (2 ? 1) ? ,舍去, 2
若 a ? 1 时,由函数 f ( x) 的最大值为 综上可得, a ? 4 . 当 x ? [ ?1,1] 时,若 x ? [?1,0] ,则 log4 (2 ? x) ? 若 x ? (0,1] ,则 log4 (2 ? x) ?

1 ,∴ 0 ? x ? 2 ? 2 , 4

1 ,∴ 2 ? 2 ? x ? 0 , 4

∴此时满足不等式的解集为 ( 2 ? 2,2 ? 2) . ∵ f ( x) 是以 2 为周期的周期函数, 当 x ? (1,3] 时, f ( x) ?

1 的解集为 ( 2 ,4 ? 2 ) , 4

19.(12 分)如图所示,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于 E 点,F,G 分别为 AD,BC 的中 点,AB=2,∠ DAB=60°,沿对角线 BD 将△ ABD 折起,使得 AC= .
·4 ·

(1)求证:平面 ABD⊥ 平面 BCD; (2)求二面角 F﹣DG﹣C 的余弦值.

19. (1)证明;在菱形 ABCD 中,AB=2,∠ DAB=60°,∴ △ ABD,△ CBD 为等边三角形, ∵ E 是 BD 的中点,∴ AE⊥ BD,AE=CE= , ∵ AC= ,∴ AE2+CE2=AC2, ∴ AE⊥ EC,∴ AE⊥ 平面 BCD, 又∵ AE?平面 ABD,∴ 平面 ABD⊥ 平面 BCD; (2)解:由(1)可知建立以 E 为原点,EC 为 x 轴,ED 为 y 轴,EA 为 z 轴的空间直角坐标系 E﹣ xyz, 则 D(0,1,0),C( ,0,0),F(0, , )G(﹣ ,1, ),

平面 CDG 的一个法向量 =(0,0,1), 设平面 FDG 的法向量 =(x,y,z), =(0,﹣ , ), =(﹣ ,1, )



,即

,令 z=1,得 x=3,y=



故平面 FDG 的一个法向量 =(3, ∴ cos = = ,

,1),

∴ 二面角 F﹣DG﹣C 的余弦值为﹣ 20) (本小题满分 12 分)



设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,
2

·5 ·

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
(1)若 ?BFD ? 900 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值。

【解析】 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p

S?ABD ? 4 2 ?

1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 8 (2)由对称性设 A( x0 ,
2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

3p p ? 3p 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 ) ,直线 m : y ? 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

x2 ? 2 py ? y ?

x2 x 3 3 3p p , ) ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ? 3 。(lfx lby) 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

21. 已知函数 f ( x) ? ln(e ? a ? 1)(a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数
x

g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 在区间 ? ?1,1? 上是减函数.
·6 ·

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 g ( x) ? ? t ? 1 在 x ? ? ?1,1? 上恒成立,求实数 t 的最大值; (Ⅲ)若关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 有且只有一个实数根,求 m 的值. f ( x)

21.解: (Ⅰ)

f ( x) ? ln(e x ? a ? 1) 是实数集 R 上奇函数,
……2 分. ……3 分

? f (0) ? 0 ,即 ln(e0 ? a ? 1) ? 0 ? 2 ? a ? 1 ? a ? ?1
将 a ? ?1 带入 f ( x) ? ln e ? x ,显然为奇函数.
x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x ? ? x ? sin x ,? g '( x) ? ? ? cos x, x ? ? ?1,1? 则有 g '( x) ? 0 在 x ? ? ?1,1? 恒成立, ? ? ? (? cos x) min , ? 要使 g ( x) 是区间 ? ?1,1? 上的减函数, 所以 ? ? ?1 . ……5 分

要使 g ( x) ? ? t ? 1 在 x ? ? ?1,1? 上恒成立, 只需 g ( x) max ? g (?1) ? ?? ? sin1 ? ? t ? 1 在 ? ? ?1 时恒成立即可.

? (t ? 1)? ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 )恒成立即可. ………7 分
令 h(? ) ? (t ? 1)? ? sin1 ? 1(? ? ?1) ,则 ?

?t ? 1 ? 0, ?t ? 1 ? 0, 即? ?h(?1) ? 0, ??t ? 2 ? sin1 ? 0,
………9 分

? t ? sin1 ? 2 ,所以实数的最大值为 sin1 ? 2
(Ⅲ)由(Ⅰ)知方程

ln x ln x ? x 2 ? 2ex ? m ,即 ? x 2 ? 2ex ? m , x f ( x)

令 f1 ( x) ?

ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m x 1 ? ln x f '1 ( x) ? x2

当 x ? ? 0, e ? 时, f '1 ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 ? 0, e ? 上为增函数; 当 x ? [e, ??) 时, f '1 ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 [e, ??) 上为减函数; 当 x ? e 时, f1 ( x) max ?

1 . e

………………11 分

·7 ·

而 f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 当 x ? ? 0, e ? 时 f 2 ( x) 是减函数,当 x ? [e, ??) 时, f 2 ( x) 是增函数,

? 当 x ? e 时, f 2 ( x) min ? m ? e 2 . ………………12 分
只有当 m ? e 2 ?

1 1 ,即 m ? e 2 ? 时,方程有且只有一个实数根. e e

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,用 2B 铅 笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑.【选修 4-1:几何证明选项】 22.(10 分)(2014?洛阳三模)如图,已知 AB 是⊙ O 的直径,C 为⊙ O 上一点,以 C 为切点的切线 交 AB 的延长线于点 P,AM⊥ CP,垂足为 M,CD⊥ AB,垂足为 D. (1)求证:AD=AM; (2)若⊙ O 的直径为 2,∠ PCB=30°,求 PC 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知直线 l 的参数方程为 ,(t 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cos(θ﹣

).

(1)求直线 l 的参数方程化为普通方程,将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求圆 C 上的点到直线 l 距离的取值范围. 【选修 4-5:不等式选项】 24.已知函数 f(x)=2|x+1|﹣|x﹣3| (1)求不等式 f(x)≥5 的解集; (2)当 x∈[﹣2,2]时,关于 x 的不等式 f(x)﹣|2t﹣3|≥0 有解,求实数 t 的取值范围. 22. (1)证明:∵ AB 是⊙ O 的直径, ∴ ∠ ACB=90°, ∴ ∠ ACD+∠ BCD=90°,
·8 ·

∵ CD⊥ AB, ∴ ∠ ABC+∠ BCD=90°, ∴ ∠ ACD=∠ ABC, ∵ 以 C 为切点的切线交 AB 的延长线于点 P, ∴ ∠ MCA=∠ ABC=∠ ACD, ∵ ∠ AMC=∠ ADC=90°,AC=AC, ∴ △ AMC≌ △ ADC, ∴ AD=AM; (2)解:∵ ∠ PCB=30°,以 C 为切点的切线交 AB 的延长线于点 P, ∴ ∠ PAC=∠ PCB=30°, 在 Rt△ ABC 中,AB=2,∠ BAC=30°, ∴ BC=1,∠ ABC=60°, ∴ ∠ BPC=30°, ∴ ∠ BPC=∠ BCP,BC=BP=1, 由切割线定理得 PC2=PB?PA=PB(PB+BA)=3, ∴ PC= . 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. 解:(1)由 (t 为参数)得直线 l 的普通方程为

又∵ ∴ ∴ (2)由 ∴ 圆心 C 到直线 l 的距离 d= 直线 l 与圆 C 相离. ∴ 圆 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围是 【选修 4-5:不等式选项】 ,即 ,



; 得圆心 C(1, ),半径 r=2. .



24、解:(1)f(x)=2|x+1|﹣|x﹣3|=

,由式 f(x)≥5,可得

① ,



② ,或



解① 求得 x≥3,解② 求得 2≤x<3,解③ 求得 x≤﹣10.
·9 ·

故不等式的解集为[2,+∞)∪ (﹣∞,﹣10]. (2)当 x∈[﹣2,2]时,f(x)∈[﹣4,5],∵ 关于 x 的不等式 f(x)﹣|2t﹣3|≥0 有解, ∴ 5﹣|2t﹣3|≥0,即﹣5≤2t﹣3≤5,求得﹣1≤t≤4, 故 t 的范围为[﹣1,4].

·10·


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