2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一导学案新人教a版必修4_164

1.3 三角函数的诱导公式（一） 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过 程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 设角 α 的终边与单位圆的交点为 P，由三角函数定义知 P 点坐标为(cos α ，sin α ). 知识点一 诱导公式二 思考 角 π ＋α 的终边与角 α 的终边有什么关系？角 π ＋α 的终边与单位圆的 交点 P1(cos(π ＋α )，sin(π ＋α ))与点 P(cos α ，sin α )呢？它们的三角函数之 间有什么关系？ 答案 角 π ＋α 的终边与角 α 的终边关于原点对称，P1 与 P 也关于原点对称， 它们的三角函数关系如下： 诱导公式二 sin?π ＋α ?＝－sin α ， cos?π ＋α ?＝－ cos α ， tan?π ＋α ?＝tan α . 知识点二 诱导公式三 思考 角－α 的终边与角 α 的终边有什么关系？角－α 的终边与单位圆的交点 P2(cos(－α )，sin(－α ))与点 P(cos α ，sin α )有怎样的关系？它们的三角函数 之间有什么关系？ 答案 角－α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称，P2 与 P 也关于 x 轴对称，它 们的三角函数关系如下： 诱导公式三 sin?－α ?＝－sin α ， cos?－α ?＝cos α ， tan?－α ?＝－tan α . 知识点三 诱导公式四 思考 角 π －α 的终边与角 α 的终边有什么关系？角 π －α 的终边与单位圆的 交点 P3(cos(π －α )，sin(π －α ))与点 P(cos α ，sin α )有怎样的关系？它们的 三角函之间有什么关系？ 答案 角 π －α 的终边与角 α 的终边关于 y 轴对称，P3 与 P 也关于 y 轴对称， 它们的三角函数关系如下： 诱导公式四 sin(π －α )＝sin α ， cos(π －α )＝－ cos α ， tan(π －α )＝－tan α . 梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了 2kπ ＋α (k∈Z)，π ＋α ， －α ，π －α 的三角函数与 α 的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点 是： 2kπ ＋α (k∈Z)，π ＋α ，－α ，π －α 的三角函数值等于 α 的同名函数值， 前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象 限”. 类型一 利用诱导公式求值 命题角度 1 例1 给角求值问题 求下列各三角函数式的值. (2)sin 11π 4 ；(3)sin(－ 43π 6 )； (4)cos(－1 920°). (1)cos 210°； 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) 3 . 2 3π 4 ) ＝－cos 30°＝－ 11π 4 (2)sin ＝sin(2π ＋ ＝sin 3π 4 π 4 ＝sin(π － 2 . 2 π 4 ) ＝sin ＝ (3)sin(－ 43π 6 )＝－sin(6π ＋ 7π 6 ) 1 ＝ . 6 2 ＝－sin 7π 6 ＝－sin(π ＋ π 6 )＝sin π (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) 1 ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－ . 2 反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为 0°到 360°间的角. (3)“角化锐”：用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练 1 求下列各三角函数式的值. ? 31π ? ? ? (2)cos?－ ； 6 ? ? ? (3)tan(－945°). (1)sin 1 320°； 解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) 3 . 2 ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－ 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) 3 2 ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ . (2)方法一 ? 31π ? ? 7π ? 31π ? ? ? ? cos?－ ＝cos ＝cos?4π ＋ ? 6 ? 6 ? 6 ? ? ? ＝cos(π ＋ π 6 )＝－cos π 6 ＝－ 3 . 2 ? 31π ? ? 5π ? ? ? ? ? － 6 π ＋ 方法二 cos?－ ＝ cos ? ? ? 6 6 ? ? ? ? π? ? 3 π ＝cos?π － 6 ?＝－cos ＝－ . 6 2 ? ? (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 命题角度 2 例2 π A.－ 6 答案 D 解析 由 sin(π ＋θ )＝－ π 3cos(2π －θ )，|θ |< ， 2 给值求角问题 π 3cos(2π －θ )，|θ |< ，则 θ 等于( 2 ) 已知 sin(π ＋θ )＝－ π 3 π 6 π 3 B.－ C. D. 可得－sin θ ＝－ π 3cos θ ，|θ |< ， 2 即 tan θ ＝ π π 3，|θ |< ，∴θ ＝ . 2 3 反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角 函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角. 跟踪训练 2 已知 sin(π －α )＝－ 2sin(π ＋β )， 3cos(－α )＝－ 2cos(π ＋β )，0<α <π ，0<β <π ，求 α ，β .