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2011-2018年新课标全国卷1理科数学高考真题三角函数分类汇编(纯WORD版)

2011-2018 年全国卷 1 理科数学高考真题三角函数分类汇编
1.(2011· 课标全国,理 5 文 7)已知角 θ 的顶点与原 点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ=( A.- 解析 4 5 3 B.- 5 ) C. 3 5 D. 4 5 AB BC 3 = = =2, sinC sinA sin60° ∴AB=2sinC,BC=2sinA,AB+2BC=2(sinC+2sinA) = 2[sinC + 2sin(120° - C)] = 2( 3cosC + 2sinC) = 2 7 2 3 sin(C+φ)(其中 cosφ= , sinφ= ). ∴当 C+φ=90° , 7 7 解析 由正弦定理可得 即 C=90° -φ 时, AB+2BC=2 7sin(C+φ)取得最大值 2 7. 法 1 转化为角的关系 2 7 法 2 判别式法?值得探讨

由题意知 tan θ = 2 , cos 2θ = cos2θ - sin2θ =

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 1-22 3 = = =- ,故选 B. 5 cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 1+22 答案 B

2.(2011· 新课标全国,理 11)设函数 f(x)=sin(ωx+φ) π +cos(ωx+φ) ω>0,|φ|<2 的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( )

(

)

4.(2012 课 标 全 国 , 理 9) 已 知 ω > 0 , 函 数 f(x) = π π sin ωx+4 在 2,π 上单调递减,则 ω 的取值范 围是( 1 5 A. 2,4 解析 ) D.(0,2]

(

) ( )

( ) π 3π B.f(x)在(4, 4 )单调递减 π C.f(x)在(0,2)单调递增 π 3π D.f(x)在(4, 4 )单调递增
π A.f(x)在 0,2 单调递减 解析 = f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) π 2sin ωx+φ+4 , 2π =π,∴ω=2. ω

3 1 , 0, [ ] B.[1 2 4] C.( 2]

π ωπ π π π 由 <x<π 得, + <ωx+ <ωπ+ ,又 y 2 2 4 4 4

π 3 =sin α 在 2,2π 上递减, ωπ π π ? ? 2 +4≥2, 1 5 所以? 解得 ≤ω≤ ,故选 A. 2 4 π 3 ? ?ωπ+4≤2π, 答案 A

(

)

(

)

∵周期 T=

又 f(-x)=f(x),即 f(x)为偶函数, π π π ∴φ+ =kπ+ ,φ=kπ+ ,k∈Z. 4 2 4 π π 又|φ|< ,∴φ= , 2 4 π ∴f(x) = 2 sin 2x+2 = 2 cos 2x , 易 得 f(x) 在

5.(2013 课标全国 ,理 15)设当 x=θ 时,函数 f(x)= sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ=________. 解析 = 5? f(x)=sin x-2cos x 1 2 sin x- cos x?, 5 5 ? 1 2 ,sin α=- , 5 5

?

(

)

令 cos α=

(0,π 2)上单调递减,故选 A.
答案 A 3.(2011· 课标全国,理 16)在△ ABC 中,∠B=60° , AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. 答案 2 7 1

则 f(x)= 5sin(α+x), π 当 x=2kπ+ -α(k∈Z)时, sin(α+x)有最大值 1, f(x) 2 π 有最大值 5,即 θ=2kπ+ -α(k∈Z),所以 cos θ 2

π π =cos 2kπ+2-α =cos 2-α = sin α=- 2 2 5 =- . 5 5

(

) ( )

π π π π 0< -α< ,因此 α-β= -α,所以 2α-β= ,故选 2 2 2 2 C. 8.(2014· 新课标全国Ⅰ,理 16)已知 a,b,c,分别 为△ ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a=2, 且(2+b)(sin A - sin B) = (c - b)sin C ,则 △ ABC 面积的最大值为 ________. 解析 因为 a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-

答案

2 5 - 5

6.(2014· 新课标全国Ⅰ理 6)如图, 圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作 直线 OA 的垂线,垂足为 M,将 点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]上 的图象大致为( ) 正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即 b2+c2-a2 =bc,由余弦定理可得 cos A= b2+c2-a2 bc 1 = = , 2bc 2bc 2

b)sin C 可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由

π 1 b2+c2-4 2bc-4 又 0<A<π, 故 A= , 又 cos A= = ≥ , 3 2 2bc 2bc 所以 bc≤4, 当且仅当 b=c 时取等号, 由三角形面积

[ ] π 1 时,f(x)=cos x· sin x= sin 2x;当 x∈(2,π]时,f(x) 2
解析 π 由题意知,f(x)=|cos x|· sin x,当 x∈ 0,2 1 =-cos x· sin x=- sin 2x,故选 C. 2 答案 C

1 1 3 3 公式知 S△ ABC= bcsin A= bc· = bc≤ 3 ,故 2 2 2 4 △ ABC 面积的最大值为 3. 答案 3

9 . (2015· 新课标全国 Ⅰ , 2)sin 20° cos 10° - cos

π 7.(2014· 新 课 标 全 国 Ⅰ 理 8) 设 α∈ 0,2 , π 1+sin β β∈ 0,2 ,且 tan α= ,则( cos β A.3α-β= π 2 B.3α+β= π 2

( )

160° sin 10° =( A.- 解析 3 2 B.

) 3 2 1 C.- 2 1 D. 2

( )

)

sin 20° cos 10° -cos 160° sin 10° =sin 20° cos

1 10° +cos 20° sin 10° =sin 30° = . 2 答案 D

π C.2α-β= 2 解析

π D.2α+β= 2

10 . (2015· 新课标全国 Ⅰ,理 8)函数 f(x)=cos(ωx +φ)的部分图象如图所示, 则 f(x) 的单调递减区间为 ( )

1+sin β sin α 1+sin β 由 tan α= 得 = ,即 sin cos β cos α cos β

αcos β=cos α+sin βcos α,所以 sin(α-β)=cos α,

( ) ( ) π π π π 又因为 α∈(0,2), β∈(0,2), 所以- <α-β< , 2 2

π π 又 cos α=sin 2-α ,所以 sin(α-β)=sin 2-α ,

( ) 1 3 B.(2kπ-4,2kπ+4),k∈Z
1 3 A. kπ-4,kπ+4 ,k∈Z 2

1 3 C. k-4,k+4 ,k∈Z

(

)

1 3 D. 2k-4,2k+4 ,k∈Z

(

)

最大值为( (A)11

) (B)9 (C)7 (D)5

T 5 1 解析 1 由图象知 = - =1,∴T=2.由选项知 D 2 4 4 解析 2 ∴ 5 1 .D 由图象知,周期 T=2 4-4 =2,

13. (2017· 新课标全国Ⅰ, 理 9)已知曲线 C1: y=cos 2π x,C2:y=sin 2x+ 3 ,则下面结论正确的是(

( )

(

)

)

A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不 π 变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 6 C2 B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不

2π =2,∴ω=π. ω

1 π 由 π× +φ= +2kπ,k∈Z, 4 2 π π 不妨取 φ= ,∴f(x)=cos πx+4 . 4 π 1 3 由 2kπ<πx+ <2kπ+π,k∈Z,得 2k- <x<2k+ , 4 4 4 k∈Z,答案 D 11.(2015· 新 课 标 全 国 Ⅰ , 理 16) 在 平 面 四 边 形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75° ,BC=2,则 AB 的取 值范围是________. 答案:( 6- 2, 6+ 2)

(

)

变, 再把得到的曲线向左平移 C2

π 个单位长度, 得到曲线 12

1 C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不 2 π 变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 6 C2 1 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不 2 变, 再把得到的曲线向左平移 C2 π 个单位长度, 得到曲线 12

解析: 如图所示,延长 BA 与 CD 相交于点 E,过点 C 作 CF∥AD 交 AB 于点 F,则 BF<AB<BE. 在等腰三角形 CFB 中,∠FCB=30° , CF=BC=2, ∴ BF= 22+22-2×2×2cos 30° = 6- 2. 在等腰三角形 ECB 中, ∠CEB=30° , ∠ECB=75° , BE=CE,BC=2, BE 2 = , sin 75° sin 30°

解析

π 易知 C1:y=cos x=sin x+2 ,把曲线 C1 上的

( )

1 各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到函 2 π 数 y=sin 2x+2 的图象, 再把所得函数的图象向左平 移 π π π 个单位长度,可得函数 y= sin?2 x+12 + ? = 12 2? ?

(

)

(

)

2π sin 2x+ 3 的图象,即曲线 C2,因此 D 项正确. 答案 D

(

)

6+ 2 2 ∴ BE= × = 6+ 2. 1 4 2 ∴ 6- 2<AB< 6+ 2.

14.(2018· 新课标全国 Ⅰ ,理 16) 已知函数 f ( x ) = 2sinx+sin2x,则 f ( x ) 的最小值是 .

12.(2016· 新 课 标 全 国 Ⅰ , 理 16) 已 知 函 数 f π π π x= 为 ( x )=sin(ωx+φ)(ω>0 , |φ|≤ ), x =- 为 f ( x ) 的零点, 2 4 4 y = f ( x ) 图像的对称轴,且 f ( x ) 在( π 5π , )单调,则 ω 的 18 36 3

【解答】解:由题意可得 T=2π 是 f ( x ) =2sinx+sin2x 的一个周期, 故只需考虑 f ( x ) =2sinx+sin2x 在[0,2π)上的值域, 先来求该函数在[0,2π)上的极值点, 求导数可得 f′(x)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2cos2x﹣1)=2(2cosx﹣1)(cosx+1), 1 令 f′(x)=0 可解得 cosx= 或 cosx=﹣1, 2 π 5π 可得此时 x= ,π 或 ; 3 3 π 5π ∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x= ,π 或 和边 3 3 界点 x=0 中取到, π 3 3 5π 3 3 计算可得 f ( ) = , f ( π) =0, f ( ) =﹣ ,f 3 2 3 2 (0)=0, 3 3 ∴函数的最小值为﹣ , 2 3 3 故答案为:﹣ . 2

4


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