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高二数学周练九教师版


高二数学周练九教师版
一.填空题: 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 11, x ? Z },集合 B ? {x | x ? 2a, a ? A} ,则 A 2.复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 4 ? 3i ,那么 | z | = 3.曲线 f ( x) ? sin x ? cos x 在 x=0 处的切线方程为 . 5 . x ? y ?1 ? 0 . ?1 .4 3 .3 B= .{0, 2}

4.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 3 ,则 f (?2) ? 5.若 ?ABC 的三边 a, b, c 成等差数列,?B ? 60 , b ? 4 ,则 ?ABC 的面积为
?

6.等比数列 {an } 中, Sn 表示前 n 顶和, a3 ? 2S2 ? 1, a4 ? 2S3 ? 1 ,则公比 q 为

7 .已知函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1 ( a ? 0, a ? 1 )的图像恒过定点 A ,若点 A 也在函数

f ( x) ? 3x ? b 的图像上,则 f (log3 2) =

.0

8 9

2 8 .已知 F 是抛物线 C : y ? 4 x 的焦点 , P 是抛物线 C 上任意一点,点 A(2,1) ,则当

PF ? PA取得最小值时,点 P 的坐标为

?1 ? ? ,1 ? .? 4 ?

9 .已知公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 若 a4 是 a3与a7 的等比中项 , 且

S8 ? 32 ,则 S10 等于

.0760

10.已知 p : | x ? 2 |? 3 , q : 1 ? m ? x ? 1 ? m ( m ? 0 ),若 ? q 是 ? p 的充分不必要条件, 则实数 m 的取值范围是 . [4, ??) 11.过点 P(2,3) 的直线 l 分别交 x, y 轴的正半轴于 A 、 B 两点,则 OA ? OB 的最小值是 .5? 2 6

?x ? 0 ? 12.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 2x ? y 的最大值是 ?x ? y ? 4 ?

.2

13.在等差数列 ?an ? 中,若 an ? 0 ,公差 d ? 0 ,则有 a4 ? a6 ? a3 ? a7 . 类比此性质,在等比 数列 ?bn ? 中,若 bn ? 0 ,公比 q ? 1 ,可得 b6 , b7 , b4 , b9 之间的一个不等关系为 .

b6 ? b7 ? b4 ? b9
1

14.若曲线 y=f(x)上存在三点 A、B、C,使 AB ? BC ,则称曲线有“中位点” ,下列曲线:① y=cosx,② y ? 点”的曲线有 二.解答题: 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 ,③ y ? x3 ? x2 ? 2 ,④y=cosx+x2,⑤ y ? x ?1 ? x ? 2 ,其中有“中位 x
(写出所有满足要求的曲线序号) ①③⑤

?cx ? 1,
4c 2c

0? x?c

?3x ? x , c ? x ? 1

满足 f (c ) ?
2

9 ; 8

(1)求常数 c 的值; (2)解不等式 f ( x) ? 2 .
2 15、解: (1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c ? c ; 由 f (c ) ?
2

1 9 9 3 ,即 c ? 1 ? , c ? 2 8 8

?1 1? ? ?? ? x ? ? ? 2 x ? 1, 2? ? (2)由(1)得 f ( x) ? ? ? ?? ? ?3x 2 ? x, ≤ x ? 1? ? ? ?? ? ? 1 由 f ( x) ? 2 得,当 0 ? x ? 时,解得 0 ? x ? 1 , 2 2


1 1 2 2? ≤ x ? 1 时, 3x 2 ? x ? 2 ? 0 解得 ≤ x ? , 所以 f ( x) ? 2 的解集为 ? ?x 0 ? x ? ? . 2 2 3 3? ? 16 . 设 ?ABC 是 锐 角 三 角 形 , a, b, c 分 别 是 内 角 A, B, C 所 对 边 长 , 并 且 ? ? sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B . 3 3 (1) 求角 A 的值;
(2) 若 AB ? AC ? 12 , a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ).

解: (1)因为 sin A ? (
2

3 1 3 1 cos B ? sin B)( cos B ? sin B) ? sin 2 B 2 2 2 2
=

3 1 3 cos 2 B ? sin 2 B ? sin 2 B ? .…………………4 分 4 4 4

所以 sin A ? ?

? 3 ,又 A 为锐角,所以 A ? .…………………6 分 3 2
c bc o s A ? 12


(2)由 AB ? AC ? 12 可得 由(1)知 A ?

?
3
2

,所以 cb ? 24
2 2

②……………8 分

由余弦定理得 a ? c ? b ? 2cb cos A ,将 a ? 2 7 及①代入得

c 2 ? b2 ? 52

③…………10 分

2

③+②×2 得: (c ? b) 2 ? 100, 所以 c ? b ? 10 …………12 分 因此 c, b 是一元二次方程 t ? 10t ? 24 ? 0 的两个实根,
2

解此方程并由 c ? b 知 c ? 6, b ? 4 .…………………………………………14 分

17.某地区的农产品 A 第 x 天 (1 ? x ? 20) 的销售价格 p ? 50? | x ? 6 |(元/百斤) ,一农户在 第 x 天 (1 ? x ? 20) 农产品 A 的销售量 q ? 40? | x ? 8 | (百斤) (1)求该农户在第 7 天销售农产品 A 的收入; (2)问这 20 天中该农户在哪一天的销售收入最大? 【思路分析】第(1)问求出第 7 天的销售价格与销售量,直接求值;第(2)问找到销售价 格与销售量表达式中的分界点,去绝对值的符号,进行分段讨论,根据函数表达式的特点利 用基本不等式求最值,要注意等号成立的条件. 【解析】⑴ 由已知第 7 天的销售价格 p ? 49 ,销售量 q ? 41 . ∴ 第 7 天的销售收入

W7 ? 49 ? 41 ? 2009 (元).

?(44 ? x)(48 ? x) ? ⑵ 设第 x 天的销售收入为 Wx ,则 Wx ? ?2009 ?(56 ? x)(32 ? x) ?
Wx ? (44 ? x)(48 ? x) ? ( 当 1 ? x ? 6 时,
∴ 当 x ? 2 时取最大值 Wx ? 2116 .

1? x ? 6 x?7 . 8 ? x ? 20

(44 ? x)(48 ? x) 2 x ? 2 时取等号) . ) ? 2116 (当且仅当 2 (56 ? x)(32 ? x) 2 ) ? 1936 .(当且仅当 x ? 12 时取等 2

当 8 ? x ? 20 时, Wx ? (56 ? x)(32 ? x) ? ( 号)∴ 当 x ? 12 时取最大值 W12 ? 1936 .

由于 W2 ? W7 ? W12 ,∴ 第 2 天该农户的销售收入最大. 答:⑴ 第 7 天的销售收入 2009 元;⑵ 第 2 天该农户的销售收入最大. 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) ,且过点 a2 b2

1 3 5 Q(? , ) ,P 是椭圆上一点. 2 4
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 ?F1 PF2 ? 60 ,求 ? F1PF2 的面积; (Ⅲ)若 P 点位于第一象限,且横坐标等于 1,自 P 引倾斜角互补的两条直线分别与椭 圆交与不同于 P 的两点 M 、 N ,证明直线 MN 的斜率为定值. 解: (Ⅰ)因为 Q 在椭圆上,所以

1 3 5 2 1 3 5 2 2a ? QF1 ? QF2 ? (? ? 1)2 ? ( ) ? (? ? 1)2 ? ( ) =4, 2 4 2 4
所以 a ? 2, b2 ? a2 ? 1 ? 3 ,
3

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

…… 5 分

(Ⅱ)因为点 P 在椭圆上,且 ?F1 PF2 ? 60 ,所以有

PF1 ? PF2 ? 4 (1)

PF12 ? PF22 ? 2PF1 PF2 cos60 ? 4 (2) (1)2 ? (2) 得 PF1 PF2 ? 4 ,

1 ……10 分 PF1 PF2 sin 60 ? 3 . 2 3 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 P (1, ) , 2 3 3 设直线 PM 的方程: y ? ? k ( x ? 1) ,则直线 PN 的方程: y ? ? ?k ( x ? 1) , 2 2 3 ? y ? ? k ( x ? 1) ? ? 2 把直线 PM 的方程与椭圆的方程联立 ? 2 , 2 x y ? ? ?1 ? 3 ?4
所以 S? ? 整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 4k (2k ? 3) x ? 4k 2 ? 12k ? 3 ? 0 ,

4k 2 ? 12k ? 3 , 4k 2 ? 3 ?12k 2 ? 6k 3 ? , 把 xM 代入直线 PM 的方程,解得 M 的纵坐标 yM ? 4k 2 ? 3 2 2 2 4k ? 12k ? 3 ?12k ? 6k 3 ? ) ;……14 分 , 即 M 点的坐标为 ( 4k 2 ? 3 2 4k 2 ? 3 2 2 4k ? 12 k ? 3 ?12k ? 6k 3 ? ); , 同理可得 N 点的坐标为 ( 4k 2 ? 3 2 4k 2 ? 3
该方程的一个根为 1,另一个根为 M 的横坐标,解得 xM ? 所以 kMN ?

yM ? y N ? xM ? xN

?

1 .……16 分 2

19. (本小题满分 16 分) 已知有穷数列 {an } 共有 2 k 项(整数 k ? 2 ) ,首项 a1 ? 2 ,设该数列的前 n 项和为 Sn , 且 Sn ?

an?1 ? 2 (n ? 1,2,3, a ?1

,2k ? 1) ,其中 a ? 1 .数列 {bn } 满足 bn ? log 2 an ,且 {bn } 的前 n

项和为 Tn . (Ⅰ )求 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若不等式 1 ?

Tn ? 2 对任意 1 ? n ? 2k (n ? N ) 都成立,求 a 的取值范围; n
4

19.解: (Ⅰ ) n ? 2 时, Sn ?

an?1 ? 2 a ?2 ,两式相减得 ,Sn?1 ? n a ?1 a ?1
……3 分

Sn ? Sn?1 ?

a an?1 ? an a ?a , an ? n?1 n , an?1 ? a ? an , n ?1 ? a , an a ?1 a ?1 a a2 ? 2 ? 2, a2 ? 2a, 即 2 ? a , a1 a ?1

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

所以 {an } 是首项为 2,公比等于 a 的等比数列, 数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? an?1. ……5 分

(Ⅱ )把数列 {an } 的通项公式代入数列 {bn } 的通项公式,可得 bn ? 1 ? (n ? 1)log 2 a , 所以 {bn } 是首项为 1,公差等于 log2 a 的等差数列,

n(n ? 1) ……7 分 log2 a , 2 T n ?1 由1 ? n ? 2 得 0 ? log2 a ? 1 , n 2 n ?1 因为 a ? 1 , log 2 a ? 0 ,不等式 log2 a ? 0 显然成立; 2 n ?1 对于不等式 log2 a ? 1 , 2 Tn ? n ?
n=1 时显然成立, 当 n ? 2 时,不等式可化为 log 2 a ? 综上, 1 ? a ? 2 2 k ?1 . 20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? (ax2 ? x)e x (a ? R ) , f '( x ) 为 f ( x) 的导数. (Ⅰ )解不等式 f '( x) ? 0 ; (Ⅱ )若 f ( x) 在 [ ?1,1] 上为单调函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ )当 a ? 0 时,方程 f ( x) ? x ? 2 在区间 [t , t ? 1] ( t ? Z )上有解,求 t 的值; 解: (Ⅰ ) f '( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x ,
2

2 2 ,只需 log2 a ? 成立,解得 a ? 2 2 k ?1 , 2k ? 1 n ?1
……10 分

2

e x ? 0 ,∴ ∵ 由 f '( x) ? 0 得 ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 (1) ……2 分
当 a ? 0 时,不等式 (1) 可化为 x ? 1 ? 0 ,解集为 [?1, ??) ; 当 a ? 0 时,∵ ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a2 ? 1 ? 0 ,

5

方程 ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? 0 的两个根是 x1 ? ∴ 当

?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ,x2 ? 2a 2a
不 等 式

a?0





x1 ? x2 ? 0



(1)









(??,

?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ) ( , ??) ; 2a 2a
当 a ? 0 时, x1 ? 0 ? x2 ,不等式 (1) 的解集是 (

?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 , ); 2a 2a

综上,当 a ? 0 时,原不等式的解集为 [?1, ??) ;当 a ? 0 时,原不等式的解集是

(??,

?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ) ( , ??) ; 当 a ? 0 时 , 原 不 等 式 的 解 集 是 2a 2a
……5 分

(

?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 ?2a ? 1 ? 4a 2 ? 1 , ). 2a 2a

(Ⅱ ) a ? 0 时, f '( x) ? ( x ? 1)ex , f '( x) ? 0 在 x ? [?1,1] 恒成立,当且仅当 x ? ?1 时,

f '( x ) ? 0 ,
a ? 0 符合题意. ∴f ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调增函数,∴

当 a ? 0 时,设 g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,

y ? f ( x) 在 R 上存在极大值与极小值. 由(Ⅰ )知, g ( x) ? 0 有两个不相等的实根,∴

a y ? g ( x) 在区间 (?1,0) 上存在零点, ∴ ? 0, e ∴f ( x) 在 [ ?1,1] 内存在极值点,∴f ( x) 在 [ ?1,1] 上不是单调函数.……7 分
当 a ? 0 时, ∵ g (?1) g (0) ? (?a) e?1 e0 ? ? 当 a ? 0 时, x1 ? 0 ? x2 ,二次函数 y ? g ( x) 的开口向下,要使 f ( x) 在 [ ?1,1] 上单调, 必须满足:

? g (?1) ? 0 ??a ? 0 2 ,即 ? ,解得 ? ? a ? 0 ,此时 f ( x) 在 [ ?1,1] 上单调递增. ? 3 ? g (1) ? 0 ?3a ? 2 ? 0
综上,当 ? ? a ? 0 时, f ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调函数.……10 分 (Ⅲ )当 a ? 0 时,由 f ( x) ? x ? 2 得 xe x ? x ? 2 由于 e x ? 0 ,且 x ? 0 不是该方程的解,所以原方程等价于 e x ? 令 g ( x) ? e x ?

2 3

2 ?1 ? 0 , x

2 2 ? 1 ,则 g ?( x) ? e x ? 2 ? 0 对一切 x ? (??, 0) (0, ? ?) 成立, x x 所以和 g ( x) 在 (?? , 0) 和 (0 , ? ?) 都是增函数, ……12 分
6

又因为 g (1) ? e ? 3 ? 0, g (2) ? e2 ? 2 ? 0 ;

1 g (?3) ? e?3 ? ? 0, g (?2) ? e?2 ? 0 , ……14 分 3
所以方程 2 f ( x) ? 3e x ? 0 有且只有两个实根,并且分别在区间 ?1, 2? 和 ? ?3, ? 2? 上, 所求整数 t 的值为 1 和 ?3 .……16 分

7


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