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广东省珠海市202-2013学年高二下学期期末考试数学文试题(A卷)


广东省珠海市 202-2013 学年高二下学期期末考试数学文试 题(A 卷)
考试用时:120 分钟 总分:150 分 考试内容:数学选修 1-2,数学选修 4-4,函数部分内容。 参考公式: 。 。

用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

?

?

? x y ? nx y
=
i ?1 n i i

n

? (x
i ?1

n

i

? x)

?

2

?x
i ?1



2 i

? nx

2

? ? y ?b x . a
随机量变 K ?
2

?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072

(其中 n ? a ? b ? c ? d )

临界值表

P( K 2 ? k )

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

k

一、选择题(本题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1.函数 f ( x) ? ln x ? 1 ? x 的定义域是 A. (0,1] B. (0,1) C. [0,1) 2.下列表述正确的是 D. [0,1] ( ) ( )

①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一 般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ ( C. ? 2i D. ? 2i ( C.第三象限 D.第四象限 ) )

3.方程 x 2 ? ?4 的复数解是 A. ? 2 4.复数 B. 2i

i 在复平面内对应的点位于 1? i
B.第二象限

A.第一象限

?log 1 x, x ? 0, ? 2 5.已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?2)) 的值是 x ? 2 , x ? 0 . ?





A.-2

B.2

C.

1 2

D.

1 4
( D.3 )

? x ? 2 ? 3t (t为参数) ? 6.若直线的参数方程为 ? y ? 1 ? t ,则直线的斜率为
A. ?

1 3

B.

1 3

C.-3

7.三段论: “①只有船准时起航,才能准时到达目的港;②这艘船是准时到达目的港;③所 以这艘船是准时起航的” 中的 “小前提” 是 ( ) A.① B.② C.①② D.③ 8.以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度 单 位 , 点 ( ) A. (2,2 3 ) B. (?2,2 3 ) C. (2 3 ,2) D. (2 3 ,?2) ( )

M

的 极 坐 标 是 ( 4,

2? ) , 则 点 M 3

直 角 坐 标 是

9.已知 y ? f ( x)( x ? R ) ,那么一定是奇函数的是 A. y ? f ( ? x ) C. y ? f ( x ) ? f ( ? x )
2 2

B. y ? ? f ( ? x ) D. y ? f ( x) ? f (? x)

10. 在同一坐标系中, 将圆 x ? y ? 4 在伸缩变换 ?

? X ? 2x 下的方程是 ?Y ? 3 y





A.

X2 Y2 ? ?1 4 9

B.

X2 Y2 ? ?1 2 3

C. 4 X 2 ? 9Y 2 ? 1

D. 2 X 2 ? 3Y 2 ? 1

11 . 设 ( D )
2

z1 , z 2

为 复 数 , 则 下 列 四 个 结 论 中 正 确 的 是

A.若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? ? z 2
2 2

2

B. z1 ? z 2

2

2 ? z12 ? 2 z1 z 2 ? z 2

C. z1 ? z 2 ? 0 ? z1 ? z 2 ? 0
2 2

D. z1 ? z1 是纯虚数或零

12.对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“裂” :

?13 ?7 ?15 ?3 ? ? 23 ? , 33 ?9 , 43 ? , ? 17 ?5 ?11 ? ? ? ?19
若 m 3 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 为 ( )

A.6

B.7

C.8

D.9

二、填空题(本题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) . 13.在工商管理学中,MRP ( Material Requirement Planning )指的是物资需求计划,基本 MRP 的体系结构如下图所示.从图中可以看出,主生产计划受 ___的影响.

14.右侧流程图输出的结果是___ 15.将参数方程 ?

______.

? x ? 2 ? cos ? , 化为普通方程为 (?是参数) ? y ? 1 ? sin ? ,

16. 化极坐标方程 3? cos ? ? 4 ? sin ? ? 2 为直角坐标方程为

. (请化为一般方程) . (用

17.若 OA ? 3 ? 4i , OB ? ?1 ? i ,其中 a, b ? R ,是虚数单位,则 AB ?

复数代数形式表示) 18.下列结论:①函数关系是一种确定性关系;②相关关系是一种非确定性关系;③回归分 析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的 两个变量进行统计分析的一种常用方法.其中正确的是 . (将所有正确的序号填 上) 19.已知: n ?

n(n ? 1) (n ? 1) ? n n ? (n ? 1) ? (n ? 2) (n ? 1) ? n ? (n ? 1) , n ? (n ? 1) ? . ? ? 2 2 3 3

由以上两式,可以类比得到 n(n ? 1)(n ? 2) ?

20.已知 an ?1 ? an ? 2n, a1 ? 2, n ? N ? ,猜想 an ? 三、解答题(本题共有 5 个小题,每小题 10 分,共 50 分) . 21. (本小题 10 分) 已知: m ? 0, n ? 0,



n n ?1 n ? 1, 证明: ? . m m ?1 m

22. (本小题 10 分) 已知圆的参数方程: ?

? x ? 2 ? 2 cos ? (?是参数) . ? y ? ?1 ? 2 sin ?

(1)求圆的圆心坐标和半径; (2)设圆上的动点 P ( x, y ) ,求 z ? x ? y 的最小值.

23. (本小题 10 分) 为考察某种药物预防甲型 H1N1 流感的效果,进行动物试验,调查了 100 个样本,统计 结果 为:服用药的共有 60 个样本,服用药但患病的仍有 20 个样本,没有服用药且未患病的有 20 个样本. (1)根据所给样本数据完成下面 2× 2 列联表; (2)请问能有多大把握认为药物有效? 不得流感 服药 不服药 总计 得流感 总计

(参考数据: 242 ? 576 )

24. (本小题 10 分) 给出施化肥量(kg)对水稻产量(kg)影响的试验数据: 施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405

(1)试求出回归直线方程; (2)请估计当施化肥量为 10 kg 时,水稻产量为多少? (已知:7.5×31.25+2.5×16.25+2.5×3.75+7.5×43.75=612.5,2×7.5×7.5+2×2.5 ×2.5=125)

25. (本小题 10 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像如图所示. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 2]上的最大值h(t ) ; ( 3 ) 若 g ( x) ? 6 ln x ? m, 问 是 否 存 在 实 数 m , 使 得

y
16

y ? f ( x) 的图像与 y ? g ( x) 的图像有且只有两个不
同的交点?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理 由.

O

8

x

附加题: 26. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? m), 且f (0), f (2), f (6) 成等差数列. (1)求 f (30) 的值; (2) 若 a,b,c 是两两不相等的正数, 且 a,b,c 成等比数列, 试判断 f (a ) ? f (c) 与

2 f (b) 的大小关系,并证明你的结论.
27. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ?

ax 2 ? x 1 (a, b为常数)为奇函数, 且过点(1, ). 2 3 2x ? b

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)定义正数数列 ?a n ?, a1 ? 比数列; (3)令 bn ?

?1 ? 1 2 , a n ?1 ? 2a n f (a n )(n ? N ? ) ,证明:数列 ? 2 ? 2? 是等 2 ? an ?

1 31 ? 2, S n为?bn ? 的前n项和, 求使S n ? 成立的最小 n 值. 2 8 an
2 0 0 7

0

2

1

2

参考答案
1、A 2、D 3、D 4、A 5、B 6、A 7、B 8、B 9、C 10、A 11、D 12、C 二、填空题(本题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) . 13. __用户订单和需求预测___ 14. __127______. 15. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 . 16. 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 . 17. AB ? ? 4 ? 5i . 18. 19. ①②④ .

n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) (n ? 1) ? n ? (n ? 1)(n ? 2) . ? 4 4

20、 an ? n 2 ? n ? 2 . 三、解答题(本题共有 5 个小题,每小题 10 分,共 50 分) . 21. (本小题 10 分) 已知: m ? 0, n ? 0,

n n ?1 n ? 1, 证明: ? . m m ?1 m
……………2 分

证法一(用分析法) :? m ? 0,? m ? 1 ? 0 , 要证

n ?1 n ? ,……………4 分 m ?1 m

只须证: m(n ? 1) ? n(m ? 1) ,……………6 分 即只须证: m ? n ,……………8 分

? m ? 0,

n ? 1 ,? n ? m 成立,即 m ? n 成立, m

∴原不等式成立.……………10 分 证法二(用比较法) :∵

n ? 1 n m(n ? 1) ? n(m ? 1) m?n ? ? ? ……………4 分 m ?1 m m(m ? 1) m(m ? 1)

∵m ? 0,

n ? 1 ,∴ n ? m ,……………6 分 m

∴ m ? n ? 0 , m ? 1 ? 0 ……………8 分



m?n ? 0, m(m ? 1)
n ?1 n ? ? 0 ,原不等式成立.……………10 分 m ?1 m



22. (本小题 10 分) 已知圆的参数方程: ?

? x ? 2 ? 2 cos ? (?是参数) . ? y ? ?1 ? 2 sin ?

(1)求圆的圆心坐标和半径; (2)设圆上的动点 P ( x, y ) ,求 z ? x ? y 的最小值. 解: (1)圆心的坐标为: (2,?1) ,半径为 2 …………… 4 分

22. 解法一:设 P(2 ? 2 cos ? ,?1 ? 2 sin ? ) ,则

z ? 2 ? 2 cos ? ? 1 ? 2 sin ? ? 1 ? 2(cos ? ? sin ? )

……………6 分

? 1 ? 2 2 sin(? ?
当 ? ? 2k? ?

?
4

)

……………8 分

?
4

, k ? Z 时, z 的最大值为 1 ? 2 2 .……………10 分
2 2

解法二:圆的普通方程: ( x - 2) ? ( y ? 1) ? 4 , 当圆与直线 x ? y ? z ? 0 相切时,

2 ?1? z 2

? 2,

1 ? z ? 2 2 , z max ? 1 ? 2 2 .

23. (本小题 10 分) 为考察某种药物预防甲型 H1N1 流感的效果,进行动物试验,调查了 100 个样本,统计 结果 为:服用药的共有 60 个样本,服用药但患病的仍有 20 个样本,没有服用药且未患病的有 20 个样本. (1)根据所给样本数据完成下面 2× 2 列联表; (2)请问能有多大把握认为药物有效? 不得流感 服药 不服药 总计 得流感 总计

(参考数据: 242 ? 576 )

解: (1)填表: 不得流感 服药 不服药 总计 40 20 60 得流感 20 20 40 总计 60 40 100 ……………6 分 (2)假设检验问题 H 0 :服药与动物得流感没有关系:

n(ad ? bc) 2 100(40 ? 20 ? 20 ? 20) 2 K ? ? ? 2.778 60 ? 40 ? 60 ? 40 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

由 P ( K 2 ? 2.706 ) ? 0.10 ,所以大概 90%认为药物有效.

………10 分

24. (本小题 10 分) 给出施化肥量(kg)对水稻产量(kg)影响的试验数据: 施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405

(1)试求出回归直线方程; (2)请估计当施化肥量为 10 kg 时,水稻产量为多少? (已知:7.5×31.25+2.5×16.25+2.5×3.75+7.5×43.75=612.5,2×7.5×7.5+2×2.5 ×2.5=125) 解: (1) 用 x 表示施化肥量, y 表示水稻产量, 那么 4 个样本数据为: (15, 330) 、 (20, 345) 、 (25,365) 、 (30,405) ,则 x ? 22.5, y ? 361.25 , ……………2 分

.于是回归直线的斜率为 b ?

?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

?

?

? (x
i ?1

? x)

?

=4.9,……………4 分
2

?x =251, ……………6 分 ? ? y ?b a
所以所求的回归直线方程为 y ? 4.9 x ? 251 .……………7 分

(2)根据公式 y ? 4.9 x ? 251 ,当 x ? 10 时, y ? 300 .……………9 分 所以,当施化肥量为 10kg 时,水稻产量估计为 300kg.……………10 分 25. (本小题 10 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像如图所示. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 2]上的最大值h(t ) ; ( 3 ) 若 g ( x) ? 6 ln x ? m, 问 是 否 存 在 实 数 m , 使 得

y
16

O

8

x

y ? f ( x) 的图像与 y ? g ( x) 的图像有且只有两个不
同的交点?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 解: (1)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

? ?c ? 0 ?a ? ?1 ? ? ? 2 由图象知: ?a ? 8 ? b ? 8 ? c ? 0解之得: ?b ? 8 , ? ?c ? 0 2 ? ? 4ac ? b ? 16, ? ? 4a
∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? x ? 8 x ……………3 分
2

(2)? f ( x) ? ?( x ? 4) ? 16,
2

∴当 t>4 时, f ( x) 的最大值是 f (t ) ? ?(t ? 4) ? 16;
2

当 t≤4≤t+2,即 2≤t≤4 时, f ( x) 的最大值是 f (4) ? 16 ; 当 t+2<4,即 t<2 时, f ( x) 的最大值是 f (t ? 2) ? ?(t ? 2) ? 16.
2

?? (t ? 2) 2 ? 16; t ? 2; ? ……………6 分 ? h(t ) ? ?16,2 ? t ? 4; ? 2 ?? (t ? 4) ? 16, t ? 4
(3)令 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x), 则g ( x) ? f ( x) ? x ? 8 x ? 6 ln x ? m.
2

因为 x >0,要使函数 f ( x) 与函数 g ( x) 有且仅有 2 个不同的交点,则函数

? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6 ln x ? m 的图像与 x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点,

? ? ' ( x) ? 2 x ? 8 ?

6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0) x x x
'

当 x ∈(0,1)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数, 当 x ∈(1,3)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是减函数,
'

当 x ∈(3,+∞)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数.
'

当 x ? 1 或 x ? 3 时, ? ( x) ? 0
'

∴ ? ( x)极大值为? (1) ? m ? 7;

? ( x)极小值为? (3) ? m ? 6 ln 3 ? 15 ……………8 分
又因为当 x →0 时, ? ( x) ? ?? 当 x ? ??时,? ( x) ? ?? 所以要使 ? ( x) ? 0 有且仅有两个不同的正根,必须且只须

?? (1) ? 0 ?? (3) ? 0 或? ? ' ?? (3) ? 0 ?? (1) ? 0
∴m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3.

即?

?m ? 7 ? 0 ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 或? ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ?m ? 7 ? 0

∴当 m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. 时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像有且只有两个不同交点. ……………10 分 附加题: 26. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? m), 且f (0), f (2), f (6) 成等差数列. (1)求 f (30) 的值; (2) 若 a,b,c 是两两不相等的正数, 且 a,b,c 成等比数列, 试判断 f (a ) ? f (c) 与

2 f (b) 的大小关系,并证明你的结论.
解: (1)由 f (0), f (2), f (6)成差数列, 得

2 log 2 (2 ? m) ? log 2 m ? log 2 (6 ? m),即(m ? 2) 2 ? m(m ? 6)(m ? 0) ,
? 得m ? 2 ,

? f (30) ? log 2 (30 ? 2) ? 5 ……………4 分
(2) 2 f (b) ? 2 log 2 (b ? 2) ? log 2 (b ? 2) , f (a ) ? f (c) ? log 2 (a ? 2)(c ? 2),
2

又b 2 ? ac, ? (a ? 2)(c ? 2) ? (b ? 2) 2 ? ac ? ac ? 2(a ? c) ? 4 ? b 2 ? 4b ? 4 ? 2(a ? c) ? 4b
……………8 分

? a ? c ? 2 a c ? 2b(a ? c) ? 2(a ? c) ? 4b ? 0
? log 2 (a ? 2)(c ? 2) ? log 2 (b ? 2) 2 , 即f (a ) ? f (c) ? 2 f (b) ……………10 分
27. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ?

ax 2 ? x 1 (a, b为常数)为奇函数, 且过点(1, ). 2 3 2x ? b

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)定义正数数列 ?a n ?, a1 ? 比数列; (3)令 bn ?

?1 ? 1 2 , a n ?1 ? 2a n f (a n )(n ? N ? ) ,证明:数列 ? 2 ? 2? 是等 2 ? an ?

1 31 ? 2, S n为?bn ? 的前n项和, 求使S n ? 成立的最小 n 值. 2 8 an
2 0 0 7

ax 2 ? x 解: (1)? f ( x) ? 为奇函数, 2x 2 ? b

0

2

1

a (? x) 2 ? x ax 2 ? x ax 2 ? x ? f (? x) ? ? ? ? ? ? f ( x) 2(? x) 2 ? b 2 x 2 ? b 2x 2 ? b
2

?a ? 0
又 f ( x)过点(1, )

……………2 分

1 3

? f (1) ?

x 2x ? b
2

?

?b ? 1
? f ( x) ?

1 1 ? 2?b 3
……………4 分

x 2x ? 1
2

(2)? a n ?1 ? 2a n f (n) ? 2a n ?
2

2 an 2a n ? 2 2 2a n ? 1 2a n ?1

?

1 a
2 n ?1

? 1?

1 2 2a n 1 1 ( 2 ? 2) 2 an

?

1 a
2 n ?1

?2?

∴数列 ?

?1 ? 1 ? 2? 是以 2 为首项, 为公比的等比数列. ……………7 分 2 2 ? an ?
1 1 ? 2 n a1 ? 2 2 an

(3)? bn ?

1 ? ? 2 ?1 ? ( ) 2 ? 1 ? 31 1 ? 31 2 ? ? ? ? Sn ? ? ? 4 ?1 ? ( ) 2 ? 又 S n ? 即4 ?1 ? ( ) n ? ? 1 2 ? 8 2 ? 8 ? ? 1? 2
1 1 ? ( )n ? ?n ? 5 2 32 31 ∴满足 S n ? 的最小n为6. 8

……………10 分


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