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上海市2012届高三年级十三校第一次联考数学(理答)


2012 年高三年级十三校第一次联考数学(理科) 2012 年高三年级十三校第一次联考数学(理科)答案
考试时间: 满分: 考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每题 4 分. 1. 已知 n ∈ N * ,则 lim

1 n2 + n + 1 = . n →∞ 3n ? 2 3 2. 如图, U 是全集, A ? U,B ? U ,用集合运算符号 表示图中阴影部分的集合是 . A ∩ ?UB 1 的最小正周期是 . π 3. 函数 f (x) = sin 2 x + cos 2x ? 2 2 4. 若 2 + i 是方程 x + bx + c = 0(b、 ∈ R) 的根,其中 i 是 c .1 虚数单位,则 b + c = 5. 若函数 f (x) = log1? 2a x 在 (0, ∞) 上单调递减, + 1 则实数 a 的取值范围是 .0 < a < 2
6. 图中是一个算法流程图,则输出的 正整数 n 的值是 . 11 7. 设函数 f ( x ) = ?

U

A
(第 2 题图)

B

开始 n←1,S←0 S<2012 是 S←S+2n n←n+1 否 输出 n 结束

1 ? ?2 ? ( ) x (第 6 题图) x ≤ 0 的反函数 2 ?log 2 ( x + 2) x > 0 ? ?1 为 y = f (x) ,若 f ?1(a) ≥ 4 ,则实数 a 的取值范围是 . [log 2 6, ∞) + 8. 对于任意的实数 k , 如果关于 x 的方程 f ( x ) = k 最多有 2 个不同的实数解, | f ( x ) |= m ( m 为 则 实常数)的不同的实数解的个数最多为 .4 1 1 x 1 1 9. 设函数 f ( x ) = ( ) ? x 3 的零点 x0 ∈ ( , )(n ∈ N * ) ,则 n = .2 2 n +1 n 2 10. 已知数列 {an} 的前 n 项和 S n = 2n + pn,a7 = 11 ,若 ak + ak +1 > 12 ,则正整数 k 的最小值
为 .6 A C 11. 如图,在 ?ABC 中, ∠BAC = 90 , = 6, 在斜 AB D 边 BC 上,且 CD = 2 DB ,则 AB ? CD 的值为_____. 24
2

D
(第 11 题图)

B

12. 设不等式 x ? 1 < log a x ( a > 0, a ≠ 1) 的解集为 M ,若 (1 2) ? M ,则实数 a 的取值范围 且 , 是 . (1 2] ,
3

13. 已知函数 f ( x ) = 2 x + arctan x ,数列 {an } 满足 a1 =

f (a2012 ) =

.2+

π
4

a 1 , (an +1 ) = f ( n )(n ∈ N * ) ,则 f 4023 1-2an

14. 设 a,, 是平面内互不平行的三个向量, x ∈ R ,有下列命题: b c ①方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 不可能有两个不同的实数解; ②方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 有实数解的充要条件是 b ? 4a ? c ≥ 0 ;
2

③方程 a x + 2a ? bx + b = 0 有唯一的实数解 x = ?
2 2 2 2 2 2

b ; a

④方程 a x + 2a ? bx + b = 0 没有实数解. 其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) ①④

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二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题 5 分. 15. 已知 a ∈ R ,不等式 A. a > ?3 16. 设角 α、 ≠ kπ + β

x ? 3 ≥ 1 的解集为 P ,且 ?2 ? P ,则 a 的取值范围是 x+a B. ?3 < a < 2 C. a > 2 或 a < ?3 D. a ≥ 2 或 a < ?3 2 4

( D )

π (k ∈ Z ) ,则“ α + β = π + nπ (n ∈ Z ) ”是“ (1 + tan α )(1 + tan β ) = 2 ”

成立的 ( C ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 b c d b c d “对任意 x, ∈ S ,都有 xy ∈ S ” y ,则 17. 对于复数 a、 、、 ,若集合 S = {a,,, } 具有性质:

B. ?1 C. i D. ?i 18. 下图展示了一个由区间 (0, 到实数集 R 的对应过程:区间 (0, 中的实数 m 对应数轴上(线 1) 1)

?c 2 = b ? A. 1

当 ?b 2 = 1 时, b + c + d 的值是

?a = 1 ?

( B )

B 段 AB )的点 M (如图 1);将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A、 恰好重合(如图 2);再将这 个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上;点 A 的坐标为 (0, (如图 3),当点 M 从 A 1)
到 B 是逆时针运动时, 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n, , 图 0) 按此对应法则确定的函数使得 m 与 n 对应,即 f (m) = n .对于这个函数 y = f (x) ,有下列命题:① f ( ) = ?1 ;② f (x) 的图像 关于 ( , 对称;③若 f (x) = 3 ,则 x = 0) 数是
A A(B) A 0 M m B 1 M M

1 4

1 2

5 ;④ f (x) 在 (0, 上单调递增.其中正确的命题个 1) 6
y

( D

)

图1

图2

N O 图3

x

A. 1 B. 2 C. 3 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分)

D. 4

2 ?1 1 ? | x | +5 ? 3 ? ? | x | +1 已知矩阵 ? ? 的某个列向量的模不大于行列式 ?2 0 ?3 中元素 0 的代数余 ? 0 ? 4 ?2 3 ? 2? ? 子式的值,求实数 x 的取值范围. 2 ?1 1 2 1 解:行列式 ?2 0 ?3 中元素 0 的代数余子式是 = 2 ……………………………4 分 4 3 4 ?2 3
? | x | +5 ? | x | +5 依题意,显然列向量 a = ? | x | +1 ? 的模不大于 2 ,即 ≤ 2 ,………………………8 分 ? ? | x | +1 ? 0 ? ? ? 解得 x ≥ 3 或 x ≤ ?3 ∴满足条件的实数 x 的取值范围是 ( ?∞,? 3] ∪ [3,+ ∞ ) …………………………………12 分

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20. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用,将癌细胞注入一只小白鼠体内 进行实验, 经检测, 癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数 8 超过 10 时小白鼠将会死亡,注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的 98% . 天数 t 1 2 3 4 5 6 7 … 1 2 4 8 16 32 64 … 癌细胞个数 N (1)要使小白鼠在实验中不死亡,第一次最迟应在第几天注射该种药物?(精确到 1 天) (2)若在第 10 天,第 20 天,第 30 天,……给小白鼠注射这种药物,问第 38 天小白鼠是否仍 然存活?请说明理由. 解:(1)依题意, 2t ?1 ≤ 108 ……………………………………………………………………2 分 ∴ t ≤ log 2 108 + 1 ≈ 27.58 ………………………………………………………………………5 分 即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. ……………………………………………………7 分 (2)设第 n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为 an , 则 a1 = 29(1 ? 98%) ,且 an +1 = 210(1 ? 98%)an ,∴ an = 210n ?1(1 ? 98%) n ……………………10 分 于是 a3 = 210×3?1(1 ? 98%)3 ,即第 3 次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为 到第 38 天小白鼠体内的这种癌细胞个数为

232 ,……12 分 1003

232 × 28 ≈ 1.1× 107 < 108 ……………………14 分 1003

∴第 38 天小白鼠仍然存活.(注:列举法求解的也行,请按步骤评分) 21. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知 f ( x) = 3 sin ω x + 3cos ω x(ω > 0) .

) 是周期为 π 的偶函数,求 ω 和 θ 的值; 2 π π (2) g ( x) = f (3x) 在 (? , ) 上是增函数,求 ω 的最大值;并求此时 g ( x) 在 [0, ] 上的取值范围. π 2 3 π π 解:(1)∵ f ( x ) = 2 3 sin(ω x + )(ω > 0) ,∴ f ( x + θ ) = 2 3 sin(ω x + ωθ + ) …………1 分 3 3
(1)若 y = f ( x + θ )(0 < θ < 又 y = f ( x + θ ) 是最小正周期为 π 的偶函数 ∴

π

2π = π ,即 ω = 2 ,……………………3 分

kπ π 且 2θ + = kπ + ,即 θ = + (k ∈ Z ) 3 2 2 12 π 1 π 注意到 0 < θ < ,∴ ω = , = 为所求;…………………………………………………6 分 θ 2 3 12
(2)因为 g ( x) = f (3 x) = 2 3 sin(3ω x +

π

π

ω

π

?3ω × (? π ) + π ≥ 2kπ ? π ?ω ≤ ? 4 k + 5 ? 2 3 2 ?? 3 9 (k ∈ Z ) ,…………………………………9 分 ∴? ? π + π ≤ 2kπ + π 1 ?3ω × ?ω ≤ 2k + ? ? 3 3 2 6 ?? 4 k + 5 > 0 ? 9 又 ω > 0 ,∴ ? 3 ? ? 1 < k < 5 ,∴ k = 0 12 12 1>0 ?2k + ? 6 1 1 于是 0 < ω ≤ ,即 ω 的最大值为 ,…………………………………………………………12 分 6 6 x π
此时, g ( x ) = 2 3 sin( + ) , 2 3 π x π 5π 1 x π 0≤ x ≤π ? ≤ + ≤ ? ≤ sin( + ) ≤ 1 ? g ( x ) ∈ [ 3, 3] ……………………14 分 2 3 2 3 6 2 2 3
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π π )(ω > 0) 在 (? , ) 上是增函数, 3 2 3

22. (本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,已知 an +1 = 2S n + 2(n ∈ N *) . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)在 a n 与 an +1 之间插入 n 个数,使这 n + 2 个数组成公差为 d n 的等差数列(如:在 a1 与 a2 之间 插入 1 个数构成第一个等差数列,其公差为 d1 ;在 a2 与 a3 之间插入 2 个数构成第二个等差数列, 其公差为 d 2 ,…以此类推),设第 n 个等差数列的和是 An . 是否存在一个关于 n 的多项式 g ( n) , 使得 An = g (n) d n 对任意 n ∈ N * 恒成立?若存在,求出这个多项式;若不存在,请说明理由; (3)对于(2)中的数列 d1,d 2,d3, ,d n, ,这个数列中是否存在不同的三项 d m,d k,d p (其中 ? ? 正整数 m,k,p 成等差数列)成等比数列,若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由. 解:(1)设 an = a1q 解得
n ?1

,由 a n +1 = 2 S n + 2( n ∈ N ) 知, ?
*
n ?1

?a1q = 2a1 + 2

{a ==32 q
1

2 ?a1q = 2(a1 + a1q) + 2

,………2 分

, ∴ an = 2 × 3

…………………………………………………………………4 分

(2)依题意, d n =

2 × 3n ? 2 × 3n ?1 4 × 3n ?1 (2 × 3n + 2 × 3n ?1 )(n + 2) = = 4(n + 2) × 3n ?1 ; An = n +1 n +1 2 n ?1 4×3 n ?1 ,…………………………………8 分 要使 An = g (n) d n ,则 4( n + 2) × 3 = g ( n) × n +1 ∴ g ( n) = ( n + 2) × ( n + 1) = n 2 + 3n + 2 ,即存在 g ( n) = n 2 + 3n + 2 满足条件;………10 分 (3)对于(2)中的数列 {d n} ,若存在不同的三项 d m,d k,d p (其中正整数 m,k,p 成等差数列)成
等比数列,则 d k = d m d p ,即 (
2

4 × 3k ?1 2 4 × 3m ?1 4 × 3 p ?1 ? ) = k +1 m +1 p +1

∵ 2k = m + p ??① ,

1 2 1 1 ) = ? ,即 k 2 = mp ??? ② …………………………………………14 分 k +1 m +1 p +1 由①②可得 m = k = p ,与 d m,d k,d p 是不同的三项矛盾,
∴( ∴不存在不同的三项 d m,d k,d p (其中正整数 m,k,p 成等差数列)成等比数列. ……16 分

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23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分)

已知函数 f (x) = ( ? 1) 2 + ( ? 1) 2,x ∈ (0, ∞) ,其中 0 < a < b . + (1)当 a = 1 b = 2 时,求 f (x ) 的最小值; , (2)若 f (a) ≥ 2 m ? 1 对任意 0 < a < b 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 k、c > 0 ,当 a = k 2,b = (k + c) 2 时,记 f (x) = f1(x) ;当 a = (k + c) 2,b = (k + 2c) 2 时, 记 f (x) = f 2(x) . 求证: f1(x) + f 2(x) >

x a

b x

4c 2 . k(k + c) 2 2 解:(1)当 a = 1 b = 2 时, f (x) = (x ? 1) 2 + ( ? 1) 2 = (x + ? 1) 2 ? 3 ………………………1 分 , x x 2 (x > 0) ,则 t ≥ 2 2 ,当且仅当 x = 2 时, t = 2 2 ,…3 分 令t = x + x 此时函数 g(t) = (t ? 1) 2 ? 3 在 t ∈ [2 2,+ ∞) 上单调递增, ∴ f (x) min = f ( 2) = (2 2 ? 1) 2 ? 3 = 6 ? 4 2 .……………………………………………………5 分 b b (2)∵ 0 < a < b ,∴ > 1 , f (a) ≥ 2 m ? 1 ? ( ? 1) 2 + 1 ≥ 2 m 对任意 0 < a < b 恒成立,…6 分 a a b ,则 t > 1 ,函数 y = (t ? 1) 2 + 1 在 (1 + ∞) 上单调递增,∴ y = (t ? 1) 2 + 1 > 1 ,……8 分 令t = , a ∴ 1 ≥ 2m ,解得 m ≤ 0 ………………………………………………………………………………10 分 (3)先证:对于 x ∈ (0, ∞) , f (x) ≥ f ( ab) + f (x) = ( x ? 1) 2 + (b ? 1)2 = ( x + b ? 1) 2 ? 2b + 1(x > 0) ,………………………………………11 分 a x a x a x b b ,当且仅当 x = ab 时取等号,且 2 b > 1 令 t = + ,则 t ≥ 2 a a a x 2b + 1 ,在 [2 b,+ ∞) 上单调递增,∴ f (x) ≥ g(2 b ) = f ( ab) ……14 分 函数 g(t) = (t ? 1) 2 ? a a a 2 2c ∴当 a = k 2,b = (k + c) 2 时, f (x) = f1(x) ≥ f [k (k + c)] = 2 k 2c 2 当 a = (k + c) 2,b = (k + 2c) 2 时, f (x) = f 2(x) ≥ f [(k + c)(k + 2c)] = (k + c) 2
显然上述两个等号不同时成立, ∴ f1(x) + f 2(x) >

2c 2 + 2c 2 > 4c 2 ………………………………………………………18 分 k 2 (k + c) 2 k(k + c)

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