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高一数学(人教A版)必修4能力提升:1-2-1 单位圆中的三角函数线

能 力 提 升 一、选择题 1.已知 11π 的正弦线为 MP,正切线为 AT,则有( 6 B.|MP|=|AT| D.MP<0,AT>0 ) A.MP 与 AT 的方向相同 C.MP>0,AT<0 [答案] [解析] A 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的. MP 11π 11π =sin <0,AT=tan <0. 6 6 2.已知 α 角的正弦线与 y 轴正方向相同,余弦线与 x 轴正方向 相反,但它们的长度相等,则( A.sinα+cosα=0 C.tanα=0 [答案] A ) ) B.sinα-cosα=0 D.sinα=tanα π π 3.若 <α< ,则下列不等式正确的是( 4 2 A.sinα>cosα>tanα C.sinα>tanα>cosα [答案] 4.y= D sinx+lgcosx 的定义域为( tanx ? B.cosα>tanα>sinα D.tanα>sinα>cosα ) ? π? A.?x|2kπ≤x≤2kπ+2? ? ? π? B.?x|2kπ<x<2kπ+2? ? ? C.{x|2kπ<x<?2k+1?π} ? π π? D.?x|2kπ-2<x<2kπ+2?(以上 k∈Z) ? ? [答案] B x≥0 ?sin ?cosx>0 ∵?tanx≠0 π ? ?x≠kπ+2,k∈Z [解析] , π ∴2kπ<x<2kπ+ ,k∈Z. 2 5.(能力拔高题)已知 cosα≤sinα,那么角 α 的终边落在第一象 限内的范围是( π A.(0, ] 4 π π B.[ , ) 4 2 π π C.[2kπ+ ,2kπ+ ),k∈Z 4 2 ) π D.(2kπ,2kπ+ ],k∈Z 4 [答案] C [解析] 如图所示,由余弦线长度|OM|不大于正弦线长度|MP|可 知,角 α 的终边落在图中的阴影区域,故选 C. 6.已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( ) A.若 α、β 是第一象限角,则 cosα>cosβ B.若 α、β 是第二象限角,则 tanα>tanβ C.若 α、β 是第三象限角,则 cosα>cosβ D.若 α、β 是第四象限角,则 tanα>tanβ [答案] D [解析] 如图(1),α、β 的终边分别为 OP、OQ,sinα=MP>NQ =sinβ,此时 OM<ON,∴cosα<cosβ,故 A 错; 如图(2),OP、OQ 分别为角 α、β 的终边,MP>NQ, ∴AC<AB,即 tanα<tanβ,故 B 错; 如图(3),角 α,β 的终边分别为 OP、OQ,MP>NQ 即 sinα>sinβ, ∴ON>OM,即 cosβ>cosα,故 C 错,∴选 D. 二、填空题 7.已知 tanx=1,则 x=________. [答案] π x= +kπ(k∈Z) 4 8.不等式 cosx>0 的解集是________. [答案] π π {x|2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z}. 2 2 [解析] 如图所示,OM 是角 x 的余弦线,则有 cosx=OM>0, ∴OM 的方向向右. ∴角 x 的终边在 y 轴的右方. π π ∴2kπ- <x<2kx+ ,k∈Z. 2 2 9.已知点 P(tanα,sinα-cosα)在第一象限,且 0≤α≤2π,则角 α 的取值范围是______________________. ?π π? ? 5π? [答案] ?4,2 ?∪?π, 4 ? ? ? ? ? [解析] ∵点 P 在第一象限, ? ?tanα>0, ∴? ?sinα-cosα>0, ? ?1? ?2? π 3π 由(1)知 0<α< 或 π<α< ,(3) 2 2 由(2)知 sinα>cosα, 作出三角函数线知,在[0,2π]内满足 sinα>cosα 的 ?π 5π? α∈?4, 4 ?,(4) ? ? ?π π? ? 5π? 由(3)、(4)得 α∈?4,2?∪?π, 4 ?. ? ? ? ? 三、解答题 10.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 2π 4π 2π 4π (1)sin 与 sin ;(2)tan 与 tan . 3 5 3 5 [解析] 如图,射线 OP1、OP2 分别表示角 2π 4π 、 的终边,其中 P1、P2 3 5 是终边与单位圆的交点,过点 P1、P2 分别作 x 轴的垂线,垂足分别 为点 Q1、Q2,过点 A(1,0)作 x 轴的垂线分别与角 2π 4π 、 的终边的反 3 5 2π 4π 向延长线交于点 T1、T2,则 Q1P1、Q2P2 是角 、 的正弦线,AT1、 3 5 AT2 是 2π 4π 、 的正切线.于是,有向线段 Q1P1>Q2P2,AT1<AT2, 3 5 2π 4π 2π 4π 所以 sin >sin ,tan <tan . 3 5 3 5 11.求下列函数的定义域: (1)y= 2cosx-1; (2)y=lg(3-4sin2x). [解析] 如图(1). 1 ∵2cosx-1≥0,∴cosx≥ . 2 ? π π ? ∴函数定义域为?-3+2kπ,3+2kπ?(k∈Z). ? ? (2)如图(2). 3 3 3 ∵3-4sin2x>0,∴sin2x< ,∴- <sinx< . 4 2 2 ? π π ? ?2π 4π ? ∴函数定义域为?-3+2kπ,3+2kπ?∪? 3 +2kπ , 3 +2kπ?(k ? ? ? ? ? π π ? ∈Z),即?-3+kπ, 3+kπ?(k∈Z). ? ? 12.利用单位圆和三角函数线证明:若 α 为锐角,则 (1)sinα+cosα>1; (2)sin2α+cos2α=1. [证明] 如图,记角 α 的两边与单位圆的交点分别为点 A,P, 过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,则 sinα=MP,cosα=OM. (1)在 Rt△OM

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