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芜湖一中2013年高一自主招生考试数学卷及答案

芜湖一中 2013 年高一自主招生考试 数 学 试 卷 一、选择题(本大题共 7 个小题,每小题 6 分,共 42 分) 1.在△ABC 中,∠C=90° ,∠B 的平分线交 AC 于 D.则 A. sin B B. cos B C. tan B AB ? BC =: AD 1 D. tan B 2.在分别标有号码2,3,4,…,10的9张卡片中,随机取出两张卡片,记下 它们的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是: A. 7 36 B. 5 18 C. 2 9 D. 1 4 3.已知梯形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(?1, 0) , B(5, 0) , C (2, 2) , D(0, 2) ,直线 y ? kx ? 2 将梯形分 成面积相等的两部分,则 k 的值为: A. ? 2 3 2 9 4 7 2 7 B. ? C. ? D. ? 4.如图,三个全等的正方形内接于圆,正方形的边长为 16,则圆的半径为: A. 3 33 B. 16 5 C. 16 2 D. 5 17 5.若自然数 n 使得作竖式加法 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 时均不产生进位现象,便 称 n 为“好数”.如因为 12+13+14 不产生进位现象,所以 12 是“好数”;但 13+14+15 产生进位现象,所以 13 不是“好数”,则不超过 100 的“好数”共有: A.9 个 B.11 个 C.12 个 D.15 个 6.函数 y ? x | x | ?2 3x ? 2 的图象与 x 轴的交点个数是: A.4 B .3 C.1 D.0 2 2 2 2 7.已知实数 a 、 b 满足 (a ? 1) ? (a ? 6) ? 10 ? | b ? 3 | ? | b ? 2 | ,则 a ? b 的最大值为: A.50 B.45 C.40 D.10 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分) 8.已知关于 x 的方程 x ? x ? k 有两个不同的实数根,则实数 k 的取值范围是 9.函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值为 . y 10.如图,点 A、C 都在函数 y ? 3 3 ( x ? 0) 的图象上,点 B、D 都在 x x x 轴上,且使得△OAB、△BCD 都是等边三角形,则点 D 的坐标 为 . 2 2 11.若实数 a 、 b 分别满足 a ? 8a ? 8 ? 0 , b ? 8b ? 8 ? 0 ,则 a a b 的值为 ?b b a . 1 12.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示, Q(n , 2) 是图象上的一点,且 AQ ? BQ ,则 a 的值为 . (第12 题图) (第 13 题图①) (第 13 题图②) 13.将两个相似比为 1 : 2 的等腰直角三角形如图①放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角 边重合. 绕点 C 旋转小直角三角形,使它的斜边与 AB 交于点 E ,CD 的延长线与 AB 交于点 F ,如图 ②.若 AE ? 2, BF ? 1 ,则 EF = . 三、解答题(本大题共 5 个小题,计 66 分,写出必要的推算或演算步骤) 14. (本题 12 分)一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时 刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了 10 分钟,小轿车追上了货车;又过 了 5 分钟,小轿车追上了客车.问再过多少分钟,货车追上了客车? 15. (本 题12 分)已知 m, n 为整数,给出如下三个关于 x 方程: ① x ? (6 ? m) x ? 7 ? n ? 0 2 ② x ? mx ? 3 ? n ? 0 2 ③ x ? (4 ? m) x ? 5 ? n ? 0 2 若方程①有两个相等的实数根,方程②③有且仅有一个方程有两个不相等的实数根,求 (m ? n) 值. 2013 的 2 16. (本题 14 分)已知如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 2 与 x 轴相交于 B( x1 ,0) 、C( x2 ,0)( x1 , x2 均大 2 于 0)两点, 与 y 轴的正半轴相交于 A 点. 过 A、B、C 三点的⊙P 与 y 轴相切于点 A,其面积为 25? . 4 (1)请确定抛物线的解析式; (2)M 为 y 轴负半轴上的一个动点,直线 MB 交⊙P 于点 D.若△AOB 与以 A、B、D 为顶点的三角 形相似,求 MB?MD 的值. (先画出符合题意的示意图再求解) . 17. (本题 14 分)如图,已知菱形 ABCD,∠B=60° .△ADC 内一点 M 满足∠AMC=120° ,若直线 BA 与 CM 交于点 P ,直线 BC 与 AM 交于点 Q,求证:P、D、Q 三点共线. y A B P C x O 18. (本题 14 分)某寄宿制学校的一间宿舍里住着若干名学生,其中一人担任舍长.元旦时,该宿舍里的 每名学生互赠一张贺卡, 且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡, 每位管理员也回赠舍长一张贺卡, 这样共用去了 51 张贺卡,问这间宿舍里住有多少名学生? 3 芜湖一中 2013 年高一自主招生考试 数学参考答案 一、选择题(本大题共 7 个小题,每小题 6 分,共 42 分) 题 号 答 案 1 A 2 C 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分) 0?k ? 8. 1 4 9.5 10. (2 6 ,0) 11. ? 12 2 1 12. 2 ? 13. 3 三、解答题(本大题共 5 个小题,计 66 分,写出必要的推算或演算步骤) 14. 解: 设在某一时刻, 货车与客车、

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