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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 教案+习题

3.1.2 学习目标 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 1. 能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 ( 难 点).2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(重点). 预习教材 P128-131 完成下面问题: 知识点 两角和与差的正切公式 tan α+tan β T(α+β):tan(α+β)= ; 1-tan αtan β tan α-tan β T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β 【预习评价】 π (1)已知 tan α=3,则 tan(α- )=( 4 A.2 1 C. 2 ) B.-2 1 D.- 2 π tan α-tan 3-1 4 π 1 tan(α- )= = = . 4 π 1+3×1 2 1+tan αtan 4 解析 答案 C 1-tan 75° (2)求值: =________. 1+tan 75° tan 45° -tan 75° 3 解析 原式= =tan(45° -75° )=tan(-30° )=- . 3 1+tan 45° tan 75° 答案 - 3 3 题型一 两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用 【例 1】 1 A. 7 5 C. 7 1 1 (1)若 tan α= ,tan(α+β)= ,则 tan β=( 3 2 1 B. 6 5 D. 6 ) 解析 tan β=tan[(α+β)-α]= 1 = . 1+tan?α+β?tan α 7 tan?α+β?-tan α 答案 A 1- 3tan 75° (2) =________; 3+tan 75° 1-tan 60° tan 75° 1 1 解析 原式= = = =-1. tan 135° tan 60° +tan 75° tan?60° +75° ? 答案 -1 (3)求值:tan 23° +tan 37° + 3tan 23° tan 37° =________. 解析 ∵tan 23° +tan 37° =tan 60° (1-tan 23° tan 37° ), ∴原式= 3- 3tan 23° tan 37° + 3tan 23° tan 37° = 3. 答案 3 规律方法 公式 T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略 π (1)“1”的代换:在 T(α±β)中,如果分子中出现“1”常利用 1=tan 来代换,以达到化简求值 4 1-tan α 3tan α+ 3 π ? π -α ; α+ ?. 的目的,如 =tan? = 3tan? 4 4? ? ? ? 1+tan α 1-tan α (2)整体意识: 若化简的式子中出现了“tan α± tan β”及“tan α· tan β”两个整体, 常考虑 tan(α± β)的变形公式. (3)熟知变形:两角和的正切公式的常见四种变形: ①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α+tan β ②1-tan αtan β= . tan?α+β? 【训练 1】 求值: 1+tan 15° (1) ;(2)tan 10° +tan 35° +tan 10° tan 35° . 1-tan 15° 解 1+tan 15° tan 45° +tan 15° (1) = 1-tan 15° 1-tan 15° tan 45° =tan(45° +15° )=tan 60° = 3. tan α+tan β (2)由 tan(α+β)= 的变形 1-tan αtan β tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)得: tan 10° +tan 35° =tan 45° (1-tan 10° tan 35° ) =1-tan 10° tan 35, 所以 tan 10° +tan 35° +tan 10° tan 35° =1. 题型二 条件求值问题 【例 2】 A.-3 C.1 (1)设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的根,则 tan(α+β)的值为( B.-1 D.3 ) 解析 由题意知 tan α+tan β=3,tan α· tan β=2, 所以 tan(α+β)= 答案 A 1 (2)已知 sin α= ,α 为第二象限的角,且 tan(α+β)=- 3,则 tan β 的值为( 2 A.- 3 C.- 解析 3 3 B. 3 D. 3 3 3 , 2 ) 3 = =-3. 1-tan α· tan β 1-2 tan α+tan β ∵α 为第二象限角,∴cos α<0,cos α=- 3 . 3 ∴tan α=- tan?α+β?-tan α tan β=tan[(α+β)-α]= 1+tan?α+β?· tan α - 3+ 3 3 3 ? 3 = =- 1+?- 3?· ?- 答案 C 3 . 3 规律方法 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变 形,建立与待求式间的联系以实现求值. (2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用 α=β -(β-α),2α=(α+β)+(α-β)等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量 关系,从而求值. sin α+cos α 【训练 2】 已知 =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α sin α+cos α tan α+1 解析 由条件知 = =3,则 tan α=2, sin α-cos α tan α-1 因 为 tan(α - β) = 2 , 所 以 tan(β - α) = - 2 , 故 tan(β - 2α) = tan[(β - α) - α] = -2-2 4 = = . 1+tan?β-α?tan α 1+?-2?×2

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