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高考理科第一轮复习练习(4.3平面向量的数量积)


课时提升作业(二十七)
一、选择题 1.有下列四个命题: ①(a·b) =a ·b ;②|a+b|>|a-b|;③|a+b| =(a+b) ;④若 a∥b,则 a·b=|a|·|b|.其中真命题的个数是 ( (A)1 ) (B)2 (C)3 (D)4 )
2 2 2 2 2

2.(2012·辽宁高考)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是 ( (A)a∥b (C)|a|=|b| (B)a⊥b (D)a+b=a-b

3.(2013·渭南模拟)设向量 a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若 t 是实数,且 u=a+tb,则|u| 的最小值是 ( (A) ) (B)1 (C) (D)

4.(2013·南昌模拟)已知平面向量 a=(3,1),b=(x,-6),设 a 与 b 的夹角的正切值等于- ,则 x 的值为 ( (A) (C)-2 5.在△ABC 中, (A)1 =1, (B)3 ) (B)2 (D)-2, =2,则 AB 边的长度为 ( (C)5 (D)9 ) )

6.(2013· 重庆模拟)已知向量 a,b 满足|a|=|b|=2, a· b=0,若向量 c 与 a-b 共线,则|a+c|的最小值为( (A)1 (B) (C) (D)2

7.(2013·营口模拟)设 a,b 是不共线的两个向量,其夹角是θ ,若函数 f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+ ∞)上有最大值,则( ) (A)| a|<|b|,且θ 是钝角 (B)| a|<|b|,且θ 是锐角 (C)| a|>|b|,且θ 是钝角 (D)| a|>|b|,且θ 是锐角 8.已知 O 是△ABC 内部一点, (A)2 (B)1 + (C) + =0, · (D) ,-1),n= =2 ,且∠BAC=30°,则△AOB 的面积为 ( )

9.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=(

(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 A,B 的大小分别为( (A) , (C) , (B) ,

)

(D) , ⊥ ,则向量 的坐标为

10.(能力挑战题)如图,已知点 A(1,1)和单位圆上半部分上的动点 B.且 ( )

(A)( - , ) 二、填空题

(B)(-

,

)

(C)(- , )

(D)(-

,

)

11.(2013·黄山模拟)已知向量 a=(2,1),a·b=1 0,|a+b|=5

,则|b|=

.

12. 如图,半圆的直径|AB|=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A,B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 ( + )· 的最小值是 .

13.(2013·杭州模拟)以下命题:①若|a·b|=|a|·|b|,则 a∥b;②a=(-1,1)在 b=(3,4)方向上的投影为 ; ③若△ABC 中,a=5,b=8,c=7,则 命题的序号是 . 和 ,它们的夹角为 90°.如图所示,点 C 在以 O 为圆心 . · =20;④若非零向量 a,b 满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中所有真

14.(能力挑战题)给定两个长度为 1 的平面向量 的圆弧 AB 上运动,若 =x +y

,其中 x,y∈R,则 xy 的范围是

三、解答题 15.(2013·晋中模拟)已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1), (1)求 D 点的坐标. (2)若 D 点在第二象限,用 ( 3)设 =(t,2),若 3 + , 与 表示 . 的坐标. · =5, AD =10.

???? 2

垂直,求

答案解析 1.【解析】选 A.设 a,b 夹角为θ,①(a·b) =|a| ·|b| ·cos θ≤| a| ·|b| =a ·b ; ②|a+b|与|a-b|大小不确定; ③正确; ④a∥b,当 a,b 同向时有 a·b=|a|·|b|;当 a,b 反向时有 a·b=-|a|·|b|.故不正确. 2.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系. 【解析】选 B.|a+b|=|a-b|? |a+b| =|a-b| ? a +2a·b+b =a -2a·b+b ? a·b=0? a⊥b. 【变式备选】已知非零向量 a,b 满足向量 a+b 与向量 a-b 的夹角为 ,那么下列结论中一定成立的是 ( ) (B)|a|=|b| (D)a∥b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(A)a=b (C)a⊥b

【解析】选 B.由条件得(a+b)·(a-b)=a -b =0,故可得|a|=|b|. 3.【解析】选 C.≧|u| =(a+tb) =a +2ta·b+t b
2 2 2 2 2

=1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t =t +
2

2

t+1=(t+ ) + ≥ ,

2

?|u|≥ ,故选 C. 4.【解析】选 C.≧a=(3,1),b=(x,-6),设 a 与 b 的夹角等于 θ, ?a·b=3x-6= ?cosθ= . cosθ,

≧tan θ=- ,?cosθ=- . ? =- ,

整理得 3x -20x-52=0. 解得 x1=-2,x2= . 经检验 x2= 是增根,x1=-2 满 足要求. ?x=-2. 5.【思路点拨】根据数量积的定义计算,并结合解三角形的知识得到结果. 【解析】选 B.过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D. 由条件得 = =| |cosA=|AD|=1,同理|BD|=2.

2

故|AB|=|AD|+|DB|=3. 6.【解析】选 B.由 a·b=0 知 a⊥b,又|a|=|b|=2,所以 a 与 a - b 所成角为 .若| a +c|最小,则 c 与 a - b 共线反向,从而 a 与 c 的夹角为 ≧(a + c) = a + c +2|a||c|·cos 即| a +c|的最小值为 .
2 2 2 2 2 2

. = c -2
2

| c |+4=(| c |-

) +2≥2,?|a+c|≥

2

,

7.【解析】选 D.f(x)=- a·b x +(a - b )x+a·b,若函数 f(x)在(0,+≦)上有最大值,则可知函数为二次函 数,且图像的开口向下,且对称轴在 y 轴右侧,即 所以 a, b 的夹角为锐角,且|a|>| b |. 8.【解析】选 D.由 又 得| · || =| || + + =0 得 O 为△ ABC 的重心,?S△AOB= S△ABC. , |sin30°=1.

|cos30°=2 ||

|=4,?S△ABC= |

?S△AOB= . 9.【解析】选 C.由 m⊥n 可得 m·n=0, 即 cosA-sinA=0,所以 A= .

又 acosB+bcosA=csinC 知 c=csinC,则 sinC=1, 所以 C= ,由 B= -C 可得 B= .

10.【解析】选 B.依题意设 B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π. 则 因为 =(1,1), ⊥ =(cosθ,sinθ). · =0,

,所以

即 cosθ+sinθ=0, 解得θ= , 所以 =(- , ).

【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键,进而可利用三角函数的定义求得点 B 的坐标,可将问 题转化为向量的坐标运算问题来解决. 11.【解析】≧50=|a+b| =|a| +2a·b+|b| =5+20+|b| ,?|b|=5 . 答案:5 12.【思路点拨】设|PO|=x(0≤x≤3),运用向量的数量积转化为函数知识求解. 【解析】设|PO|=x,则|PC|=3-x(0≤x≤3), 则( + )· =2 · =2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x- ) - .
2 2 2 2 2

≧0≤x≤3, ?当 x= 时,( 答案:13.【解析】设 a,b 的夹角为θ,①中,由|a·b|=|a||b||cosθ|=|a||b|,知 cosθ=〒1,故θ=0 或θ=π,所以 a∥b,故正确;②中 a 在 b 方向上的投影为|a|· cosθ=|a|· + )· 有最小值- .

a? b a? b = = , | a || b | |b |

故正确;③中,由余弦定理得 cosC=

= ,故

·

=-

·

=-5〓8〓 =-20,故错误.④中,由

|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,?|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故错误. 答案:①② 14.【解析】由 =x +y ,得 · · . =0,

??? 2 ???? 2 ??? 2 ? ? OC =x2 OA +y2 OB +2xy
又|
2

|=|
2

|=|

|=1,

?1=x +y ≥2xy,得 xy≤ , 而点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动, 得 x,y∈[0,1],于是 0≤xy≤ . 答案:[0, ]

15.【解析】(1)设 D(x,y),

=(1,2),

=(x+1,y).

??? ???? ? ?AB?AD ? x ? 1 ? 2y ? 5, ? 由题得 ? ???? 2 2 2 ( ?AD ? x ? 1)? y ? 10, ?

?



?D 点的坐标为(-2,3)或(2,1). (2)≧D 点在第二象限,?D(-2,3). ? 设 =(-1,3).≧ =m +n , =(-2,1),

则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3), ? ? =+ + 与 + . =3(1,2)+(-2,1)=(1,7), 垂直,?(3 + )· =(t,2), =0, ?

(3)≧3 ≧3

?t+14=0,?t= -14,?

=(-14,2).

【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量 a=(-1,2),又点 A(8,0),B(n,t), C(ksinθ,t)(0≤θ≤ ). (1)若 ⊥a,且| |= | |(O 为坐标原点),求向量 . · .

(2)若向量

与向量 a 共线,当 k>4,且 tsinθ取最大值 4 时,求 =(n-8,t),

【解析】(1)可得 ≧ ? ⊥a,

·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,

得 n=2t+8, 则 又| =(2t,t). |=
2 2

|

|,|

|=8.

?(2t) +t =5〓64,解得 t=〒8,

当 t=8 时,n=24;当 t=-8 时,n=-8. ? =(24,8)或 =(-8,-8).

(2)≧向量

与向量 a 共线,

?t=-2ksinθ+16, tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ =-2k(sinθ- ) +
2

. ,有 =4,得 k=8.

≧k>4,?0< <1,故当 sinθ= 时,tsinθ取最大值 这时,sinθ= ,k=8,tsinθ=4,得 t=8, 则 ? =(4,8), · =(8,0)·(4,8)=32.


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