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江西省丰城中学2015-2016学年高二数学上学期周练试题(文科零班,12.27)

丰城中学 2015-2016 学年度上学期高二数学周考试卷 文科实验班、零班(38、37 班)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的) 1. “ m ? 0, n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示椭圆”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 2.若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 lim
k ?0



B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 等于( 2k
C.1

) D.

A.-1

B.-2

1 2


3.若点(1,a)到直线 x-y+1=0 的距离是 A.-1 B.-1 或 5 C.5

,则实数 a 为( D.-3 或 3

4.设 ? 、 ? 是两个不重合的平面,m、m 是两条不重合的直线,则以下结论错误 的是( ..



? , A. 若 ? // ?, m ? 则 m / /?
C.若 m / /? , m / / ? , ? ? ? ? n ,则 m / / n

,n // B. 若 m ? ? ,n ?? ,m // ?

?

, 则? / /?

D.若 m / /? , m ? ? ,则 ? ? ?

5.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体 的体积是( ) A. 2 3 ? ? B. 2 3 ? 2?

C.

2 3 ?? 3
x

D.

2 3 ? 2? 3
2 线上的任意一点, 3


6.设点 P 是曲 y ? e ? 3x ?

P 点处的切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围是(
A. [ ? , ? )

2 3

B. [0,

?
2

)?(

2? ,? ) 3

C. [0,

?
2

) ?[

5? ,? ) 6


D. [

? 5?
2 , 6

)

7.已知函数 y ? x ln x ,则这个函数在点 (1,0) 处的切线方程是( A. y ? 2 x ? 2 B. y ? 2 x ? 2 C. y ? x ? 1

D. y ? x ? 1

8 .已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面 AB ? 3, AC ? 4, AB ? AC ,

AA1 ? 12 则球 O 的半径为(


1

A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

9. 曲线 y ? x 2 ? 1 在点 ( 1, 2) 处的切线为 l , 则直线 l 上的任意点 P 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 上的任意点 Q 之间的最近距离是( A. 5 ? 1 B. ) C.

2 5 ?1 5

4 5 ?1 5

D.2

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P, F1 , F2 是一个 10.已知椭圆 16 9
直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( A. ) D.

7 4

B.

7 3

C.

7 7 或 4 3

7 6

11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个共同的焦点 F,两曲线的 a 2 b2
) D. 3

一个交点为 P,若 PF ? 5 ,则点 F 到双曲线的渐近线的距离为( A. 3 12.已知点 A( , B. 2 C. 6

1 3 ) 是圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上的点,过点 A 且与圆 C 相交的直线 AM、AN 的 2 2
) C.

倾斜角互补,则直线 MN 的斜率为( A.

3 3

B. 3

2 3 3

D.不为定值

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.曲线 y ?

2 在点(1,2)处切线的斜率为____________. x
3 2

) 14.经过点 P(2,1 且与曲线 f ( x) ? x ? 2x ? 1 相切的直线 l 的方程是____________.
15.过双曲线
2 2 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c, 0)(c ? 0) 作圆 x ? y ? a 的切线, 2 a b

??? ? 1 ??? ? ??? ? 2 切点为 E,延长 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P,O 为坐标原点,若 OE ? (OF ? OP ) ,则双 2
曲线的离心率为____________. 16.下列四个命题: ①命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” ; ②若命题 p:?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p:?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

2

③若命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,则命题 q 一定是真命题; ④命题“若 0 ? a ? 1 ,则 log a ( a ? 1) ? log a (1 ?

1 ) ”是真命题. a

其中正确命题的序号是____________.(把所有正确的命题序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,第 17 小题 10 分,其余每小题 12 分,共 70 分.解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)设曲线 y ?

x 上有点 P( x1, y1 ) ,与曲线切于点 P 的切线为 m ,

若直线 n 过 P 且与 m 垂直,则称 n 为曲线在点 P 处的法线,设 n 交 x 轴于点 Q ,又作

PR ? x 轴于 R ,求 | RQ | 的长.

2 18. (本小题满分 12 分)设命题 p :函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?

1 a ) 的定义域为 R ;命题 q : 16

x x 不等式 3 ? 9 ? a 对一切 x ? R 均成立.

(1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题“ p 或 q ”为真命题,且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

19 . (本小题满分 12 分)在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ACC1 A1 ? 平面 ABC ,

?ACB ? 90? , D 为 BC 中点.
(1)求证: BC ? AA1 ; (2)求证: AC // 平面 AB1D ; 1
? (3)若 AC ? AA 1 ?BC ? 2 , ?A 1 AC ? 60 ,

A1 B1

C1

A D B

C

求三棱锥 A 1 ? ABC 的体积.

20. (本小题满分 12 分)已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R) (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为
3

S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分)己知椭圆 C:

x2 y 2 1 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆 2 a b 2

心, 椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x-y+ 6 =0 相切, 过点 P (4,0)且不垂直于 x 轴直线, 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程: (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点.

??? ? ??? ?

22. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C1 : y 2 ? 8x 与双曲线 C 2 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有 a2 b2

公共焦点 F2 .点 A 是曲线 C1,C2 在第一象限的交点,且 AF2 ? 5 . (1)求双曲线交点 F2 及另一交点 F1 的坐标和点 A 的坐标; (2)求双曲线 C 2 的方程; (3)以 F1 为圆心的圆 M 与直线 y ? 3x 相切,圆 N: ( x ? 2) ? y ? 1 ,过点 P(1,
2 2



作互相垂直且分别与圆 M、圆 N 相交的直线 l1 和 l 2 ,设 l1 被圆 M 截得的弦长为 s, l 2 被圆 N 截得的弦长为 t,问:

s 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. t

丰城中学 2015-2016 学年度上学期高二数学(文)周考试卷答案 1—6 BABBAB 7—12 CCCCAA 13. k ? ?2 14. 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 15.

1? 5 2

16.②③
4

17. 解:依题意, y ' x ? x1 ?

1 ,∵ n 与 m 垂直,∴ n 的斜率为 ?2 x1 ,∴直线 n 的 2 x1

方程为: y ? y1 ? ?2 x1 ? x ? x1 ? ,令 y ? 0 ,则 ? y1 ? ?2 x1 xQ ? x1 ,∴ xQ ? 容易知道: xR ? x1 ,于是, RQ ? xQ ? xR ?
2 18. 解: (1)若命题 p 为真命题,则 ax ? x ?

?

?

1 ? x1 , 2

1 . 2

?a ? 0 a ? 0, x ? R 恒成立 ? ? ?a?2; 16 ?△<0
1 ; “ p 或 q ”为真命题且“ p 且 q ”为假 4

x x (2)若命题 q 为真命题,则 3 ? 9 ? a ? a ?

命题,即 p , q 一真一假 ,故 a ? ( , 2] . 19.解: (1)证明:因为 ?ACB ? 90? , 所以 AC ? BC , 又 侧面 ACC1 A1 ? 平面 ABC , 且 平面 ACC1 A1 ? 平面 ABC ? AC ,

1 4

BC ? 平面 ABC ,
所以 BC ? 平面 ACC1 A1 , 又

AA 1 ? 平面 ACC 1A 1,

所以 BC ? AA 1 . (2)证明:设 A1B 与 AB 1 的交点为 O ,连接 OD , 在 ?A1 BC 中, O, D 分别为 A1B , BC 的中点, 所以 OD // AC 1 , 又 OD ? 平面 AB1D , AC ? 平面 AB1D , 1 所以 AC 1 // 平面 AB 1D . (3)解:由(1)知, BC ? 平面 ACC1 A1 , 所以三棱锥 A 1 ? ABC 的体积为

1 S ?ACA1 ? BC . 3

? 又 AC ? AA1 ? 2 , ?A 1 AC ? 60 ,

5

所以 S?ACA1 ?

1 ? ? ? 3 ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 3 , 所以 S?ACA1 ? BC ? ? 3 ? 2 ? . 2 3 3 3

三棱锥 A 1 ? ABC 的体积等于

2 3 . 3

20. 解: (1)因为直线 l:kx-y+1+2k=0(K∈R) ? y-1=k(x+2),所以直线 l 过定点(-2,1); (2) 由于直线 l 恒过定点(-2,1) ,画出图形,知要使直线 l 不经过第四象限必须且只需 k ? 0 ,故 k∈[0, ? ? );

(3)由直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B 知:k>0,由直线 l:kx-y+1+2k=0 中,令 y ? 0 ? x ? ?2 ? 所以有:

1 1 , 则 A( ?2 ? ,0) ,再令 x ? 0 ? y ? 2k ? 1 ,则 B(0,2k ? 1) , k k

1 1 (?1 ? 2k ? 1 4k 2 ? 4k ? 1 1 1 1 s? ? ? ? ? (4k ? ? 4) ? ? 8 ? 4 (当且仅当 k ? 时,取 2 2 k 2 k 2 k 2
2

等号) ,所以,S 的最小值为 4,此时 l 方程为:x-2y+4=0. 21.(1)由题意知 e ?

c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,? e 2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b 2 . 2 a 2 3 a a 4

又b ?

6 ? 3 ,? a 2 ? 4 , b2 ? 3 . 1?1
x2 y 2 ? ?1 4 3

故椭圆的方程为

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 4?

? y ? k ? x ? 4? ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得, ? 4k ? 3? x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

6

由 ? ? ?32k

?

2 2

?

? 4 ? 4k 2 ? 3?? 64k 2 ? 12 ? ? 0 得, k 2 ?

1 4


设 ? ? x1 , y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 x x ? , 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? y1 y2 ? k ? x1 ? 4? k ? x2 ? 4? ? k 2 x1x2 ? 4k 2 ? x1 ? x2 ? ?16k 2

? ?? ? ?? ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?1 ? k 2 ? ?
? 0 ? k2 ?

???? ??? ?

64k 2 ? 12 32k 2 87 2 ? 4 k ? ? 16k 2 ? 25 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

???? ??? ? ? 13 ? 1 87 87 87 ?? 2 ?? ,? ? ,? ?? ? ?? ? ? ?4, ? 4 3 4k ? 3 4 4? ?
13 ? ?. 4?

? ????? 的取值范围是 ? ? ?4,
?

???? ??? ?

(3)证:? ? 、 ? 两点关于 x 轴对称,? ? ? x2 , ? y2 ? 直线 ?? 的方程为 y ? y1 ?

y ?x ? x ? y1 ? y2 ? x ? x1 ? ,令 y ? 0 得: x ? x1 ? 1 1 2 x1 ? x2 y1 ? y2 2 x1 x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 8

又 y1 ? k ? x1 ? 4? , y2 ? k ? x2 ? 4? ,? x ?

由将①代入得: x ? 1 ,?直线 ?? 与 x 轴交于定点 ?1,0 ? . 22. 解: (1)因为 C1 : y ? 8x 的焦点为 F2 (2,0) ,所以双曲线 C 2 的焦点为 F1 (?2,0) 、
2

F2 (2,0) .设 A( x0 , y0 ) ,由 A 点在抛物线 C1 : y 2 ? 8x 上,且 AF2 ? 5 ,由抛物线的定义
2 得, x0 ? 2 ? 5 ,即 x0 ? 3 ,所以 y0 ? 8 ? 3 ,即 y0 ? ?2 6 ,所以点 A 的坐标为 (3,2 6 )

或 (3,?2 6 ) . (2)由题意知 AF1 ? 定义得:

(3 ? 2) 2 ? (?2 6 ) 2 ? 7 ,又因为 A 点在双曲线 C 2 上,由双曲线

2a ? 7 ? 5 ? 2 ,即 a ? 1 ,所以 b ? 3 ,故双曲线 C 2 的方程为: x 2 ?
(3)

y2 ? 1. 3

s 为定值.说明如下: t
2 2 2

设圆 M 的方程为: ( x ? 2) ? y ? r ,因为圆 M 与直线 y ? 3x 相切,所以圆 M 的半径为

7

r?

2 3 1 ? ( 3) 2

? 3 .故圆 M: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 .显然,当直线 l1 的斜率不存在时不符合

题意, 所以直线 l1 的斜率存在,设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 . 设 l 2 的方程为 y ? 3 ? ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ? 1 ? 0 . k

所 以 点 F1 (?2,0) 到 直 线 l 2 的 距 离 为 d1 ?

3k ? 3 1? k 2

, 点 F2 (2,0) 到 直 线 l 2 的 距 离 为

? 3k ? 3 ? s ? 2 3 ? , 所以直线 被圆 M 截得的弦长 l d2 ? 1 ? 2 ? 1? k 2 1? k ?
3k ? 1
2

? 6 3k ? 6k 2 ? ? 2 , ? 1? k 2 ? ?

2

? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 ? ? ? 2 直 线 l2 被 圆 M 截 得 的 弦 长 t ? 2 1 ? ? , 所 以 1? k 2 ? 1? k 2 ? ? ? ?

s 6 3k ? 6k 2 ? ? t 2 3 ? 2k 2

6( 3k ? k 2 ) 2( 3k ? k 2 )

? 3.

8


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