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辽宁师大附中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题

辽宁师大附中 2015 届高三上学期期中考试 数学(理)试题(解析版)
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识为载体,以基本能力测试为主导,重视学 生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、 、指数函数对数 函数、导数、函数的性质、椭圆,导数,数列,立体几何等;考查学生解决实际问题的综合 能力,是份比较好的试卷. 【题文】一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 【题文】1.已知集合 M ? x x ? x , N ? y y ? 2 , x ? R ,则 M
2 x

?

?

?

?

N ?(

)

( 0,1 ) A.
【知识点】集合及其运算 A1

B. [0,1]

C. [0,1)

D. (0,1]

【答案解析】A 由 M={x 0 ? x ? 1},N={y y ? 0 }则 M ? N ? (0,1] ,故选 A. 【思路点拨】先求出 M,N 再求出 M ? N 。 【题文】2.已知平面 ?、? 、? ,则下列命题中正确的是 A. ? ? ? ,? ? ? ? a,a ? b,则b ? ? B. ? ? ? ,? ? ?,则? ∥ ? C. ? ? ? ? a,? ? ? ? b,? ? ? ,则a ? b D. ? ∥ ? ,? ? ?,则? ? ? 【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系 G4 G5 【答案解析】D A 选项中 b 可能跟 ? 斜交,B 选项中可能 ? 与 ? 垂直,C 选项中 a 可能与 b 不垂直,故 D 选项正确,故选 D. 【思路点拨】根据平面与直线的位置关系求结果。 【题文】3.已知命题 p : ( )

2x ? 1 ,命题 q : ( x ? a )( x ? 3) ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条 x ?1
( C. ? ??, ?1? ) D. ? ??, ?3?

件,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?3, ?1? B. ? ?3, ?1?

【知识点】命题及其关系 A2 【答案解析】C 对于命题 p :

2x ? 1 ,解得-1<x<1,则 A=(-1,1) x ?1

对于命题 q:(x+a)(x-3)>0,其方程的两根为-a 与 3,讨论如下,若两根相等, 则 a=-3 满足题意

若-a<3,则 a>-3 则不等式解集为(-∞,-a)∪(3,+∞),由 p 是 q 的充分不必要条件, 得-a≥1,得 a≤-1,故符合条件的实数 a 的取值范围-3<a≤-1 若-a>3,即 a<-3,则不等式解集为(-∞,3)∪(-a,+∞),满足 p 是 q 的充分不必要条 件,得 a<-3,综上知,符合条件的实数 a 的取值范围是(-∞,-1]故选 C 【思路点拨】求解本题要先对两个命题进行化简,解出其解集,由 p 是 q 的充分不必要条 件可以得出 p 命题中有等式的解集是 q 命题中不等式解集的真子集,由此可以得到参数 a 的不等式,解此不等式得出实数 a 的取值范围 【题文】4.在 ?ABC 中, C ? 90 ,且 CA ? CB ? 3 ,点 M 满足 BM ? 2 MA 则 CM ? CB 等于 A. 2 B. 3 C. ? 3 ( D. 6 )
? ?
? ?

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】B 由题意得 AB=3 2 ,△ABC 是等腰直角三角形,

1 1 1 CM ? CB ? (CA ? AB ) ? CB = CA ? CB + AB ? CB =0+ | AB |?| CB |cos45° 3 3 3
=

1 2 ×3 2 ×3× =3,故选 B. 3 2 1 AB ) ? CB ,再利用向量 AB 和 CB 的夹角等于 45° ,两 3

【思路点拨】由 CM ? CB ? (CA ?

个向量的数量积的定义,求出 CM ? CB 的值. 【题文】5.一个棱锥的三视图如图(单位为 cm),则该棱锥的全面积是 ( )

A、4+2 6 B、4+ 6 C、4+2 2 D、4+ 2 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案解析】 A 由三视图可知: 原几何体是一个如图所示的三棱锥, 点 O 为边 AC 的中点, 且 PO⊥底面 ABC,OB⊥AC,PO=AC=OB=2. 可求得 S △ P A C = S△ ABC=

1 ×2×2 =2, 2

1 ×2×2 =2. 2
Rt △ POA 中 , 由 勾 股 定 理 得

∵ PO ⊥ AC , ∴ 在

PA= PO2 ? OA2 ? 2 2 = 5 . 同理 AB=BC=PC=PA= 5 .由 PO⊥底面 ABC,得 PO⊥OB, 在 Rt△POB 中,由勾股定理得 PB= PO2 ? OB2 =2

2.

由于△PAB 是一个腰长为 5 ,底边长为 2

2
2 2

的等腰三角形,可求得底边上的高 h= ( 5) ? ( 2) = 3 . ∴S △ P A B =

1 ×2 2 × 3 = 6 .同理 S △ P B C = 6 .故该棱锥的全面积 2

=2+2+ 6 + 6 =4+2 故答案为 4+2

6.

6.

【思路点拨】由三视图可知:原几何体是一个如图所示的三棱锥,点O为边AC的中点,且 PO⊥底面ABC,OB⊥AC,PO=AC=OB=2.据此可计算出该棱锥的全面积. 【题文】6. 把函数 y ? sin( x ? 再 将 图 象 向 右 平 移 ( )

?

?
3

6

) 图象上各点的横坐标缩短到原的

1 倍(纵坐标不变) , 2

个 单 位 , 那 么 所 得 图 象 的 一 条 对 称 轴 方 程 为

A. x ? ?

?
2

B. x ? ?

?
4

C. x ?

?
8

D. x ?

?
4

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4

? 1 ) 图象上各点的横坐标缩短到原的 倍(纵坐标不变),得到 6 2 ? ? ? ? ? 函数 y=sin(2x+ ) ; 再将图象向右平移 个单位, 得函数 y=sin[2(x- )+ ]=sin(2x- ) , 6 3 3 6 2 ? x=- 是其图象的一条对称轴方程.故选 A. 2 ? 【思路点拨】先对函数 y=sin(x+ ) 进行图象变换,再根据正弦函数对称轴的求法, 6 ? 即令 ωx+φ= +kπ 即可得到答案. 2
【答案解析】A y=sin(x+ 【题文】7.函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1( a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直

线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m,n 均大于 0,则
A.2 B.4 C.8

1 2 ? 的最小值为 m n
( )

D.16

【知识点】基本不等式 ab ?

a?b E6 2

【答案解析】C ∵x=-2 时,y=loga1-1=-1, ∴函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(-2,-1)即 A(-2,-1), ∵点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,∴-2m-n+1=0,即 2m+n=1,

∵mn>0,∴m>0,n>0,

n 4m n 4m 1 2 2m ? n 4m ? 2n ? =2+ ? +2≥4+2? =8, ? ? = m n m n m n m n

当且仅当 m=

1 1 ,n= 时取等号.故选 D. 4 2

【思路点拨】根据对数函数的性质先求出 A 的坐标,代入直线方程可得 m、n 的关系,再 利用 1 的代换结合均值不等式求解即可. ?x ? 2 y ?1 ? 0 【题文】8.已知实数 x, y 满足: ? ( )

A. [ ,5]

5 3

B. ? 0,5?

x?2 , z ? 2 x ? 2 y ? 1 ,则 z 的取值范围是 ? x ? y ?1 ? 0 ? 5 C. ? 0,5 ? D. [ ,5) 3

?

【知识点】简单的线性规划问题 E5

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? x?2 【答案解析】C 由约束条件 ? ? x ? y ?1 ? 0 ?
作可行域如图, 联立 ?

x?2 ? x?2 ,解得 ? , ? x ? y ?1 ? 0 ? y ? ?1 ?

∴A(2,-1),

1 ? x? ? x ? y ? 1 ? 0 ? 1 2 ? 3 联立 ? ,解得 ? ,∴B( , ) . 3 3 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?y ? 2 ? 3 ?
u 1 u 1 - ,由图可知,当 y=x- 2 2 2 2 u 1 经过点 A(2,-1)时,直线 y=x- - 在 y 轴上的截距最小,u 最大, 2 2
令 u=2x-2y-1,则 y=x最大值为 u=2×2-2×(-1)-1=5;

u 1 1 2 u 1 - 经过点 B( , ) 时,直线 y=x- - 在 y 轴上的截距最大, 2 2 3 3 2 2 1 2 5 5 u 最小,最小值为 u=2× -2× -1=- .∴- ≤u < 5 ,∴z=|u|∈[0,5).故选:C. 3 3 3 3
当 y=x【思路点拨】由约束条件作出可行域如图,令 u=2x-2y-1,由线性规划知识求出 u 的最值, 取绝对值求得 z=|u|的取值范围. 【题文】 9 .已知点 E , F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AB, AA1 的
D1

C1 A1

B1

F C D A E B

中点,点 M , N 分别是线段 D1 E 与 C1 F 上的点,则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有 条。 A.0 B.1 C.2 ( D.无数个 )

【知识点】空间中的垂直关系 G5 【答案解析】B 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,以 C 为原点建立空间直角坐标系, 则 D1(2,0,2),E(1,2,0), D1E =(-1,2,-2),C1(0,0,2),F(2,2,1),

C1F =(2,2,-1),设 D1M ? ? DE ,则 M(2-λ,2λ,2-2λ),
设 C1 N ? tC1F ,则 N(2t,2t,2-t), ∴ MN =(2t-2+λ,2t-2λ,2λ-t),

? 2t ? 2 ? ? ? 0 2 ? ∵直线 MN 与平面 ABCD 垂直,∴ ? 2t ? 2? ? 0 ,解得 λ=t= , 3 ? 2? ? t ? 0 ?
∵方程组只有唯一的一组解,∴与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有 1 条.故选:B. 【思路点拨】设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,以 C 为原点建立空间直角坐标系,利 用向量法求出与平面 ABCD 垂直的直线 MN 只有 1 条. 【题文】10. 已知△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c 且 a cos C ? 若 a ? 1, 3c ? 2b ? 1 ,则角 B 为( A. )

3 c ? b, 2

?
4

B.

?
6

C.

?
3

D.

?
12

【知识点】解三角形 C8 【答案解析】B 由 acosC+

3 3 c=b ,可得 sinAcosC+ sinC=sinB. 2 2 3 sinC=cosAsinC,sinC≠0, 2

而 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.可得

所以

? 5? 5? 1 3 =cosA,A∈(0,π),所以 A= , C= -B ,∴ 3 sin( -B )-2sinB= , 6 6 2 6 2

? 1 5? ? ? )= ,∵0 < B < ,∴B+ ∈( , π) 2 6 6 6 6 ? ? ? ∴B+ = ,所以 B= . 6 3 6
整理得 cos(B+

【思路点拨】(Ⅰ)通过已知表达式,利用正弦定理,以及三角形的内角和,转化 sinB=sin (A+C),通过两角和的正弦函数,化简可求 A 的余弦值,即可求角 A; (Ⅱ)利用 a ? 1, 3c ? 2b ? 1 ,通过正弦定理,三角形的内角和,转化方程只有 B 的三角 方程,结合 B 的范围,求角 B. 【题文】11.已知四面体 P ? ABC 中, PA ? 4 , AC ? 2 7 , PB ? BC ? 2 3 ,

PA ? 平面 PBC,则四面体 P ? ABC 的内切球半径与外接球半径的比
A.

2 16

B.

3 2 8

C.

3 2 16
1 3

D.

2 8





【知识点】空间几何体的结构 G1 【答案解析】C 设内切球的半径为 r 则 V = S ?ABC r +

1 1 1 S ?PBC r + S ?PAB r + S ?PAC r 求出 r. 3 3 3

把三棱锥补成一个三棱柱,根据勾股定理求出外接球的半径 R,然后求出内切球半径与外接 球半径的比为

3 2 。 16

【思路点拨】 利用分割法求出内切球的半径, 根据勾股定理求出外接球的半径, 再求出比值。 【题文】 12. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 , 数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?1 ,且

3 2

Sn a (其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项和) ,则 ? 2? n ?1 , n n
( ) C. 3 D. 2

f (a5 ) ? f (a 6 ) ?
A. ? 3 B. ? 2

【知识点】函数的奇偶性与周期性 B4 【答案解析】C :∵函数 f(x)是奇函数∴f(-x)=-f(x)∵f(

3 3 -x)=f(x) ,∴f( -x)=-f(-x) 2 2

∴f(3+x)=f(x)∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. ∵Sn=2an+n,∴Sn-1=2an-1+(n-1),(n≥2). 两式相减并整理得出 an=2an-1-1,即 an-1=2(an-1-1), ∴数列{an-1}是以 2 为公比的等比数列,首项为 a1-1=-2,∴an-1=-2?2n-1=-2n,an=-2n+1, ∴a5=-31,a6=-63,∴f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2) =-f(-2)=3 故答案为:C. 【思路点拨】先由函数 f(x)是奇函数和 f ( ? x) ? f ( x) ,推知 f(3+x)=f(x),得到 f(x)是以 3 为周期的周期函数.再由 a1=-1,且 Sn=2an+n,推知 a5=-31,a6=-63 计算即 可.

3 2

第Ⅱ卷 (共 90 分) 【题文】二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在相 应位置上。 【题文】13.已知数列 ?an ? 满足 an ? 为 .

1? 2 ? 3 ? n

?n

,则数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 ? an an ?1 ?

【知识点】数列求和 D4 【答案解析】

2n n?2

由 1+2+3+…….+n=

n( n ? 1) n ?1 1 1 ,则 an ? , = 2 2 an an ?1 (n ? 1)(n ? 2)

=

? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ,? )] ? 的前 n 项和为 4[( - )+( - )+…..( n ? 1 n ? 2 ? an an ?1 ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2
1 2n 2n )= ,故答案为 。 n?2 n?2 n?2

=4(1-

【思路点拨】根据裂项求和求结果。 【题文】 14. 若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上恰有三个不同的点到直线 l : y ? kx 的距离为 2 2 ,则 k ? _____________________。 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系 H4 【答案解析】2+ 3 或 2- 3 把圆的方程化为标准方程得:(x-2)2+(y-2)2=18,得到圆心坐标为(2,2), 半径 r=3 2 ,根据题意画出图象,如图所示: 根据图象可知:圆心到直线 l 的距离 d= 化 k=

2k ? 2 1? k 2
简 得

=3 2 -2 2 , : k2-4k+1=0 , 解 得 :

4 ? 16 ? 4 =2± 3 , 2

则 k=2+ 3 或 2- 3 .故答案为:2+ 3 或 2- 3 【思路点拨】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标和圆的半径,根据图象得到圆心到 直线 l 的距离等于 2 , 利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离 d, 让 d= 2 列

出关于 k 的方程,求出方程的解即可得到 k 的值. 【题文】15.过点 M (1,1) 作斜率为 ?

x2 y 2 1 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相 a b 2

交于 A, B ,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为 【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案解析】

2 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

x12 y12 x2 2 y2 2 ? ?1, ? ? 1 , a 2 b2 a 2 b2

∵过点 M(1,1)作斜率为 ?

x2 y 2 1 的直线与椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)相交于 A,B a b 2
2 1 2 ? (? ) 2 ? 0 a= 2b c= a2 ? b2 ? b 2 a 2 b

两点,M 是线段 AB 的中点,∴两式相减可得

∴e=

c 2 2 = .故答案为 . a 2 2 1 ,即可求出椭圆 C 的离心 2

【思路点拨】利用点差法,结合 M 是线段 AB 的中点,斜率为率.

【题文】16.已知函数 f ( x) ? x ? x ,对任意的 m ? ?? 2,2?, f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒成立,则
3

x 的取值范围为________. 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】(-2,

2 ) 3

由题意得,函数的定义域是 R,

且 f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x3+3x)=-f(x), 所以 f(x)是奇函数,又 f'(x)=3x2+3>0,所以 f(x)在 R 上单调递增, 所以 f(mx-2)+f(x)<0 可化为:f(mx-2)<-f(x)=f(-x), 由 f(x)递增知:mx-2<-x,即 mx+x-2<0,则对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x) <0 恒成立, 等价于对任意的 m∈[-2,2],mx+x-2<0 恒成立,所以 ? 即 x 的取值范围是(-2,

??2 x ? x ? 2 ? 0 2 ,解得-2<x< , 3 ? 2x ? x ? 2 ? 0

2 2 ) ,故答案为:(-2, ) . 3 3

【思路点拨】 先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性, 再由导数判断出函数的单调 性, 利用奇偶性将不等式进行转化, 再利用单调性去掉不等式中的符号“f”, 转化具体不等式, 借助一次函数的性质可得 x 的不等式组,解出可得答案.

【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 【题文】17. (12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? (I)求函数 f ( x) 的单调递增区间和对称中心。 (II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ,若 f ( A) ? 1 , b ? c ? 3. 求 a 的最小值. 2 【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】(I) 单增区间为 ? k? ? 对称中心 ? ?

?

1 ) ? cos 2 x ? . 6 2

? ?

?
3

? k? ? 1? ? . ? , ?k ? Z ? 12 4 ? ? 2 ? ? 3 ? 1 1 3 1 (I) f ( x ) ? sin x ? cos x ? sin x ? ? cos2 x ? ? sin x cos x ? cos 2 x 2 2 2 2 ? 2 ? ? 1 1 ? 1? 3 1 ?? 1 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 2? 2 2 6? 4 ? 4 2 ? ? ?? ? 单增区间为 ? k? ? .k? ? ? ?k ? Z ? 3 6? ? ? k? ? 1? 对称中心 ? ? 2 ? 12 . 4 ? ? , ?k ? Z ? ? ? ? 1 1 ? ?? 1 1 (II)由题意 f ( A) ? sin ? 2 A ? ? ? ? ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 2 ? 6? 4 2 ? ? 13? ? 5? ? ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ( , , ∴A? . ) , ∴ 2A ? ? 6 6 6 6 6 3 ? 在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? (b ? c) 2 ? 3bc . 3 2 9 ?b?c? 9 2 由 b ? c ? 3 ,知 bc ? ? ? ? ,即 a ? . 4 4 ? 2 ?
∴当 b ? c ?

? ?k ? Z ? 6? 3 (II) 2 .k? ?

??

3 3 时, a 取最小值 . 2 2

【思路点拨】 根据三角函数的单调性和对称性求出单调区间和对称中心, 根据余弦定理求出 边和 a 的最小值。 【题文】 18. 已知单调递增的等比数列 ?a n ? 满足:a 2 ? a3 ? a 4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的 等差中项。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式;

(2)若 bn ? a n ? log 1 a n , s n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 s n ? n ? 2 n ?1 ? 50 成立的正整数 n 的
2

最小值。 【知识点】等比数列,数列求和 D3 D4 【答案解析】 (1) a n ? 2 n (2)5 (I)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28, 得 a3=8,∴a2+a4=20

1 ? 3 q ? ? ? ?q ? 2 ? ?a1q ? a1q ? 20 2 ? ? 2 ? a ? a ? 32 a ? a q ? 8 1 ? 3 ∴? 解之得 ? 1 或? 1
又{an}单调递增,∴q=2,a1=2, ∴ an ? 2 n

bn ? 2n ? log 1 2n ? ? n ? 2n
(II) ∴ ∴
2

, ① ②

? sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n ? 2 n

?2 sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? ( n ? 1) ? 2 n ? n2 n ?1
sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ? n ? 2n ?1 ?

∴①-②得 ∴

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 n ?1 n ?1 1? 2 =2 ?n?2 ?2

sn ? n ? 2n ?1 ? 50, 即 2n ?1 ? 2 ? 50,? 2n ?1 ? 52 sn ? n ? 2n ?1 ? 50, 成立的正整数 n 的最小值为 5 .

故使

【思路点拨】根据等比数列性质求出通项公式,利用错位相减求出和。 【题文】 19. (12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2,又 AA1⊥平面 ABC,D,E 分别是 AC,CC1 的中点. (1)求证 AE⊥平面 A1BD. (2)求二面角 D-BA1-A 的余弦值. (3)求点 B1 到平面 A1BD 的距离. 【知识点】空间向量解决线面位置关系 G10 【答案解析】(1)略(2)

2 5 15 (3) 5 5

(1)证明:以 DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴建立 空间直角坐标系,则 A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A1(1,-2,0),

C1(-1,-2,0),B(0,0, 3 )∴ AE =(-2,-1,0), A 1D =(-1,2,0),

BD =(0,0,- 3 ) AE . BD =0∴ AE ⊥ A1D . AE ⊥ BD 又 A1D 与 BD 相交 ∴ AE . A 1D =0,
∴AE⊥面 A1BD (2)解:设面 DA1B 的法向量为 n1 =(x1,y1,z1),则 ? 0) 设面 AA1B 的法向量为 n2 =(x2,y2,z2),则 ?

?? x1 ? 2 y1 ? 0 ,取 n1 =(2,1, ? z1 ? 0

? ?? x2 ? 2 y2 ? 3 z 2 ?0 ,取 n2 =(3,0, 3 ) 2 y ? 0 ? ? 2

∴cos< n1 , n2 > =

n1 ? n2 n1 ? n2

=

6 5 12

=

15 15 故二面角 D-BA1-A 的余弦值为 5 5

(3)解: BB1 =(0,2,0),平面 A1BD 的法向量取 n1 =(2,1,0)则 B1 到平面 A1BD 的距离为 d=

2 5 5

【思路点拨】(1)以 DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,确定向量坐标,利用数量积为 0,即可证得结论; (2)确定面 DA1B 的法向量、面 AA1B 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得二面角 D-BA1-A 的余弦值;(3) BB1 =(0,2,0),平面 A1BD 的法向量取 n1 =(2,1,0), 利用距离公式可求点 B1 到平面 A1BD 的距离 【题文】20.(10 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 y ? f ( x) 的极值。 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】(1) x ? y ? 2 ? 0 (2) 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值. 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 1 ?

a . x

(1)当 a ? 2 时, f ( x ) ? x ? 2 ln x , f ?( x ) ? 1 ?

2 ( x ? 0) , ? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , x

? y ? f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) , 即 x ? y ? 2 ? 0 .
(2)由 f ?( x ) ? 1 ?

a x?a ? , x ? 0 可知 x x

①当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? a ;

x ? (0, a ) 时, f ?( x ) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值.
综上当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值. 【思路点拨】根据导数的几何意义求出切线方程,分别讨论参数确定极值的情况。 【题文】21. (12 分)已知椭圆 (Ⅰ)若 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (3 , 0) ,离心率为 e . a 2 b2

3 ,求椭圆的方程; 2 2 3 ,求 k ? e≤ 2 2

(Ⅱ)设直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆相交于 A ,B 两点,若 AF2 ? BF2 ? 0 ,且 的最小值. 【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案解析】 (Ⅰ)

x2 y 2 2 ? ? 1 (Ⅱ) 12 3 4

?c ? 3 ? 2 2 2 2 (Ⅰ)由题意得 ? c 3 ,所以 a ? 2 3 .又由 a ? b ? c ,解得 b ? 3 . ? ? 2 ?a
所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 3

? y ? kx ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? a 2b 2 ? 0 . ? ? 1 ? 2 b2 ?a

设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,所以 x1 ? x2 ? 0 ,且 x1 x2 ? ? 又 AF2 ? (3 ? x1 , ? y1 ) ,BF2 ? (3 ? x2 , ? y2 ) .

a 2b 2 . b2 ? a 2k 2

所以 AF2 ? BF2 ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 9 ? 0 .即 整理得 k 2 ? 由

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9?0. a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

a 4 ? 18a 2 ? 81 81 ? ?1 ? 4 . ?a 4 ? 18a 2 a ? 18a 2

2 3 及 c ? 3 .知 2 3 ≤ a ? 3 2 , ? e≤ 12 ≤ a 2 ? 18 . 2 2

2 1 0) . 所以 k 2 ≥ (k ? 0) ,∴ k ≥ 所以 a 4 ? 18a 2 ? (a 2 ? 9)2 ? 81? [?72 , . 4 8

因此 k 的最小值

2 . 4

【思路点拨】由椭圆 a,b,c 求出椭圆方程,利用直线和椭圆联立以及向量的数量积求出 k。 【题文】22. (12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ( x ? 1) . x ?1

(1)若函数 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围; (2)设 m, n ? R ? , 且m ? n, 求证 : 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】 (I) (??, 2]. (2)略 (I) f ?( x) ?

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

1 a ( x ? 1) ? a ( x ? 1) ? x ( x ? 1) 2

( x ? 1) 2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数, ? . x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 所以 f ?( x) ? 0在(0, ??) 上恒成立. 即x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立. ?

当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 1 得2a ? 2 ? x ? . x 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??). x 1 1 ? 2 x ? ? 2. x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x g ( x) ? x ?

所以 a 的取值范围是 (??, 2]. 所以a ? 2. 假设 m ? n m?n m?n 要证 ? , m m ln m ? ln n 2 2( ? 1) 2( ? 1) m m m m n . 只需证 ln ? n ? 0. ?1 ? 1 即证 ln ? m m n n n n ?1 ?1 只需证 ? , m n n 2 ln n 2( x ? 1) m 设h( x) ? ln x ? . 由(I)知 h( x)在(1, ??) 上是单调增函数,又 ? 1 , x ?1 n m 所以h( ) ? h(1) ? 0. n m?n m?n m 所以 ? . 2( ? 1) m ln m ? ln n 2 n 即 ln ? ? 0成立. m n ?1 n 【思路点拨】通过求导确定单调性,确定最值证明不等式成立。

所以2a ? 2 ? 2.

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