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抛物线及其标准方程


抛物线及其标准方程
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作者:刘丽 单位:山东省实验中学 更新时间:2016-10-15 13:27 浏览量:19

一、内容和内容分析
本节是高中人教 B 版 《数学》选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程第四节抛物线 第一课时的内容。 抛物线是中学数学的重要内容, 它贯穿在整个中学数学教材中, 并随着学生认知水平的提高而不断加深。抛物线最早见于初三数学,作为二次函 数的图像。高中阶段,它在一元二次不等式的解法、求最大(小)值等方面都有 重要的作用。 但对于这种曲线的本质学生并不清楚,二次函数不能代替对整个抛 物线体系的研究。随着学生数学知识的逐渐完备,尤其是学习了椭圆、双曲线的 定义之后,已具备了探讨这个问题的能力。 从本章来讲,这一节放在椭圆和双 曲线之后, 一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要, 抛物线是离心率 e=1 的特例。 另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对抛 物线定义的研究, 与初中阶段二次函数的图像遥相呼应, 体现了数学的和谐之美。 教材的这种安排,是为了分散难点,符合认知的渐进性原则。

二、目标和目标分析
根据《课程标准》的要求和教材特点,结合高二学生的认知能力,确定 如下三维教学目标: 1、知识与技能目标:了解抛物线的定义、几何图形和标准方程;使用抛 物线的定义求抛物线的标准方程,焦点坐标,准线方程.通过对抛物线生成的探 究及定义的概括,体验分析与概括的过程。 2、过程与方法目标:通过四种不同形式标准方程的对比,体会分析与归纳. 经历求抛物线标准方程的过程.通过抛物线的定义及其标准方程的学习,进一步 体会数形结合的思想, 养成利用数形结合解决问题的习惯。 3、情感、态度与价值观目标:让学生体验研究解析几何的基本思想,感受 圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用, 体会数学的简捷美、 和谐美; 通过各环节恰时恰点的思想道德教育,不断提升学生的养成教育,增强学生的社 会责任感和使命感。 【教学重点】抛物线的定义及其标准方程。 【教学难点】建立标准方程时坐标系的选取。 根据以上目标的确定,教学上力求体现三种能力:探究能力、交流能力、实 践能力。在学生已有知识和方法的基础上,通过教师引导,学生观察思考、小组 讨论、交流合作的办法来实现重难点突破,进而达到预期的教学目标。

三、教学问题诊断分析

抛物线的图象在初中作为二次函数图象已有直观认识, 并且在前几节课已经 学习了椭圆与双曲线的定义及标准方程,会用坐标法研究曲线方程的思路,但应 用坐标法求标准方程还不灵活,缺乏主动归纳、类比知识、分析、抽象和概括等 逻辑思维能力,理论型思维能力需进一步培养。 【认知准备】通过对椭圆双曲线的学习,学生对研究曲线有一定的掌握,相关技 能和能力有了一定的提高。 【心理准备】大部分学生愿意主动学习,对问题的解决有着较浓的学习兴趣。

四、教法与学法分析
【教法分析】 创新意识、 应用意识, 探究意识、 操作能力是当前素质教育最应考虑的问题。 因此,本节课将贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、知识为基础、应 用为目标”的教学原则,采用“问题导引、合作探索”的探究式的教学方法。教 学中利用视频、动画等多媒体演示,创设问题情景,激发学生求知欲望,引导学 生参与教学过程,体会数学思想方法的应用,展示思路的形成过程,总结规律方 法,提高学生分析问题和解决问题的能力,同时,摄取有关德育信息,及时渗透 思想品德教育,充分发挥课堂教学是实施德育教育的有效渠道。 【学法分析】 美国著名数学教育家波利亚明确指出: “学习任何东西,最好的途径是自己 去探究发现”。本节课开展多种形式的学习活动,让学生主动探索、寻求、发现、 研究、讨论、对比、联想,重视对定义的准确理解,体验研究解析几何的基本思 想,体会数形结合和分类讨论的思想,从而达成课程标准对本节的要求。

五、教学支持条件分析
为了有效实现教学目标, 借助多媒体、 实物投影仪等辅助教学, 增强直观性, 增大课堂容量,提高课堂效率。

六、教学过程设计
(一)创设情境 揭示课题 情境:播放中央电视台一套撒贝宁主持的《加油向未来》里的一段关于世界 最大射电望远镜 FAST 的视频.

活动:学生观看思考其中蕴含的有关数学问题 [设计意图] 让同学们感受科学的神奇,热爱科学,体验民族自豪感,激发烈的 学习兴趣. (二)互动交流 研讨新知 1.抛物线定义

【问题 1】在古希腊数学家阿波罗尼奥斯的巨著《圆锥曲线论》中,把用平面截圆锥面所 得的交线称为圆锥曲线,前面我们研究了椭圆、双曲线,那么类比椭圆、双曲线 的学习,我们要怎样研究抛物 活动 1:学生小组派代表回答。 [设计意图] 追踪溯源,渗透数学史,复习旧识引入新知. 【问题 2】几何画板画一条抛物线,在平面中,只给出定点 F 和不过此点的定直线 l,H 是 l 上一动点,第一步:过点 H 作 l 的垂线 k,第二步:做线段 FH 的垂直平分 线交 k 于点 M,拖动点 H 形成的点 M 的轨迹是抛物线,抛物线上的点具有怎样的 几何特征?

分层理解 1:抛物线上的点有什么规律? 分层理解 2:具有怎样特征的点的轨迹是抛物线? 分层理解 3: 你能给抛物线下一个定义吗? 分层理解 4: 还需要补充什么条件吗? 活动 1:小组代表汇报学习成果;师生共同梳理概念,并给出定义。 定义:平面内到一个定点和到一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。 (注意: 定点不能在定直线上。)设动点 M 到定直线的距离为 符号语言:定点叫做拋物线的焦点, 定直线叫做拋物线的准线。 焦点到准线的距离为定值,叫焦准距 [设计意图] 通过有启发性的活动设计和层层深入的问题设置,使学生在分析、探 究、反思和归纳中,不断获得解决问题的方法。同时体现数学实验在学习数学中 的应用价值,激发学生学习计算机知识的兴趣。 2.抛物线方程的推导 【问题 3】类比椭圆、双曲线,我们要怎样推导抛物线的标准方程? 活动 1:求曲线方程的一般步骤是什么?学生思考并齐答。 活动 2:把抛物线的焦点到准线的距离设为 p,试着建立适当的直角坐标系,推导出抛物 线的方程. 活动 3:学生先独立尝试完成,遇困难后小组合作交流。 活动 4:小组派代表板演并讲解思路,师生共同评价。 以下是学生的两种不同求法:?

解法一:以 l 为 y 轴,过点 F 垂直于 l 的直线为 x 轴建立 直角坐标系(如右图所示),则定点 F(p,0) l:x=0 设动点 M(x,y),由抛物线定义得:?

解法二:取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐 标系,如右图所示,则有 F(,0),l 的方程为 x=-. 设动点 M(x,y),由抛物线定义得:?

活动 5:比较两种情况下的方程,你认为哪一种比较好?师生共同得到标准方程,同时 在解答过程中出现后面两个生成性问题。 抛物线的标准方程,它表示抛物线的焦点 在 x 轴的正半轴上,坐标是,准线方程是. P 的几何意义:焦点到准线的距离。 [设计意图]如何建系体现最优化方案,通过严谨细致的分析,展现知识的发生、 发展形成的过程,进一步加强过程性教学,同时培养学生主学习、合作交流的能 力,更好地提高学生的参与度。 3.抛物线标准方程的四种形式 生成问题 1: 还有其他的标准方程吗? 活动 1:小请同学们探究其它的形式并完成表格。 活动 2:学生自主完成,小组交流,派代表用投影仪展示。
标准方程 图形 焦点坐标 准线方程

[设计意图]通过成果汇报,教师及时了解学生的学习情况,加强对概念的理解, 同时培养学生的语言表达能力。 生成问题 2:抛物线的四种方程有什么区别与联系 活动 1:小组讨论交流 活动 2:小组派代表回答 活动 3:教师总结梳理 相同特征:顶点位于正中央,焦点准线两边站,距离原点 p 之半 区别与联系:一次变量定焦点,开口方向看符号.(数形结合) [设计意图] 通过在解决具体问题中生成性问题研究,激发学生的探究欲望。引 导学生透过现象看本质,不断提升分析、总结与归纳等能力,也为分析例题和解 决实际应用问题奠定理论基础。 抛物线四种形式既有区别又紧密联系,体现了辩 证统一的哲学思想 活动 4:巩固练习

活动 5:教师强调在解题时,先根据条件画出图形,再结合图形研究抛物线的相关性质, 也就是通常所说的: 先定位,再定量. [设计意图]巩固四种方程的形式及曲线特征, 熟悉相关公式。 强调解决抛物线方 程问题时要先转化为标准方程 (三)巩固深化 发展思维 例 1 已知抛物线的焦点在 x 轴的正半轴,焦点到准线的距离是 3,求抛物线 的标准方程、焦点坐标和准线方程. 活动 1:学生独立思考并口答 变式:求焦点到准线的距离为 3 的抛物线的标准方程 活动 2:小组派代表回答 活动 3:教师总结:我们在求抛物线标准方程时要先定位再定量,如果不能 确定类型,就要分类讨论. [设计意图]通过题后的反思整理, 帮助学生梳理概念和方法, 帮助学生逐步养成 整理归纳的习惯。

例 2 如图,射电望远镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,已知口径是 300 米,深是 40 米,如图建立直角坐标系,求抛物线方程.

活动: 学生小组交流派代表回答, 师生共 同评价,教师总结。 [设计意图] 和引入遥相呼应,让学生感受数 学的价值,体会数学来自生活,又应用于生 活,服务于生活,加深学生的数学应用意识。 (四)归纳整理 整体认识 【问题 4】本节课你有哪些收获? 活动 1:学生代表发言,其他学生补充。 [设计意图]学生自己梳理本节所学知识, 充分实现了学生的主体地位, 这样既发 展了学生的概括总结能力和表达能力, 又使学生对知识有了一个系统的理解与认 识。 活动 2:教师对学生探究数学的态度用女排精神加以激励。

[设计意图]教师借助女排精神, 激励同学们学习数学要有锲而不舍、 坚忍不拔的 科学精神和顽强拼搏的学习态度,寓德育教育于数学过程中。 (七)课后反馈 作业布置 必做题:教材 P64 A 3.4 B1.2.3

选做题:点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l: x+5=0 的距离小 1,求 点 M 的轨迹方程. 发展题:以小组为单位搜集实际生活问题,建立有关抛物线的数学模型. [设计意图]分层作业符合因材施教的教学理念; 拓展作业激发学生学习数学的兴 趣,为学有余力的学生提供思考的平台,体现了同起点、不同终点的思想,使不 同层次的学生都有收获。
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