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上海交通大学2007年冬令营数学试卷


上海交通大学 2007 年冬令营数学试卷 一、填空题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设函数 f(x)满足 2f(3x)+f(2-3x)=6x+1,则 f(x)=________. 2.设 a,b,c 均为实数,且 3 =6 =4,则 - =________. 3.设 a>0 且 a≠1,则方程 a +1=-x +2x+2a 的解的个数为________. 4.设扇形的周长为 6,则其面积的最大值为________ 5.1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=________ 6.设不等式 x(x-1)≤y(1-y)与 x2+y2≤k 的解集分别为 M 与 N.若 M N,则 k 的最小值为_ ____. 2 n-1 7.设函数 f(x)=|x|/x,则 S=1+2f(x)+3f (x)+…+nf (x)=________。 8.设 a≥0,且函数 f(x)=(a+cosx)(a+sinx)的最大值为 25/2,则 a=________。 9.6 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每 人答完后立即交卷离开座位, 则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概 率为________。 10. 已知函数 f1(x)=(2x-1)/(x+1), 对于 n=1, 2, …, 定义 fn+1(x)=f1(fn(x)), 若 f35(x)=f5(x), 则 f28(x)=____. 二、计算与证明题(每小题 10 分,共 50 分) 11.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径 R, 工人用三个半径均为 r 的圆柱形量棒 O1, O2,O3 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平 面到中间量棒 O2 顶侧面的垂直深度 h, 试写出 R 用 h 表示的函数关系式, 并计算当 r=10mm,h=4mm 时,R 的值. 12. 设函数 f(x)=|sin x|+|cosx|, 试讨论 f(x)的性态(有界性、 奇偶性、 单调性和周期性),求其极值,并作出其在[0,2π ]内的图像. 2 13.已知线段 AB 长度为 3,两端均在抛物线 x=y 上,试求 AB 的中点 M 到)y 轴的最短距离 及此时 M 点的坐标. 4 3 2 14.设 f(x)=(1+a)x +x -(3a+2)x -4a,试证明对任意实数 a: (1)方程 f(x)=0 总有相同实根; (2)存在 x0,恒有 f(x0)≠0. 15. 已知等差数列{an}的首项为 a, 公差为 b, 等比数列{bn)的首项为 b, 公比为 a, n=1,2, …, 其中 a,b 均为正整数,且 a1<b1<a2<b2<a3. (1)求 a 的值; (2)若对于{an},{bn},存在关系式 am+1=bn,试求 b 的值; (3)对于满足(2)中关系式的 am,试求 a1+a2+…+am.
x 2 a b


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